动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 54 km/h 行驶的汽车以 7 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 54 km/ha = −7 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

一辆有轨电车从静止开始以 2.5 m/s² 加速 7 s，然后匀速行驶 12 s，最后以 5 m/s² 制动直到停止。求两站之间的总距离 s。

a₁ = 2.5 m/s²t₁ = 7 st₂ = 12 sa₃ = −5 m/s²

s = m

3.牛顿定律中等

一个箱子以 3 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 1.1 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 3 m/sd = 1.1 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 6.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 4 kg 重物相连。桌面光滑。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 6.5 kgm₂ = 4 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 70° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 24 m/sθ = 70°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从 25 m 高的悬崖顶上以高于水平面 40° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 28 m/sθ = 40°h = 25 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

在游乐场的转筒中，乘客背靠在半径为 1.9 m 的竖直圆筒壁上。圆筒转得足够快时，底板下降，靠摩擦力托住乘客。静摩擦因数为 0.5。取 g = 9.81 m/s²。求最小转速 n，以每分钟转数表示。

r = 1.9 mμ_s = 0.5g = 9.81 m/s²

n = rpm

8.圆周运动困难

一个小球系在长 0.8 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。取 g = 9.81 m/s²。在最高点处，速度至少为多少 v_min 才能使绳子恰好保持绷紧？

r = 0.8 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一个 1 kg 的物块沿倾角 35° 的斜面下滑 10 m，动摩擦因数为 0.4。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 1 kgθ = 35°μ = 0.4d = 10 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 5 kg 的物块放在粗糙的水平桌面上（μ = 0.2）。一根轻绳从它出发，跨过桌边的光滑滑轮，连接一个悬挂的 5 kg 物块。系统由静止释放。求悬挂物块下降 1.5 m 后两物块的速度 v。

m₁ = 5 kgm₂ = 5 kgμ = 0.2d = 1.5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 8 m/s 运动的 0.5 kg 滑块与一个静止的 5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 0.5 kgm₂ = 5 kgv₁ = 8 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一颗 10 g 的子弹水平射入一个用长 1.9 m 的轻绳悬挂的 2 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 35°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 10 gM = 2 kgL = 1.9 mθ = 35°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.刚体转动中等

一个 13.5 kg 的物块悬挂在绕过滑轮的轻绳上，滑轮是质量为 16 kg、半径为 0.2 m 的均匀实心圆盘，在无摩擦的水平轴上转动。物块从静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m = 13.5 kgM = 16 kgR = 0.2 mg = 9.81 m/s²

T = N

14.刚体转动困难

一个实心球从静止开始，沿与水平面成 25° 的斜面无滑动地滚下。取 g = 9.81 m/s²。它的半径为 0.15 m。求它沿斜面滚过 5 m 后的角速度 ω。

θ = 25°s = 5 mI = (2/5)·m·r²g = 9.81 m/s²r = 0.15 m

ω = rad/s

15.齿轮与齿轮系中等

一条皮带绕在一个以 1450 rpm 转动、直径 200 mm 的主动轮上。紧边张力为 1200 N，松边张力为 360 N。求传递的功率 P，单位 kW。

d₁ = 200 mmn₁ = 1450 rpmT₁ = 1200 NT₂ = 360 N

P = kW

16.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（15 齿）以 3000 rpm 转动，驱动齿轮 B（25 齿）。齿轮 C（16 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D。输出轴须以 1152 rpm 转动。齿轮 D 须有多少个齿 N_D？

n_in = 3000 rpmA = 15B = 25C = 16n_out = 1152 rpm

N_D =

17.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 1.6 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 1.6 sg = 9.81 m/s²

L = m

18.弹簧与单摆困难

一个物体做简谐振动，周期为 3.3 s，振幅为 7 cm。它从最大位移 7 cm 处运动到位移 2.1 cm 处所需的最短时间 t 是多少？

T = 3.3 sA = 7 cmx = 2.1 cm

t = s

19.机械振动中等

一个 20 kg 的质量块挂在刚度为 2 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.6。求其自由振动的有阻尼固有频率 f_d，以 Hz 计。

m = 20 kgk = 2 kN/mζ = 0.6

f_d = Hz

20.机械振动困难

一个 10 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 50 kN/m，下弹簧 k₂ = 60 kN/m。求弹簧系统的等效刚度 k_eq，以 kN/m 计。

m = 10 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 60 kN/m

k_eq = kN/m

3溶液

1.运动学

答案: s = 16.07 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 54/3.6 = 15 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 15²/(2·7) = 16.07 m

答案

s = 16.07 m

2.运动学

答案: s = 301.9 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

最高速度

v = a₁·t₁ = 2.5·7 = 17.5 m/s

各阶段的距离

s₁ = ½·2.5·7² = 61.25 m

s₂ = 17.5·12 = 210 m

s₃ = 17.5²/(2·5) = 30.63 m

总距离

s = 61.25 + 210 + 30.63 = 301.9 m

答案

s = 301.9 m

3.牛顿定律

答案: μ = 0.417

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

减速度

a = v₀²/(2d) = 3²/(2·1.1) = 4.091 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 4.091/9.81 = 0.417

答案

μ = 0.417

4.牛顿定律

答案: T = 24.29 N

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (39.24 − 0)/10.5 = 3.737 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 6.5·3.737 + 0 = 24.29 N

答案

T = 24.29 N

5.抛体运动

答案: t = 4.598 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 70° = 8.208 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 70° = 22.55 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·22.55/9.81 = 4.598 s

答案

t = 4.598 s

6.抛体运动

答案: x = 101.8 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 28·cos 40° = 21.45 m/s

v_y = v₀·sin θ = 28·sin 40° = 18 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 25 + 18·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (18 + √(323.9 + 490.5))/9.81 = 4.744 s

水平距离

x = v_x·t = 21.45·4.744 = 101.8 m

答案

x = 101.8 m

7.圆周运动

答案: n = 30.69 rpm

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

乘客受到的力

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

角速度

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.5·1.9)) = 3.213 rad/s

转速

n = ω·60/(2π) = 30.69 rpm

答案

n = 30.69 rpm

8.圆周运动

答案: v_min = 2.801 m/s

最高点张力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·0.8) = 2.801 m/s

答案

v_min = 2.801 m/s

9.功和能

答案: W_f = 32.14 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 9.81·0.8192 = 8.036 N

F = μN = 0.4·8.036 = 3.214 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 3.214·10 = 32.14 J

答案

W_f = 32.14 J

10.功和能

答案: v = 3.431 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

释放和损失的能量

m₂g·d = 49.05·1.5 = 73.58 J

μ·m₁g·d = 0.2·49.05·1.5 = 14.72 J

两个物块的动能

½(m₁ + m₂)v² = 58.86 → v = √(2·58.86/10) = 3.431 m/s

答案

v = 3.431 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 1.455 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (0.5 − 5)/(0.5 + 5)·8 = −6.545 m/s

v′₂ = 2·0.5/(0.5 + 5)·8 = 1.455 m/s

答案

v′₂ = 1.455 m/s

12.动量与碰撞

答案: v = 521.9 m/s

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 1.9·(1 − cos 35°) = 0.3436 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.3436) = 2.596 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 2.01·2.596/0.01 = 521.9 m/s

答案

v = 521.9 m/s

13.刚体转动

答案: T = 49.28 N

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

物块和滑轮

物块: m·g − T = m·a

滑轮: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

加速度

a = m·g/(m + M/2) = 13.5·9.81/(13.5 + 8) = 6.16 m/s²

张力

T = m·(g − a) = 13.5·(9.81 − 6.16) = 49.28 N

答案

T = 49.28 N

14.刚体转动

答案: ω = 36.28 rad/s

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

下降的高度

h = s·sin θ = 5·sin 25° = 2.113 m

滚动时的能量平衡

无滑动滚动：ω = v/r，接触点处的摩擦力不做功。

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 0.4)

v = √(2·9.81·2.113/1.4) = 5.442 m/s

ω = v/r = 5.442/0.15 = 36.28 rad/s

答案

ω = 36.28 rad/s

15.齿轮与齿轮系

答案: P = 12.75 kW

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

皮带速度

v = 15.18 m/s

功率

P = (1200 − 360)·15.18 = 12755 W = 12.75 kW

答案

P = 12.75 kW

16.齿轮与齿轮系

答案: N_D = 25

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

中间轴转速

n_B = n_C = 3000·15/25 = 1800 rpm

齿轮 D 的齿数

N_D = C·n_C/n_out = 16·1800/1152 = 25

答案

N_D = 25

17.弹簧与单摆

答案: L = 0.6361 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(1.6/2π)² = 0.6361 m

答案

L = 0.6361 m

18.弹簧与单摆

答案: t = 0.665 s

角频率

ω = 2π/T = 2π/3.3 = 1.904 rad/s

求解时间

0.3 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0.3) = 1.266 rad

t = 1.266/1.904 = 0.665 s

答案

t = 0.665 s

19.机械振动

答案: f_d = 1.273 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

无阻尼固有频率

ω_n = √(2000/20) = 10 rad/s

f_n = 10/(2π) = 1.592 Hz

有阻尼固有频率

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 1.592·√(1 − 0.6²) = 1.273 Hz

答案

f_d = 1.273 Hz

20.机械振动

答案: k_eq = 27.27 kN/m

等效刚度

串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

1/k_eq = 1/50 + 1/60 → k_eq = 50·60/(50 + 60) = 27.27 kN/m

答案

k_eq = 27.27 kN/m

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