动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一架飞机起飞需要 250 km/h 的速度，可用跑道长 1300 m。从静止开始，它需要多大的恒定加速度 a？

v₀ = 0v = 250 km/hs = 1300 m

a = m/s²

2.运动学困难

一辆有轨电车从静止开始以 1.5 m/s² 加速 8 s，然后匀速行驶 19 s，最后以 3 m/s² 制动直到停止。求两站之间的总距离 s。

a₁ = 1.5 m/s²t₁ = 8 st₂ = 19 sa₃ = −3 m/s²

s = m

3.牛顿定律中等

一个 4 kg 的物块沿倾角为 45° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 4 kgθ = 45°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 6.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 1.5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 6.5 kgm₂ = 1.5 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 50° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 36 m/sθ = 50°g = 9.81 m/s²

x = m

6.抛体运动困难

一个球从 55 m 高的悬崖顶部以 20 m/s、与水平方向成 60° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它落地时的速度 v。

v₀ = 20 m/sθ = 60°h = 55 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 30 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 30 mμ_s = 0.7g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 1.1 kg 的小球系在长 0.8 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 3.5 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 1.1 kgr = 0.8 mv = 3.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个 0.2 kg 的球挂在长 0.5 m 的轻绳上。把它拉向一侧，使绳与竖直方向成 70°，然后从静止释放。求球经过最低点时绳中的拉力 T。

m = 0.2 kgL = 0.5 mθ = 70°g = 9.81 m/s²

T = N

10.功和能困难

一个 10 kg 的物块从 30° 斜坡的底部由静止开始，被一个平行于斜坡、大小为 80 N 的恒力沿斜坡向上拉。动摩擦因数为 0.2。求物块沿斜坡向上移动 4 m 后的速度 v。

m = 10 kgF = 80 Nθ = 30°μ = 0.2d = 4 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一个以 7 m/s 水平运动的 6 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。1 kg 的碎片以 47 m/s 继续向前运动。求 5 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 6 kgu = 7 m/sm₁ = 1 kgv′₁ = 47 m/sm₂ = 5 kg

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.35 kg 的小球以 11 m/s 撞到墙上，并以 15 m/s 沿原路弹回。接触时间为 5 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.35 kgv_in = 11 m/sv_out = 15 m/sΔt = 5 ms

F_avg = N

13.刚体转动中等

一台电动机用 53 s 把转动惯量为 29 kg·m² 的飞轮从静止加速到 1000 rpm。忽略损耗，求它输出的平均功率 P_avg，单位 kW。

I = 29 kg·m²n = 1000 rpmt = 53 s

P_avg = kW

14.刚体转动困难

一个实心球从静止开始，沿与水平面成 25° 的斜面无滑动地滚下。取 g = 9.81 m/s²。求它沿斜面滚过 9 m 后的速度 v。

θ = 25°s = 9 mI = (2/5)·m·r²g = 9.81 m/s²

v = m/s

15.齿轮与齿轮系中等

一台 1.5 kW 的电动机以 1450 rpm 运转，驱动一个齿数为 12 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 16 的大齿轮啮合。该齿轮副的效率为 97%。求电动机轴上的扭矩 T₁。

P = 1.5 kWn₁ = 1450 rpmN₁ = 12N₂ = 16η = 97%

T₁ = N·m

16.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（45 齿）以 2900 rpm 转动，驱动齿轮 B（50 齿）。齿轮 C（32 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（50 齿）。求输出转速 n_out。

n_in = 2900 rpmA = 45B = 50C = 32D = 50

n_out = rpm

17.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 190 N/m 弹簧上的 0.9 kg 物体被沿正方向拉开 8 cm，在 t = 0 时由静止释放。求 t = 0.95 s 时它相对于平衡位置的位移 x（带符号）。

m = 0.9 kgk = 190 N/mA = 8 cmt = 0.95 s

x = cm

18.弹簧与单摆困难

一个 1 kg 的物体连在 k = 490 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 12 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 1 kgk = 490 N/mA = 12 cm

v_max = m/s

19.机械振动中等

一个 5 kg 的质量块由刚度为 20 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 130 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。

m = 5 kgk = 20 kN/mc = 130 N·s/m

ζ =

20.机械振动困难

一个 10 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 20 kN/m，下弹簧 k₂ = 12 kN/m。求弹簧系统的等效刚度 k_eq，以 kN/m 计。

m = 10 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 12 kN/m

k_eq = kN/m

3溶液

1.运动学

答案: a = 1.855 m/s²

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v = 250/3.6 = 69.44 m/s

加速度

a = v²/(2s) = 69.44²/(2·1300) = 1.855 m/s²

答案

a = 1.855 m/s²

2.运动学

答案: s = 300 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

最高速度

v = a₁·t₁ = 1.5·8 = 12 m/s

各阶段的距离

s₁ = ½·1.5·8² = 48 m

s₂ = 12·19 = 228 m

s₃ = 12²/(2·3) = 24 m

总距离

s = 48 + 228 + 24 = 300 m

答案

s = 300 m

3.牛顿定律

答案: a = 5.896 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 45° − 0.15·cos 45°) = 9.81·(0.7071 − 0.1061) = 5.896 m/s²

答案

a = 5.896 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 13.15 N

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (14.71 − 6.377)/8 = 1.042 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 6.5·1.042 + 6.377 = 13.15 N

答案

T = 13.15 N

5.抛体运动

答案: x = 130.1 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 36·cos 50° = 23.14 m/s

v_y = v₀·sin θ = 36·sin 50° = 27.58 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·27.58/9.81 = 5.622 s

水平距离

x = v_x·t = 23.14·5.622 = 130.1 m

答案

x = 130.1 m

6.抛体运动

答案: v = 38.46 m/s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

v_x = 20·cos 60° = 10 m/s

v_y0 = 20·sin 60° = 17.32 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(17.32² + 2·9.81·55) = 37.14 m/s

落水速度

v = √(10² + 37.14²) = 38.46 m/s

答案

v = 38.46 m/s

用能量校核：v² = v₀² + 2gh。

7.圆周运动

答案: v_max = 14.35 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.7·9.81·30) = 14.35 m/s

答案

v_max = 14.35 m/s (51.67 km/h)

8.圆周运动

答案: T = 27.63 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 1.1·9.81 + 1.1·3.5²/0.8 = 10.79 + 16.84 = 27.63 N

答案

T = 27.63 N

9.功和能

答案: T = 4.544 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

最低点的速度

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·0.5·(1 − cos 70°) = 6.455 m²/s²

最低点的受力

m·g = 0.2·9.81 = 1.962 N

T = mg + mv²/L = 1.962 + 0.2·6.455/0.5 = 4.544 N

答案

T = 4.544 N

校核：T = mg(3 − 2cos θ) = 4.544 N。

10.功和能

答案: v = 3.342 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面方向的力

m·g = 10·9.81 = 98.1 N

mg·sin θ = 49.05 N

μ·mg·cos θ = 16.99 N

功–能关系

½mv² = (80 − 66.04)·4 = 55.83 J

v = √(2·55.83/10) = 3.342 m/s

答案

v = 3.342 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = −1 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

碰撞前的动量

p = M·u = 6·7 = 42 kg·m/s

碰撞后的动量

42 = 1·47 + 5·v′₂

v′₂ = (42 − 47)/5 = −1 m/s

答案

v′₂ = −1 m/s

负号表示第二块碎片向后飞。

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 1820 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.35·(15 + 11) = 9.1 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 9.1/0.005 = 1820 N

答案

F_avg = 1820 N

13.刚体转动

答案: P_avg = 3 kW

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

角速度

ω = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s

能量

E = ½·I·ω² = ½·29·104.7² = 159010 J

平均功率

P_avg = E/t = 159010/53 = 3000 W = 3 kW

答案

P_avg = 3 kW

14.刚体转动

答案: v = 7.301 m/s

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

下降的高度

h = s·sin θ = 9·sin 25° = 3.804 m

滚动时的能量平衡

无滑动滚动：ω = v/r，接触点处的摩擦力不做功。

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 0.4)

v = √(2·9.81·3.804/1.4) = 7.301 m/s

答案

v = 7.301 m/s

15.齿轮与齿轮系

答案: T₁ = 9.879 N·m

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

电动机扭矩

ω₁ = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1500/151.8 = 9.879 N·m

答案

T₁ = 9.879 N·m

16.齿轮与齿轮系

答案: n_out = 1670 rpm

第一级

n_B = 2900·45/50 = 2610 rpm = n_C

第二级

n_out = 2610·32/50 = 1670 rpm

答案

n_out = 1670 rpm

总传动比 = 1.736 : 1

17.弹簧与单摆

答案: x = 2.622 cm

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(190/0.9) = 14.53 rad/s

ω·t = 14.53·0.95 = 13.8 rad

位移

x = A·cos(ω·t) = 8·cos(13.8) = 2.622 cm

答案

x = 2.622 cm

18.弹簧与单摆

答案: v_max = 2.656 m/s

角频率

ω = √(490/1) = 22.14 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.12·22.14 = 2.656 m/s

答案

v_max = 2.656 m/s

19.机械振动

答案: ζ = 0.2055

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

临界阻尼

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(20000·5) = 632.5 N·s/m

阻尼比

ζ = c/c_c = 130/632.5 = 0.2055

答案

ζ = 0.2055

ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。

20.机械振动

答案: k_eq = 7.5 kN/m

等效刚度

串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

1/k_eq = 1/20 + 1/12 → k_eq = 20·12/(20 + 12) = 7.5 kN/m

答案

k_eq = 7.5 kN/m

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