动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 120 km/h 行驶的汽车以 5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 120 km/ha = −5 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

从离地面 35 m 高的屋顶边缘以 14 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求小球离地面的最大高度 h_max。

v₀ = 14 m/sh₀ = 35 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

质量为 8.5 kg 和 0.5 kg 的两个物体用轻绳相连，分别悬挂在一个轻质无摩擦滑轮的两侧。系统由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求物体的加速度 a。

m₁ = 8.5 kgm₂ = 0.5 kgg = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

倾角为 40° 的斜面上有一个 4.5 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 8 kg 物体相连。悬挂物向下运动。物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 4.5 kgm₂ = 8 kgθ = 40°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 35° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 36 m/sθ = 35°g = 9.81 m/s²

x = m

6.抛体运动困难

一个球从 25 m 高的悬崖顶上以高于水平面 20° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 13 m/sθ = 20°h = 25 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 105 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.5。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 105 mμ_s = 0.5g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个半径为 60 m 的弯道倾斜 25°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.4。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不沿坡面向下滑的最低速度 v_min。

r = 60 mθ = 25°μ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一个 2.5 kg 的物块沿倾角 15° 的斜面下滑 9 m，动摩擦因数为 0.15。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 2.5 kgθ = 15°μ = 0.15d = 9 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 20 kg 的物块从 35° 斜坡的底部由静止开始，被一个平行于斜坡、大小为 195 N 的恒力沿斜坡向上拉。动摩擦因数为 0.15。求物块沿斜坡向上移动 5 m 后的速度 v。

m = 20 kgF = 195 Nθ = 35°μ = 0.15d = 5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 8 m/s 运动的 5 kg 滑块与一个静止的 3 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 5 kgm₂ = 3 kgv₁ = 8 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

一颗 8 g 的子弹水平射入一个用长 0.7 m 的轻绳悬挂的 4.5 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 25°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 8 gM = 4.5 kgL = 0.7 mθ = 25°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.刚体转动中等

一台电动机用 29 s 把转动惯量为 31 kg·m² 的飞轮从静止加速到 2700 rpm。忽略损耗，求它输出的平均功率 P_avg，单位 kW。

I = 31 kg·m²n = 2700 rpmt = 29 s

P_avg = kW

14.刚体转动困难

一个实心圆柱沿与水平面成 35° 的斜面无滑动地滚下。取 g = 9.81 m/s²。它从静止开始。沿斜面滚下 8 m 需要多长时间 t？

θ = 35°I = ½·m·r²g = 9.81 m/s²s = 8 m

t = s

15.齿轮与齿轮系中等

一台 11 kW 的电动机以 2900 rpm 运转，驱动一个齿数为 36 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 72 的大齿轮啮合。该齿轮副的效率为 96%。求电动机轴上的扭矩 T₁。

P = 11 kWn₁ = 2900 rpmN₁ = 36N₂ = 72η = 96%

T₁ = N·m

16.齿轮与齿轮系困难

一台 1.1 kW、1440 rpm 的电动机驱动齿轮 A（18 齿），A 与齿轮 B（25 齿）啮合。与 B 同轴的齿轮 C（24 齿）驱动输出轴上的齿轮 D（80 齿）。每对齿轮啮合的效率为 96%。求输出转矩 T_out。

P = 1.1 kWn_in = 1440 rpmA = 18B = 25C = 24D = 80η_mesh = 96%

T_out = N·m

17.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 2.2 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 2.2 mg = 9.81 m/s²

T = s

18.弹簧与单摆困难

一个 2.4 kg 的物体连在 k = 390 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 9 cm 后释放。求振动的总能量 E。

m = 2.4 kgk = 390 N/mA = 9 cm

E = J

19.机械振动中等

一个 15 kg 的质量块由刚度为 150 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 900 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。

m = 15 kgk = 150 kN/mc = 900 N·s/m

ζ =

20.机械振动困难

一个 100 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 5 kN/m，下弹簧 k₂ = 40 kN/m。忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 100 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 40 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: t = 6.667 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 120/3.6 = 33.33 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 33.33/5 = 6.667 s

答案

t = 6.667 s

2.运动学

答案: h_max = 44.99 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 14²/(2·9.81) = 9.99 m

离地面的高度

h_max = 35 + 9.99 = 44.99 m

答案

h_max = 44.99 m

3.牛顿定律

答案: a = 8.72 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

加速度

净驱动力是两个重量之差；它带动的是总质量。

a = (8.5 − 0.5)·9.81/(8.5 + 0.5) = 8.72 m/s²

答案

a = 8.72 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 51.82 N

沿绳子方向的力

m₂·g = 78.48 N

m₁·g·sin θ = 28.38 N

μ·m₁·g·cos θ = 8.454 N

系统的加速度

a = (78.48 − 28.38 − 8.454)/12.5 = 3.332 m/s²

由悬挂物求拉力

m₂·g − T = m₂·a → T = 8·(9.81 − 3.332) = 51.82 N

答案

T = 51.82 N

5.抛体运动

答案: x = 124.1 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 36·cos 35° = 29.49 m/s

v_y = v₀·sin θ = 36·sin 35° = 20.65 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·20.65/9.81 = 4.21 s

水平距离

x = v_x·t = 29.49·4.21 = 124.1 m

答案

x = 124.1 m

6.抛体运动

答案: x = 33.67 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 13·cos 20° = 12.22 m/s

v_y = v₀·sin θ = 13·sin 20° = 4.446 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 25 + 4.446·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (4.446 + √(19.77 + 490.5))/9.81 = 2.756 s

水平距离

x = v_x·t = 12.22·2.756 = 33.67 m

答案

x = 33.67 m

7.圆周运动

答案: v_max = 22.69 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.5·9.81·105) = 22.69 m/s

答案

v_max = 22.69 m/s (81.7 km/h)

8.圆周运动

答案: v_min = 5.735 m/s

力的平衡

摩擦力沿斜面向上。

N·(sin θ − μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ + μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(60·9.81·0.0601/1.075) = 5.735 m/s

答案

v_min = 5.735 m/s

(20.65 km/h)

9.功和能

答案: W_f = 31.98 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 24.53·0.9659 = 23.69 N

F = μN = 0.15·23.69 = 3.553 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 3.553·9 = 31.98 J

答案

W_f = 31.98 J

10.功和能

答案: v = 5.402 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面方向的力

m·g = 20·9.81 = 196.2 N

mg·sin θ = 112.5 N

μ·mg·cos θ = 24.11 N

功–能关系

½mv² = (195 − 136.6)·5 = 291.8 J

v = √(2·291.8/20) = 5.402 m/s

答案

v = 5.402 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = 2 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (5 − 3)/(5 + 3)·8 = 2 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 3)·8 = 10 m/s

答案

v′₁ = 2 m/s

12.动量与碰撞

答案: v = 639.2 m/s

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 0.7·(1 − cos 25°) = 0.06558 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.06558) = 1.134 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 4.508·1.134/0.008 = 639.2 m/s

答案

v = 639.2 m/s

13.刚体转动

答案: P_avg = 42.73 kW

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

角速度

ω = 2π·2700/60 = 282.7 rad/s

能量

E = ½·I·ω² = ½·31·282.7² = 1.239 × 10⁶ J

平均功率

P_avg = E/t = 1.239 × 10⁶/29 = 42729 W = 42.73 kW

答案

P_avg = 42.73 kW

14.刚体转动

答案: t = 2.065 s

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

运动方程

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0.5·m·r²·(a/r) → f = 0.5·m·a

加速度

a = g·sin θ/(1 + c) = 9.81·sin 35°/1.5 = 3.751 m/s²

时间

s = ½·a·t² → t = √(2·8/3.751) = 2.065 s

答案

t = 2.065 s

15.齿轮与齿轮系

答案: T₁ = 36.22 N·m

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

电动机扭矩

ω₁ = 2π·2900/60 = 303.7 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 11000/303.7 = 36.22 N·m

答案

T₁ = 36.22 N·m

16.齿轮与齿轮系

答案: T_out = 31.12 N·m

输出转速

n_out = 1440·(18/25)·(24/80) = 311 rpm

ω_out = 2π·311/60 = 32.57 rad/s

输出功率和转矩

P_out = 1100·0.96² = 1014 W

T_out = P_out/ω_out = 1014/32.57 = 31.12 N·m

答案

T_out = 31.12 N·m

17.弹簧与单摆

答案: T = 2.975 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(2.2/9.81) = 2.975 s

答案

T = 2.975 s

18.弹簧与单摆

答案: E = 1.579 J

角频率

ω = √(390/2.4) = 12.75 rad/s

能量

E = ½·k·A² = ½·390·0.09² = 1.579 J

答案

E = 1.579 J

19.机械振动

答案: ζ = 0.3

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

临界阻尼

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(150000·15) = 3000 N·s/m

阻尼比

ζ = c/c_c = 900/3000 = 0.3

答案

ζ = 0.3

ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。

20.机械振动

答案: f_n = 1.061 Hz

等效刚度

串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

1/k_eq = 1/5 + 1/40 → k_eq = 5·40/(5 + 40) = 4.444 kN/m

固有频率

ω_n = √(4444/100) = 6.667 rad/s

f_n = 6.667/(2π) = 1.061 Hz

答案

f_n = 1.061 Hz

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