动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一位以 120 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 1.1 s，之后汽车以 6.5 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 120 km/ht_r = 1.1 sa = −6.5 m/s²

d = m

2.运动学困难

从离地面 15 m 高的屋顶边缘以 16 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 16 m/sh₀ = 15 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个箱子以 5.5 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 10 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 5.5 m/sd = 10 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 130 N 的水平力拉前面 1 kg 的物块；3 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求物块的加速度 a。

m₁ = 3 kgm₂ = 1 kgF = 130 Nμ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 34 m/s 抛出，必须落在 90 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 34 m/sR = 90 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.抛体运动困难

一个球从地面以 33 m/s、与水平方向成 55° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 19 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 33 m/sθ = 55°h_roof = 19 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

在游乐场的转筒中，乘客背靠在半径为 3.1 m 的竖直圆筒壁上。圆筒转得足够快时，底板下降，靠摩擦力托住乘客。静摩擦因数为 0.5。取 g = 9.81 m/s²。求最小转速 n，以每分钟转数表示。

r = 3.1 mμ_s = 0.5g = 9.81 m/s²

n = rpm

8.圆周运动困难

一个半径为 90 m 的弯道倾斜 12°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不向上、向外滑出的最高速度 v_max。

r = 90 mθ = 12°μ_s = 0.2g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 25° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.15。求它沿斜面滑行 10 m 后的速度 v。

θ = 25°μ = 0.15d = 10 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

一个 4 kg 的物块放在粗糙的水平桌面上（μ = 0.3）。一根轻绳从它出发，跨过桌边的光滑滑轮，连接一个悬挂的 3 kg 物块。系统由静止释放。求悬挂物块下降 3 m 后两物块的速度 v。

m₁ = 4 kgm₂ = 3 kgμ = 0.3d = 3 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一颗 20 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 1.5 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 11 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 20 gM = 1.5 kgh = 11 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.55 kg 的小球以 30 m/s 撞到墙上，并以 9 m/s 沿原路弹回。接触时间为 50 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.55 kgv_in = 30 m/sv_out = 9 m/sΔt = 50 ms

F_avg = N

13.刚体转动中等

转动惯量为 37 kg·m² 的飞轮以 500 rpm 转动。制动器施加 145 N·m 的恒定摩擦转矩。它需要多长时间 t 才能停下？

I = 37 kg·m²n = 500 rpmT_b = 145 N·m

t = s

14.刚体转动困难

一个人站在无摩擦的转盘上，每只手各拿一个 2.5 kg 的哑铃，距转轴 0.9 m。人和转盘单独对转轴的转动惯量为 3.5 kg·m²。他们以 50 rpm 转动，然后把哑铃收到距转轴 0.2 m 处。把哑铃看作质点。求新的转速 n₂，单位 rpm。

I₀ = 3.5 kg·m²m = 2 × 2.5 kgr₁ = 0.9 mr₂ = 0.2 mn₁ = 50 rpm

n₂ = rpm

15.齿轮与齿轮系中等

一个 80 mm 的带轮以 960 rpm 通过皮带驱动一个 315 mm 的带轮，打滑率为 1 %。求从动轮的转速 n₂。

n₁ = 960 rpmd₁ = 80 mmd₂ = 315 mms = 1 %

n₂ = rpm

16.齿轮与齿轮系困难

一条开口皮带连接一个 150 mm 的带轮和一个 400 mm 的带轮，二者中心相距 1200 mm。求小带轮上的包角 θ，单位为度。

d₁ = 150 mmd₂ = 400 mmC = 1200 mm

θ = °

17.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 2.3 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 2.3 mg = 9.81 m/s²

T = s

18.弹簧与单摆困难

一个 1.3 kg 的物体连在 k = 290 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 2 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 1.3 kgk = 290 N/mA = 2 cm

v_max = m/s

19.机械振动中等

一个 150 kg 的质量块挂在刚度为 40 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.6。求其自由振动的有阻尼固有频率 f_d，以 Hz 计。

m = 150 kgk = 40 kN/mζ = 0.6

f_d = Hz

20.机械振动困难

一个 5 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 50 kN/m 和 k₂ = 5 kN/m。质量块保持水平。忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 5 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 5 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: d = 122.1 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 120/3.6 = 33.33 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 33.33·1.1 = 36.67 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 33.33²/(2·6.5) = 85.47 m

合计

d = 36.67 + 85.47 = 122.1 m

答案

d = 122.1 m

2.运动学

答案: t = 4.022 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−15 = 16·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 16·t − 15 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (16 + √(16² + 2·9.81·15))/9.81 = 4.022 s

答案

t = 4.022 s

3.牛顿定律

答案: μ = 0.1542

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

减速度

a = v₀²/(2d) = 5.5²/(2·10) = 1.512 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 1.512/9.81 = 0.1542

答案

μ = 0.1542

4.牛顿定律

答案: a = 31.03 m/s²

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (130 − 5.886)/4 = 31.03 m/s²

答案

a = 31.03 m/s²

5.抛体运动

答案: θ = 24.9 °

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·90/34² = 0.7638

相角

2θ = 49.8° → θ = 24.9°

答案

θ = 24.9°

另一个解为 90° − θ = 65.1°。

6.抛体运动

答案: x = 88.66 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

v_x = 18.93 m/s, v_y = 27.03 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

19 = 27.03·t − 4.905·t²

t = (27.03 + √(27.03² − 2·9.81·19))/9.81 = 4.684 s

水平距离

x = v_x·t = 18.93·4.684 = 88.66 m

答案

x = 88.66 m

7.圆周运动

答案: n = 24.02 rpm

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

乘客受到的力

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

角速度

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.5·3.1)) = 2.516 rad/s

转速

n = ω·60/(2π) = 24.02 rpm

答案

n = 24.02 rpm

8.圆周运动

答案: v_max = 19.5 m/s

力的平衡

摩擦力沿斜面向下。

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(90·9.81·0.4035/0.9366) = 19.5 m/s

答案

v_max = 19.5 m/s

(70.22 km/h)

9.功和能

答案: v = 7.5 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·10·(0.4226 − 0.15·0.9063)) = 7.5 m/s

答案

v = 7.5 m/s

10.功和能

答案: v = 3.89 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

释放和损失的能量

m₂g·d = 29.43·3 = 88.29 J

μ·m₁g·d = 0.3·39.24·3 = 35.32 J

两个物块的动能

½(m₁ + m₂)v² = 52.97 → v = √(2·52.97/7) = 3.89 m/s

答案

v = 3.89 m/s

11.动量与碰撞

答案: v = 111.7 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.11) = 1.469 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.02 + 1.5)·1.469/0.02 = 111.7 m/s

答案

v = 111.7 m/s

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 429 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.55·(9 + 30) = 21.45 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 21.45/0.05 = 429 N

答案

F_avg = 429 N

13.刚体转动

答案: t = 13.36 s

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

角速度

ω = 2π·500/60 = 52.36 rad/s

减速度和时间

α = T_b/I = 145/37 = 3.919 rad/s²

t = ω/α = 52.36/3.919 = 13.36 s

答案

t = 13.36 s

14.刚体转动

答案: n₂ = 102 rpm

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

转动惯量

I₁ = 3.5 + 2·2.5·0.9² = 7.55 kg·m²

I₂ = 3.5 + 2·2.5·0.2² = 3.7 kg·m²

角动量守恒

n₂ = n₁·I₁/I₂ = 50·7.55/3.7 = 102 rpm

答案

n₂ = 102 rpm

动能增加了：多出来的能量来自人收哑铃时所做的功。

15.齿轮与齿轮系

答案: n₂ = 241.4 rpm

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

无打滑时的转速

960·80/315 = 243.8 rpm

有打滑

n₂ = 243.8·0.99 = 241.4 rpm

答案

n₂ = 241.4 rpm

16.齿轮与齿轮系

答案: θ = 168 °

皮带角

asin(0.1042) = 5.979°

包角

θ = 180 − 2·5.979 = 168°

答案

θ = 168°

17.弹簧与单摆

答案: T = 3.042 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(2.3/9.81) = 3.042 s

答案

T = 3.042 s

18.弹簧与单摆

答案: v_max = 0.2987 m/s

角频率

ω = √(290/1.3) = 14.94 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.02·14.94 = 0.2987 m/s

答案

v_max = 0.2987 m/s

19.机械振动

答案: f_d = 2.079 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

无阻尼固有频率

ω_n = √(40000/150) = 16.33 rad/s

f_n = 16.33/(2π) = 2.599 Hz

有阻尼固有频率

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 2.599·√(1 − 0.6²) = 2.079 Hz

答案

f_d = 2.079 Hz

20.机械振动

答案: f_n = 16.69 Hz

等效刚度

并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k₁ + k₂。

k_eq = 50 + 5 = 55 kN/m

固有频率

ω_n = √(55000/5) = 104.9 rad/s

f_n = 104.9/(2π) = 16.69 Hz

答案

f_n = 16.69 Hz

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