动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一架飞机起飞需要 180 km/h 的速度，可用跑道长 1500 m。从静止开始，它需要多大的恒定加速度 a？

v₀ = 0v = 180 km/hs = 1500 m

a = m/s²

2.运动学困难

一块石头由静止释放落入井中。释放后 5 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

t_total = 5 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.牛顿定律中等

质量为 9.5 kg 和 0.5 kg 的两个物体用轻绳相连，分别悬挂在一个轻质无摩擦滑轮的两侧。系统由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求物体的加速度 a。

m₁ = 9.5 kgm₂ = 0.5 kgg = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 140 N 的水平力拉前面 1 kg 的物块；8 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求连接绳中的拉力 T。

m₁ = 8 kgm₂ = 1 kgF = 140 Nμ = 0.25g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 65° 的角度抛出，落在 105 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 65°R = 105 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 50 m 高的悬崖顶上以高于水平面 15° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 20 m/sθ = 15°h = 50 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一个系在长 1.1 m 绳上的小球做水平圆周运动，绳与竖直方向保持 20° 的恒定夹角（圆锥摆）。取 g = 9.81 m/s²。求小球的速度 v。

L = 1.1 mθ = 20°g = 9.81 m/s²

v = m/s

8.圆周运动困难

一个小球系在长 0.6 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。取 g = 9.81 m/s²。在最高点处，速度至少为多少 v_min 才能使绳子恰好保持绷紧？

r = 0.6 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一个 2.5 kg 的物块沿倾角 45° 的斜面下滑 14 m，动摩擦因数为 0.15。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 2.5 kgθ = 45°μ = 0.15d = 14 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 5 kg 的物块从 30° 斜坡的底部由静止开始，被一个平行于斜坡、大小为 45 N 的恒力沿斜坡向上拉。动摩擦因数为 0.3。求物块沿斜坡向上移动 7 m 后的速度 v。

m = 5 kgF = 45 Nθ = 30°μ = 0.3d = 7 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 10 m/s 运动的 2.5 kg 滑块与一个静止的 5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 2.5 kgm₂ = 5 kgv₁ = 10 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一辆 1400 kg 的汽车撞上一辆停放的 1600 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 21 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1400 kgm₂ = 1600 kgd = 21 mμ = 0.7g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.刚体转动中等

质量为 3.5 kg、长为 1.5 m 的均匀细杆一端铰接，在水平位置从静止释放。忽略摩擦，取 g = 9.81 m/s²。求杆摆过竖直位置时自由端的速度 v。

m = 3.5 kgL = 1.5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

14.刚体转动困难

质量为 9 kg、长为 1.1 m 的均匀细杆，从无摩擦的上端枢轴处静止悬挂。一颗 20 g 的子弹以 200 m/s 的速度水平击中杆上枢轴下方 0.44 m 处并留在杆中。求撞击后瞬间杆的角速度 ω。

M = 9 kgL = 1.1 mm = 20 gv = 200 m/sd = 0.44 m

ω = rad/s

15.齿轮与齿轮系中等

两根平行轴相距 108 mm。须用一对模数为 3 mm、减速比为 2 : 1 的直齿圆柱齿轮把它们连接起来。小齿轮须有多少个齿 N₁？

a = 108 mmm = 3 mmi = 2

N₁ =

16.齿轮与齿轮系困难

在一个行星齿轮系中，太阳轮有 24 个齿，每个行星轮有 20 个齿。行星架固定，太阳轮以 1800 rpm 驱动。求齿圈的转速 n_r（大小）。

N_s = 24N_p = 20n_s = 1800 rpm

n_r = rpm

17.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 390 N/m 弹簧上的 3.5 kg 物体在无摩擦表面上以 9 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 7 cm 时的速度 v。

m = 3.5 kgk = 390 N/mA = 9 cmx = 7 cm

v = m/s

18.弹簧与单摆困难

一个 2.7 kg 的物体连在 k = 210 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 16 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 2.7 kgk = 210 N/mA = 16 cm

v_max = m/s

19.机械振动中等

在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 25 mm 之后 2 个周期出现峰值 11.7 mm。求阻尼比 ζ。

x₀ = 25 mmx₂ = 11.7 mmn = 2

ζ =

20.机械振动困难

一个 5 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 40 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 25 kN/m 和 k₂ = 12 kN/m 悬挂；杆保持水平。忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 5 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 12 kN/mk₃ = 40 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: a = 0.8333 m/s²

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v = 180/3.6 = 50 m/s

加速度

a = v²/(2s) = 50²/(2·1500) = 0.8333 m/s²

答案

a = 0.8333 m/s²

2.运动学

答案: d = 107.7 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(5 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 1715 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1715))/(2·4.905) = 4.686 s

深度

d = ½·9.81·4.686² = 107.7 m

答案

d = 107.7 m

3.牛顿定律

答案: a = 8.829 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

加速度

净驱动力是两个重量之差；它带动的是总质量。

a = (9.5 − 0.5)·9.81/(9.5 + 0.5) = 8.829 m/s²

答案

a = 8.829 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 124.4 N

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (140 − 22.07)/9 = 13.1 m/s²

单独分析后面的物块

T = m₁·(a + μ·g) = 8·(13.1 + 2.453) = 124.4 N

答案

T = 124.4 N

两个物块的 μ 相同时，摩擦力被消去：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.抛体运动

答案: v₀ = 36.67 m/s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·105/sin 130°) = 36.67 m/s

答案

v₀ = 36.67 m/s

6.抛体运动

答案: x = 72.71 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 20·cos 15° = 19.32 m/s

v_y = v₀·sin θ = 20·sin 15° = 5.176 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 50 + 5.176·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (5.176 + √(26.79 + 981))/9.81 = 3.764 s

水平距离

x = v_x·t = 19.32·3.764 = 72.71 m

答案

x = 72.71 m

7.圆周运动

答案: v = 1.159 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

圆的半径

r = L·sin θ = 1.1·sin 20° = 0.3762 m

速率

拉力和重力共同提供向心的力：tan θ = v²/(r·g)。

v = √(r·g·tan θ) = √(0.3762·9.81·tan 20°) = 1.159 m/s

答案

v = 1.159 m/s

8.圆周运动

答案: v_min = 2.426 m/s

最高点张力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·0.6) = 2.426 m/s

答案

v_min = 2.426 m/s

9.功和能

答案: W_f = 36.42 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 24.53·0.7071 = 17.34 N

F = μN = 0.15·17.34 = 2.601 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 2.601·14 = 36.42 J

答案

W_f = 36.42 J

10.功和能

答案: v = 4.653 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面方向的力

m·g = 5·9.81 = 49.05 N

mg·sin θ = 24.52 N

μ·mg·cos θ = 12.74 N

功–能关系

½mv² = (45 − 37.27)·7 = 54.12 J

v = √(2·54.12/5) = 4.653 m/s

答案

v = 4.653 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 6.667 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (2.5 − 5)/(2.5 + 5)·10 = −3.333 m/s

v′₂ = 2·2.5/(2.5 + 5)·10 = 6.667 m/s

答案

v′₂ = 6.667 m/s

12.动量与碰撞

答案: v₁ = 36.39 m/s

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.7·9.81·21) = 16.98 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3000·16.98/1400 = 36.39 m/s

答案

v₁ = 36.39 m/s

(131 km/h)

13.刚体转动

答案: v = 6.644 m/s

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

势能的减少

m·g·L/2 = 3.5·9.81·0.75 = 25.75 J

对销钉的转动惯量

I_O = m·L²/3 = 3.5·1.5²/3 = 2.625 kg·m²

能量衡算

½·I_O·ω² = 25.75 → ω = √(2·25.75/2.625) = 4.429 rad/s

v = ω·L = 4.429·1.5 = 6.644 m/s

答案

v = 6.644 m/s

14.刚体转动

答案: ω = 0.4843 rad/s

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

撞击后的转动惯量

I = M·L²/3 + m·d² = 9·1.1²/3 + 0.02·0.44² = 3.634 kg·m²

对枢轴的角动量

枢轴力通过枢轴，所以撞击期间它对枢轴没有力矩。

m·v·d = I·ω → ω = 0.02·200·0.44/3.634 = 0.4843 rad/s

答案

ω = 0.4843 rad/s

15.齿轮与齿轮系

答案: N₁ = 24

齿轮几何：模数 m 决定齿的大小。齿数为 N 的齿轮分度圆直径为 d = m·N，相互啮合的两个齿轮模数相同，其中心距为 a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2。节线速度为 v = π·d·n/60，切向齿力由转矩求得：F_t = 2T/d。

总齿数

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·108/3 = 72

按传动比分配

N₁ = 72/(1 + 2) = 24

答案

N₁ = 24

16.齿轮与齿轮系

答案: n_r = 675 rpm

行星齿轮系：太阳轮、齿圈和行星架的转速由威利斯方程 (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s 联系起来：从行星架上看，该轮系是以行星轮为惰轮的普通轮系。固定其中一个构件，轮系就成为一个单一传动比的减速器。

齿圈齿数

N_r = N_s + 2·N_p = 24 + 2·20 = 64

行星架固定时的威利斯方程

n_c = 0 时，太阳轮通过起惰轮作用的行星轮驱动齿圈。

n_r = −n_s·N_s/N_r = −1800·24/64 = −675 rpm

|n_r| = 675 rpm

答案

n_r = 675 rpm

齿圈与太阳轮转向相反。

17.弹簧与单摆

答案: v = 0.5971 m/s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(390/3.5) = 10.56 rad/s

x 处的速度

v = ω·√(A² − x²) = 10.56·√(0.09² − 0.07²) = 0.5971 m/s

答案

v = 0.5971 m/s

18.弹簧与单摆

答案: v_max = 1.411 m/s

角频率

ω = √(210/2.7) = 8.819 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.16·8.819 = 1.411 m/s

答案

v_max = 1.411 m/s

19.机械振动

答案: ζ = 0.06031

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

对数衰减率

δ = (1/2)·ln(25/11.7) = 0.3796

阻尼比

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.3796/√(39.48 + 0.1441) = 0.06031

答案

ζ = 0.06031

20.机械振动

答案: f_n = 9.868 Hz

等效刚度

只有 k₁ 和 k₂ 是并联的。这一对与 k₃ 串联，所以要按倒数组合。

k₁₂ = 25 + 12 = 37 kN/m

k_eq = 37·40/(37 + 40) = 19.22 kN/m

固有频率

ω_n = √(19221/5) = 62 rad/s

f_n = 62/(2π) = 9.868 Hz

答案

f_n = 9.868 Hz

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