动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 45 km/h 行驶的汽车以 5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 45 km/ha = −5 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

一辆有轨电车从静止开始以 3 m/s² 加速 4 s，然后匀速行驶 20 s，最后以 4.5 m/s² 制动直到停止。求两站之间的总距离 s。

a₁ = 3 m/s²t₁ = 4 st₂ = 20 sa₃ = −4.5 m/s²

s = m

3.牛顿定律中等

一个箱子以 2.5 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 1.1 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 2.5 m/sd = 1.1 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 2 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 4.5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 2 kgm₂ = 4.5 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 60° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v₀ = 36 m/sθ = 60°g = 9.81 m/s²

H = m

6.抛体运动困难

一个球从 5 m 高的悬崖顶上以高于水平面 30° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 30 m/sθ = 30°h = 5 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车驶过路面上的一个凸起的顶部，凸起是半径为 20 m 的圆弧。取 g = 9.81 m/s²。速度超过多少 v_max 时，车轮会在顶部离开路面？

r = 20 mg = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个半径为 220 m 的弯道倾斜 12°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不向上、向外滑出的最高速度 v_max。

r = 220 mθ = 12°μ_s = 0.15g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.功和能中等

一个 0.5 kg 的物块沿倾角 25° 的斜面下滑 2 m，动摩擦因数为 0.1。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 0.5 kgθ = 25°μ = 0.1d = 2 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 2 kg 的物块从光滑坡道上 2 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 1.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.15），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1500 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 2 kgh = 2 mL = 1.5 mμ = 0.15k = 1500 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一辆以 15 m/s 行驶的 1500 kg 汽车撞上一辆静止的 1100 kg 汽车，两车卡在一起。碰撞中损失了多少动能 ΔK？

m₁ = 1500 kgv₁ = 15 m/sm₂ = 1100 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.动量与碰撞困难

一辆 1700 kg 的汽车撞上一辆停放的 800 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 5 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.5。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1700 kgm₂ = 800 kgd = 5 mμ = 0.5g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.刚体转动中等

质量为 2.5 kg、长为 2.3 m 的均匀细杆一端铰接，在水平位置从静止释放。忽略摩擦，取 g = 9.81 m/s²。求杆摆过竖直位置时自由端的速度 v。

m = 2.5 kgL = 2.3 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

14.刚体转动困难

一个实心球沿与水平面成 20° 的斜面无滑动地滚下。取 g = 9.81 m/s²。它从静止开始。沿斜面滚下 5.5 m 需要多长时间 t？

θ = 20°I = (2/5)·m·r²g = 9.81 m/s²s = 5.5 m

t = s

15.齿轮与齿轮系中等

两根平行轴相距 96 mm。须用一对模数为 2 mm、减速比为 5 : 1 的直齿圆柱齿轮把它们连接起来。大齿轮须有多少个齿 N₂？

a = 96 mmm = 2 mmi = 5

N₂ =

16.齿轮与齿轮系困难

一条开口皮带连接一个 125 mm 的带轮和一个 450 mm 的带轮，二者中心相距 1200 mm。求小带轮上的包角 θ，单位为度。

d₁ = 125 mmd₂ = 450 mmC = 1200 mm

θ = °

17.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 320 N/m 弹簧上的 1.1 kg 物体被沿正方向拉开 4 cm，在 t = 0 时由静止释放。求 t = 1.45 s 时它相对于平衡位置的位移 x（带符号）。

m = 1.1 kgk = 320 N/mA = 4 cmt = 1.45 s

x = cm

18.弹簧与单摆困难

一个连在 k = 350 N/m 弹簧上的物体在无摩擦表面上以 5 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 3 cm 时的动能 K。

k = 350 N/mA = 5 cmx = 3 cm

K = J

19.机械振动中等

一个 250 kg 的质量块挂在刚度为 50 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.45。求其自由振动的有阻尼固有频率 f_d，以 Hz 计。

m = 250 kgk = 50 kN/mζ = 0.45

f_d = Hz

20.机械振动困难

一个 100 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 40 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 100 kN/m 和 k₂ = 10 kN/m 悬挂；杆保持水平。忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 100 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 10 kN/mk₃ = 40 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: t = 2.5 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 45/3.6 = 12.5 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 12.5/5 = 2.5 s

答案

t = 2.5 s

2.运动学

答案: s = 280 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

最高速度

v = a₁·t₁ = 3·4 = 12 m/s

各阶段的距离

s₁ = ½·3·4² = 24 m

s₂ = 12·20 = 240 m

s₃ = 12²/(2·4.5) = 16 m

总距离

s = 24 + 240 + 16 = 280 m

答案

s = 280 m

3.牛顿定律

答案: μ = 0.2896

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

减速度

a = v₀²/(2d) = 2.5²/(2·1.1) = 2.841 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 2.841/9.81 = 0.2896

答案

μ = 0.2896

4.牛顿定律

答案: T = 14.94 N

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44.15 − 1.962)/6.5 = 6.49 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 2·6.49 + 1.962 = 14.94 N

答案

T = 14.94 N

5.抛体运动

答案: H = 49.54 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 36·cos 60° = 18 m/s

v_y = v₀·sin θ = 36·sin 60° = 31.18 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 31.18²/(2·9.81) = 49.54 m

答案

H = 49.54 m

6.抛体运动

答案: x = 87.33 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 30·cos 30° = 25.98 m/s

v_y = v₀·sin θ = 30·sin 30° = 15 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 5 + 15·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (15 + √(225 + 98.1))/9.81 = 3.361 s

水平距离

x = v_x·t = 25.98·3.361 = 87.33 m

答案

x = 87.33 m

7.圆周运动

答案: v_max = 14.01 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

法向力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·20) = 14.01 m/s

答案

v_max = 14.01 m/s

(50.43 km/h)

8.圆周运动

答案: v_max = 28.43 m/s

力的平衡

摩擦力沿斜面向下。

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(220·9.81·0.3546/0.947) = 28.43 m/s

答案

v_max = 28.43 m/s

(102.3 km/h)

9.功和能

答案: W_f = 0.8891 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 4.905·0.9063 = 4.445 N

F = μN = 0.1·4.445 = 0.4445 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 0.4445·2 = 0.8891 J

答案

W_f = 0.8891 J

10.功和能

答案: v = 5.901 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 19.62·(2 − 0.15·1.5) = 34.83 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·1.775) = 5.901 m/s

答案

v = 5.901 m/s

11.动量与碰撞

答案: ΔK = 71394 J

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1500·15/2600 = 8.654 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·1500·15² = 168750 J

K_after = ½·2600·8.654² = 97356 J

损失的能量

ΔK = 168750 − 97356 = 71394 J

答案

ΔK = 71394 J

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: v₁ = 10.3 m/s

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.5·9.81·5) = 7.004 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2500·7.004/1700 = 10.3 m/s

答案

v₁ = 10.3 m/s

(37.08 km/h)

13.刚体转动

答案: v = 8.227 m/s

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

势能的减少

m·g·L/2 = 2.5·9.81·1.15 = 28.2 J

对销钉的转动惯量

I_O = m·L²/3 = 2.5·2.3²/3 = 4.408 kg·m²

能量衡算

½·I_O·ω² = 28.2 → ω = √(2·28.2/4.408) = 3.577 rad/s

v = ω·L = 3.577·2.3 = 8.227 m/s

答案

v = 8.227 m/s

14.刚体转动

答案: t = 2.142 s

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

运动方程

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0.4·m·r²·(a/r) → f = 0.4·m·a

加速度

a = g·sin θ/(1 + c) = 9.81·sin 20°/1.4 = 2.397 m/s²

时间

s = ½·a·t² → t = √(2·5.5/2.397) = 2.142 s

答案

t = 2.142 s

15.齿轮与齿轮系

答案: N₂ = 80

齿轮几何：模数 m 决定齿的大小。齿数为 N 的齿轮分度圆直径为 d = m·N，相互啮合的两个齿轮模数相同，其中心距为 a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2。节线速度为 v = π·d·n/60，切向齿力由转矩求得：F_t = 2T/d。

总齿数

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·96/2 = 96

按传动比分配

N₁ = 96/(1 + 5) = 16

N₂ = 5·16 = 80

答案

N₂ = 80

16.齿轮与齿轮系

答案: θ = 164.4 °

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

皮带角

asin(0.1354) = 7.783°

包角

θ = 180 − 2·7.783 = 164.4°

答案

θ = 164.4°

17.弹簧与单摆

答案: x = 3.682 cm

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(320/1.1) = 17.06 rad/s

ω·t = 17.06·1.45 = 24.73 rad

位移

x = A·cos(ω·t) = 4·cos(24.73) = 3.682 cm

答案

x = 3.682 cm

18.弹簧与单摆

答案: K = 0.28 J

总能量

E = ½·k·A² = ½·350·0.05² = 0.4375 J

x 处的弹簧能量

U = ½·k·x² = ½·350·0.03² = 0.1575 J

动能

K = 0.4375 − 0.1575 = 0.28 J

答案

K = 0.28 J

19.机械振动

答案: f_d = 2.01 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

无阻尼固有频率

ω_n = √(50000/250) = 14.14 rad/s

f_n = 14.14/(2π) = 2.251 Hz

有阻尼固有频率

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 2.251·√(1 − 0.45²) = 2.01 Hz

答案

f_d = 2.01 Hz

20.机械振动

答案: f_n = 2.726 Hz

等效刚度

只有 k₁ 和 k₂ 是并联的。这一对与 k₃ 串联，所以要按倒数组合。

k₁₂ = 100 + 10 = 110 kN/m

k_eq = 110·40/(110 + 40) = 29.33 kN/m

固有频率

ω_n = √(29333/100) = 17.13 rad/s

f_n = 17.13/(2π) = 2.726 Hz

答案

f_n = 2.726 Hz

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