动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 100 km/h 行驶的汽车以 5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 100 km/ha = −5 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

从离地面 15 m 高的屋顶边缘以 17 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 17 m/sh₀ = 15 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 15 kg 的雪橇被一根与水平方向成 15° 向上的绳子以 80 N 的力拉着在平坦的雪地上移动。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求雪橇的加速度 a。

m = 15 kgF = 80 Nθ = 15°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 4.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 2 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 4.5 kgm₂ = 2 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 38 m/s 抛出，必须落在 135 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 38 m/sR = 135 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.抛体运动困难

一个球从 5 m 高的悬崖顶上以高于水平面 35° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 22 m/sθ = 35°h = 5 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 25 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 25 mμ_s = 0.7g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个小球系在长 1.3 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。取 g = 9.81 m/s²。在最高点处，速度至少为多少 v_min 才能使绳子恰好保持绷紧？

r = 1.3 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一个 2 kg 的球挂在长 0.5 m 的轻绳上。把它拉向一侧，使绳与竖直方向成 45°，然后从静止释放。求球经过最低点时绳中的拉力 T。

m = 2 kgL = 0.5 mθ = 45°g = 9.81 m/s²

T = N

10.功和能困难

一个 1 kg 的物块从光滑坡道上 3.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 1.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.25），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1500 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 1 kgh = 3.5 mL = 1.5 mμ = 0.25k = 1500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

一个以 18 m/s 水平运动的 20 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。18 kg 的碎片以 56 m/s 继续向前运动。求 2 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 20 kgu = 18 m/sm₁ = 18 kgv′₁ = 56 m/sm₂ = 2 kg

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.1 kg 的小球以 28 m/s 撞到墙上，并以 13 m/s 沿原路弹回。接触时间为 5 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.1 kgv_in = 28 m/sv_out = 13 m/sΔt = 5 ms

F_avg = N

13.刚体转动中等

一台电动机在 2000 rpm 时输出 2000 N·m 的转矩。求它的输出功率 P，单位 kW。

T = 2000 N·mn = 2000 rpm

P = kW

14.刚体转动困难

一个空心球沿与水平面成 10° 的斜面无滑动地滚下。取 g = 9.81 m/s²。求其质心的加速度 a。

θ = 10°I = (2/3)·m·r²g = 9.81 m/s²

a = m/s²

15.齿轮与齿轮系中等

一台 15 kW 的电动机以 1440 rpm 运转，驱动一个齿数为 24 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 36 的大齿轮啮合。该齿轮副的效率为 95%。求齿轮轴上的输出扭矩 T₂。

P = 15 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 24N₂ = 36η = 95%

T₂ = N·m

16.齿轮与齿轮系困难

一条开口皮带把一个以 720 rpm 转动、直径 150 mm 的主动轮与一个 250 mm 的带轮相连；中心距为 800 mm。摩擦系数为 0.25，紧边张力不得超过 1200 N。求皮带在不打滑时能传递的最大功率 P，单位 kW（忽略离心效应）。

d₁ = 150 mmn₁ = 720 rpmd₂ = 250 mmC = 800 mmμ = 0.25T₁ = 1200 N

P = kW

17.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 2.3 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 2.3 mg = 9.81 m/s²

T = s

18.弹簧与单摆困难

一颗以 300 m/s 运动的 5 g 子弹击中并留在一个放在无摩擦表面上的 2.5 kg 木块中。木块连在一根 k = 1400 N/m 的水平弹簧上。求由此产生的振动的振幅 A，以 cm 表示。

m = 5 gv = 300 m/sM = 2.5 kgk = 1400 N/m

A = cm

19.机械振动中等

一个 100 kg 的质量块挂在刚度为 40 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.5。求其自由振动的有阻尼固有频率 f_d，以 Hz 计。

m = 100 kgk = 40 kN/mζ = 0.5

f_d = Hz

20.机械振动困难

一个 50 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 40 kN/m 和 k₂ = 25 kN/m。质量块保持水平。忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 50 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 25 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: t = 5.556 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 100/3.6 = 27.78 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 27.78/5 = 5.556 s

答案

t = 5.556 s

2.运动学

答案: t = 4.195 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−15 = 17·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 17·t − 15 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (17 + √(17² + 2·9.81·15))/9.81 = 4.195 s

答案

t = 4.195 s

3.牛顿定律

答案: a = 4.309 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

法向力

N = m·g − F·sin θ = 147.2 − 80·sin 15° = 126.4 N

水平方向的力

m·a = F·cos θ − μ·N = 77.27 − 12.64

a = 64.63/15 = 4.309 m/s²

答案

a = 4.309 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 17.66 N

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (19.62 − 13.24)/6.5 = 0.981 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 4.5·0.981 + 13.24 = 17.66 N

答案

T = 17.66 N

5.抛体运动

答案: θ = 33.26 °

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·135/38² = 0.9171

相角

2θ = 66.51° → θ = 33.26°

答案

θ = 33.26°

另一个解为 90° − θ = 56.74°。

6.抛体运动

答案: x = 52.65 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 22·cos 35° = 18.02 m/s

v_y = v₀·sin θ = 22·sin 35° = 12.62 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 5 + 12.62·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (12.62 + √(159.2 + 98.1))/9.81 = 2.922 s

水平距离

x = v_x·t = 18.02·2.922 = 52.65 m

答案

x = 52.65 m

7.圆周运动

答案: v_max = 13.1 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.7·9.81·25) = 13.1 m/s

答案

v_max = 13.1 m/s (47.17 km/h)

8.圆周运动

答案: v_min = 3.571 m/s

最高点张力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·1.3) = 3.571 m/s

答案

v_min = 3.571 m/s

9.功和能

答案: T = 31.11 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

最低点的速度

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·0.5·(1 − cos 45°) = 2.873 m²/s²

最低点的受力

m·g = 2·9.81 = 19.62 N

T = mg + mv²/L = 19.62 + 2·2.873/0.5 = 31.11 N

答案

T = 31.11 N

校核：T = mg(3 − 2cos θ) = 31.11 N。

10.功和能

答案: x = 20.22 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 9.81·(3.5 − 0.25·1.5) = 30.66 J

最大压缩量

½kx² = 30.66 → x = √(2·30.66/1500) = 0.2022 m = 20.22 cm

答案

x = 20.22 cm

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = −324 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

碰撞前的动量

p = M·u = 20·18 = 360 kg·m/s

碰撞后的动量

360 = 18·56 + 2·v′₂

v′₂ = (360 − 1008)/2 = −324 m/s

答案

v′₂ = −324 m/s

负号表示第二块碎片向后飞。

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 820 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.1·(13 + 28) = 4.1 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 4.1/0.005 = 820 N

答案

F_avg = 820 N

13.刚体转动

答案: P = 418.9 kW

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

角速度

ω = 2π·2000/60 = 209.4 rad/s

功率

P = T·ω = 2000·209.4 = 418879 W = 418.9 kW

答案

P = 418.9 kW

14.刚体转动

答案: a = 1.022 m/s²

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

运动方程

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0.6667·m·r²·(a/r) → f = 0.6667·m·a

加速度

a = g·sin θ/(1 + c) = 9.81·sin 10°/1.667 = 1.022 m/s²

答案

a = 1.022 m/s²

15.齿轮与齿轮系

答案: T₂ = 141.7 N·m

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

电动机扭矩

ω₁ = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 15000/150.8 = 99.47 N·m

输出扭矩

T₂ = 99.47·36/24·0.95 = 141.7 N·m

答案

T₂ = 141.7 N·m

16.齿轮与齿轮系

答案: P = 3.594 kW

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

包角

θ = 3.017 rad

松边张力

e^μθ = e^0.7541 = 2.126, T₂ = 1200/2.126 = 564.5 N

功率

P = (1200 − 564.5)·5.655 = 3.594 kW

答案

P = 3.594 kW

17.弹簧与单摆

答案: T = 3.042 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(2.3/9.81) = 3.042 s

答案

T = 3.042 s

18.弹簧与单摆

答案: A = 2.533 cm

撞击后的速度

V = m·v/(m + M) = 0.005·300/2.505 = 0.5988 m/s

角频率

ω = √(k/(m + M)) = √(1400/2.505) = 23.64 rad/s

振幅

A = V/ω = 0.5988/23.64 = 0.02533 m = 2.533 cm

答案

A = 2.533 cm

19.机械振动

答案: f_d = 2.757 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

无阻尼固有频率

ω_n = √(40000/100) = 20 rad/s

f_n = 20/(2π) = 3.183 Hz

有阻尼固有频率

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 3.183·√(1 − 0.5²) = 2.757 Hz

答案

f_d = 2.757 Hz

20.机械振动

答案: f_n = 5.738 Hz

等效刚度

并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k₁ + k₂。

k_eq = 40 + 25 = 65 kN/m

固有频率

ω_n = √(65000/50) = 36.06 rad/s

f_n = 36.06/(2π) = 5.738 Hz

答案

f_n = 5.738 Hz

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