动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 72 km/h 行驶的汽车以 5.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 72 km/ha = −5.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

一枚模型火箭从静止竖直向上发射。其发动机使它获得 36 m/s² 的恒定向上加速度，持续 1.5 s，之后发动机停止，火箭做自由运动。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求火箭达到的最大高度 h_max。

a = 36 m/s²t₁ = 1.5 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 15 kg 的物块沿倾角为 35° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 15 kgθ = 35°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 5.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 3.5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 5.5 kgm₂ = 3.5 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 26 m/s 抛出，必须落在 35 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 26 m/sR = 35 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.抛体运动困难

一个球从 35 m 高的悬崖顶上以高于水平面 35° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 12 m/sθ = 35°h = 35 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 100 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 100 mμ_s = 0.7g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个半径为 120 m 的弯道倾斜 20°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不向上、向外滑出的最高速度 v_max。

r = 120 mθ = 20°μ_s = 0.1g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.功和能中等

一个玩具发射器有一根刚度为 400 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.25 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 10 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。

m = 0.25 kgk = 400 N/mx = 10 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.功和能困难

一个 5 kg 的物块从光滑坡道上 3 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 3.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.3），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 800 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 5 kgh = 3 mL = 3.5 mμ = 0.3k = 800 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

一个以 27 m/s 水平运动的 16 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。8 kg 的碎片以 46 m/s 继续向前运动。求 8 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 16 kgu = 27 m/sm₁ = 8 kgv′₁ = 46 m/sm₂ = 8 kg

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

在一个十字路口，一辆以 14 m/s 向东行驶的 1100 kg 汽车与一辆以 18 m/s 向北行驶的 1100 kg 汽车相撞。两车卡在一起。求碰撞后瞬间残骸的方向 θ，以东偏北的角度表示。

m₁ = 1100 kgv₁ = 14 m/s (E)m₂ = 1100 kgv₂ = 18 m/s (N)

θ = °

13.刚体转动中等

一个 13.5 kg 的物块悬挂在绕过滑轮的轻绳上，滑轮是质量为 12.5 kg、半径为 0.1 m 的均匀实心圆盘，在无摩擦的水平轴上转动。物块从静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求滑轮的角加速度 α。

m = 13.5 kgM = 12.5 kgR = 0.1 mg = 9.81 m/s²

α = rad/s²

14.刚体转动困难

一个均匀实心圆盘（质量 6 kg，半径 0.4 m）绕无摩擦的竖直轴以 100 rpm 自由旋转。一个质量为 14 kg、半径相同的薄圆环从静止状态落到它上面，圆心对准转轴，两者很快一起旋转。在这个过程中损失了多少动能 ΔE？

M_disc = 6 kgM_ring = 14 kgR = 0.4 mn₁ = 100 rpm

ΔE = J

15.齿轮与齿轮系中等

一台 11 kW 的电动机以 1450 rpm 运转，驱动一个齿数为 20 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 25 的大齿轮啮合。该齿轮副的效率为 97%。求齿轮轴上的输出扭矩 T₂。

P = 11 kWn₁ = 1450 rpmN₁ = 20N₂ = 25η = 97%

T₂ = N·m

16.齿轮与齿轮系困难

一台 7.5 kW、960 rpm 的电动机驱动齿轮 A（18 齿），A 与齿轮 B（48 齿）啮合。与 B 同轴的齿轮 C（18 齿）驱动输出轴上的齿轮 D（36 齿）。每对齿轮啮合的效率为 95%。求输出转矩 T_out。

P = 7.5 kWn_in = 960 rpmA = 18B = 48C = 18D = 36η_mesh = 95%

T_out = N·m

17.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 1.9 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 1.9 sg = 9.81 m/s²

L = m

18.弹簧与单摆困难

一个 0.4 kg 的物体连在 k = 60 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 18 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 0.4 kgk = 60 N/mA = 18 cm

v_max = m/s

19.机械振动中等

在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 30 mm 之后 4 个周期出现峰值 4 mm。求阻尼比 ζ。

x₀ = 30 mmx₄ = 4 mmn = 4

ζ =

20.机械振动困难

一个 20 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 40 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 20 kN/m 和 k₂ = 40 kN/m 悬挂；杆保持水平。忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 20 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 40 kN/mk₃ = 40 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: s = 36.36 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 72/3.6 = 20 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 20²/(2·5.5) = 36.36 m

答案

s = 36.36 m

2.运动学

答案: h_max = 189.1 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

动力阶段

v₁ = 36·1.5 = 54 m/s

h₁ = ½·36·1.5² = 40.5 m

向上的自由飞行

在最高点速度为零。

Δh = v₁²/(2g) = 54²/(2·9.81) = 148.6 m

h_max = 40.5 + 148.6 = 189.1 m

答案

h_max = 189.1 m

3.牛顿定律

答案: a = 4.421 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 35° − 0.15·cos 35°) = 9.81·(0.5736 − 0.1229) = 4.421 m/s²

答案

a = 4.421 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 27.28 N

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34.34 − 16.19)/9 = 2.017 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 5.5·2.017 + 16.19 = 27.28 N

答案

T = 27.28 N

5.抛体运动

答案: θ = 15.26 °

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·35/26² = 0.5079

相角

2θ = 30.52° → θ = 15.26°

答案

θ = 15.26°

另一个解为 90° − θ = 74.74°。

6.抛体运动

答案: t = 3.463 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 12·cos 35° = 9.83 m/s

v_y = v₀·sin θ = 12·sin 35° = 6.883 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 35 + 6.883·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (6.883 + √(47.37 + 686.7))/9.81 = 3.463 s

答案

t = 3.463 s

7.圆周运动

答案: v_max = 26.2 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.7·9.81·100) = 26.2 m/s

答案

v_max = 26.2 m/s (94.34 km/h)

8.圆周运动

答案: v_max = 23.81 m/s

力的平衡

摩擦力沿斜面向下。

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(120·9.81·0.436/0.9055) = 23.81 m/s

答案

v_max = 23.81 m/s

(85.71 km/h)

9.功和能

答案: h = 0.8155 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 10 cm = 0.1 m

½kx² = ½·400·0.1² = 2 J

高度

m·g = 0.25·9.81 = 2.453 N

h = ½kx²/(mg) = 2/2.453 = 0.8155 m

答案

h = 0.8155 m

10.功和能

答案: x = 48.9 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 49.05·(3 − 0.3·3.5) = 95.65 J

最大压缩量

½kx² = 95.65 → x = √(2·95.65/800) = 0.489 m = 48.9 cm

答案

x = 48.9 cm

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 8 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

碰撞前的动量

p = M·u = 16·27 = 432 kg·m/s

碰撞后的动量

432 = 8·46 + 8·v′₂

v′₂ = (432 − 368)/8 = 8 m/s

答案

v′₂ = 8 m/s

12.动量与碰撞

答案: θ = 52.13 °

动量分量

p_x = 1100·14 = 15400 kg·m/s

p_y = 1100·18 = 19800 kg·m/s

方向

tan θ = p_y/p_x = 1.286 → θ = 52.13°

答案

θ = 52.13°

13.刚体转动

答案: α = 67.06 rad/s²

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

物块和滑轮

物块: m·g − T = m·a

滑轮: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

加速度

a = m·g/(m + M/2) = 13.5·9.81/(13.5 + 6.25) = 6.706 m/s²

角加速度

α = a/R = 6.706/0.1 = 67.06 rad/s²

答案

α = 67.06 rad/s²

14.刚体转动

答案: ΔE = 21.67 J

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

转动惯量

I₁ = ½·6·0.4² = 0.48 kg·m²

I₂ = 14·0.4² = 2.24 kg·m²

角动量守恒

n₂ = n₁·I₁/(I₁ + I₂) = 100·0.48/2.72 = 17.65 rpm

碰撞前后的动能

E₁ = ½·0.48·10.47² = 26.32 J

E₂ = ½·2.72·1.848² = 4.645 J

ΔE = 26.32 − 4.645 = 21.67 J

答案

ΔE = 21.67 J

15.齿轮与齿轮系

答案: T₂ = 87.84 N·m

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

电动机扭矩

ω₁ = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 11000/151.8 = 72.44 N·m

输出扭矩

T₂ = 72.44·25/20·0.97 = 87.84 N·m

答案

T₂ = 87.84 N·m

16.齿轮与齿轮系

答案: T_out = 359.1 N·m

输出转速

n_out = 960·(18/48)·(18/36) = 180 rpm

ω_out = 2π·180/60 = 18.85 rad/s

输出功率和转矩

P_out = 7500·0.95² = 6769 W

T_out = P_out/ω_out = 6769/18.85 = 359.1 N·m

答案

T_out = 359.1 N·m

17.弹簧与单摆

答案: L = 0.897 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(1.9/2π)² = 0.897 m

答案

L = 0.897 m

18.弹簧与单摆

答案: v_max = 2.205 m/s

角频率

ω = √(60/0.4) = 12.25 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.18·12.25 = 2.205 m/s

答案

v_max = 2.205 m/s

19.机械振动

答案: ζ = 0.07991

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

对数衰减率

δ = (1/4)·ln(30/4) = 0.5037

阻尼比

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.5037/√(39.48 + 0.2537) = 0.07991

答案

ζ = 0.07991

20.机械振动

答案: f_n = 5.513 Hz

等效刚度

只有 k₁ 和 k₂ 是并联的。这一对与 k₃ 串联，所以要按倒数组合。

k₁₂ = 20 + 40 = 60 kN/m

k_eq = 60·40/(60 + 40) = 24 kN/m

固有频率

ω_n = √(24000/20) = 34.64 rad/s

f_n = 34.64/(2π) = 5.513 Hz

答案

f_n = 5.513 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics