动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 60 km/h 行驶的汽车以 3 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 60 km/ha = −3 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

从离地面 40 m 高的屋顶边缘以 14 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 14 m/sh₀ = 40 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 15 kg 的雪橇被一根与水平方向成 25° 向上的绳子以 140 N 的力拉着在平坦的雪地上移动。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求雪橇的加速度 a。

m = 15 kgF = 140 Nθ = 25°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 5.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 2.5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 5.5 kgm₂ = 2.5 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 16 m/s、与水平方向成 25° 的角度朝 14 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 16 m/sθ = 25°x = 14 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从 55 m 高的悬崖顶上以高于水平面 20° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 21 m/sθ = 20°h = 55 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 50 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 50 mμ_s = 0.7g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 1.5 kg 的小球系在长 0.7 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 4.5 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 1.5 kgr = 0.7 mv = 4.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一辆 1200 kg 的汽车以恒定的 36 km/h 驶上 4° 的斜坡。空气阻力和滚动阻力合计 550 N。求车轮须输出的功率 P，以 kW 表示。

m = 1200 kgθ = 4°F_r = 550 Nv = 36 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

10.功和能困难

一辆 5 kg 的小车从光滑轨道上 8 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 2 m 的竖直圆环。求小车在圆环顶点时轨道对它的法向力 N。

m = 5 kgh = 8 mR = 2 mg = 9.81 m/s²

N = N

11.动量与碰撞中等

一辆以 5 m/s 行驶的 1600 kg 汽车撞上一辆静止的 800 kg 汽车，两车卡在一起。碰撞中损失了多少动能 ΔK？

m₁ = 1600 kgv₁ = 5 m/sm₂ = 800 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.动量与碰撞困难

一辆 1400 kg 的汽车撞上一辆停放的 1700 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 17.5 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.6。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1400 kgm₂ = 1700 kgd = 17.5 mμ = 0.6g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.刚体转动中等

一个 0.5 kg 的物块悬挂在绕过滑轮的轻绳上，滑轮是质量为 5.5 kg、半径为 0.45 m 的均匀实心圆盘，在无摩擦的水平轴上转动。物块从静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m = 0.5 kgM = 5.5 kgR = 0.45 mg = 9.81 m/s²

T = N

14.刚体转动困难

一个质量为 19.5 kg 的实心球以 10 m/s 的速度无滑动地滚动。求它的转动动能 E_rot。

m = 19.5 kgv = 10 m/sI = (2/5)·m·r²

E_rot = J

15.齿轮与齿轮系中等

一台 5.5 kW 的电动机以 960 rpm 运转，驱动一个齿数为 15 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 25 的大齿轮啮合。该齿轮副的效率为 96%。求齿轮轴上的输出扭矩 T₂。

P = 5.5 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 15N₂ = 25η = 96%

T₂ = N·m

16.齿轮与齿轮系困难

一台 5.5 kW、1450 rpm 的电动机驱动齿轮 A（25 齿），A 与齿轮 B（60 齿）啮合。与 B 同轴的齿轮 C（12 齿）驱动输出轴上的齿轮 D（25 齿）。每对齿轮啮合的效率为 98%。求输出转矩 T_out。

P = 5.5 kWn_in = 1450 rpmA = 25B = 60C = 12D = 25η_mesh = 98%

T_out = N·m

17.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 1.6 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 1.6 mg = 9.81 m/s²

T = s

18.弹簧与单摆困难

把一个 2.7 kg 的物体挂在一根 k = 320 N/m、处于原长的竖直弹簧下端，然后由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求弹簧的最大伸长量 x_max，以 cm 表示。

m = 2.7 kgk = 320 N/mg = 9.81 m/s²

x_max = cm

19.机械振动中等

一个 200 kg 的质量块由刚度为 20 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 200 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。

m = 200 kgk = 20 kN/mc = 200 N·s/m

ζ =

20.机械振动困难

一个 100 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 20 kN/m，下弹簧 k₂ = 15 kN/m。忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 100 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 15 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: t = 5.556 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 60/3.6 = 16.67 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 16.67/3 = 5.556 s

答案

t = 5.556 s

2.运动学

答案: t = 4.62 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−40 = 14·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 14·t − 40 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (14 + √(14² + 2·9.81·40))/9.81 = 4.62 s

答案

t = 4.62 s

3.牛顿定律

答案: a = 7.872 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

法向力

N = m·g − F·sin θ = 147.2 − 140·sin 25° = 87.98 N

水平方向的力

m·a = F·cos θ − μ·N = 126.9 − 8.798

a = 118.1/15 = 7.872 m/s²

答案

a = 7.872 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 2.391 m/s²

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (24.53 − 5.396)/8 = 2.391 m/s²

答案

a = 2.391 m/s²

5.抛体运动

答案: y = 1.956 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

到达墙的时间

v_x = 16·cos 25° = 14.5 m/s

t = x/v_x = 14/14.5 = 0.9655 s

此时的高度

y = 6.762·0.9655 − ½·9.81·0.9655² = 1.956 m

答案

y = 1.956 m

球到达墙时已经在下落。

6.抛体运动

答案: x = 82.09 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 21·cos 20° = 19.73 m/s

v_y = v₀·sin θ = 21·sin 20° = 7.182 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 55 + 7.182·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (7.182 + √(51.59 + 1079))/9.81 = 4.16 s

水平距离

x = v_x·t = 19.73·4.16 = 82.09 m

答案

x = 82.09 m

7.圆周运动

答案: v_max = 18.53 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.7·9.81·50) = 18.53 m/s

答案

v_max = 18.53 m/s (66.71 km/h)

8.圆周运动

答案: T = 58.11 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 1.5·9.81 + 1.5·4.5²/0.7 = 14.71 + 43.39 = 58.11 N

答案

T = 58.11 N

9.功和能

答案: P = 13.71 kW

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。功率等于力乘以速度：P = F·v。

驱动力

m·g = 1200·9.81 = 11772 N

mg·sin θ = 11772·sin 4° = 821.2 N

F = 821.2 + 550 = 1371 N

功率

v = 36/3.6 = 10 m/s

P = F·v = 1371·10 = 13712 W = 13.71 kW

答案

P = 13.71 kW

10.功和能

答案: N = 147.2 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(8 − 4) = 78.48 m²/s²

顶点的受力

m·g = 5·9.81 = 49.05 N

N = mv²/R − mg = 5·78.48/2 − 49.05 = 147.2 N

答案

N = 147.2 N

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

11.动量与碰撞

答案: ΔK = 6667 J

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1600·5/2400 = 3.333 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·1600·5² = 20000 J

K_after = ½·2400·3.333² = 13333 J

损失的能量

ΔK = 20000 − 13333 = 6667 J

答案

ΔK = 6667 J

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: v₁ = 31.78 m/s

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.6·9.81·17.5) = 14.35 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3100·14.35/1400 = 31.78 m/s

答案

v₁ = 31.78 m/s

(114.4 km/h)

13.刚体转动

答案: T = 4.15 N

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

物块和滑轮

物块: m·g − T = m·a

滑轮: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

加速度

a = m·g/(m + M/2) = 0.5·9.81/(0.5 + 2.75) = 1.509 m/s²

张力

T = m·(g − a) = 0.5·(9.81 − 1.509) = 4.15 N

答案

T = 4.15 N

14.刚体转动

答案: E_rot = 390 J

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

平动部分和转动部分

E_trans = ½·m·v² = ½·19.5·10² = 975 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0.4·m·r²·(v/r)² = 0.4·975 = 390 J

答案

E_rot = 390 J

15.齿轮与齿轮系

答案: T₂ = 87.54 N·m

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

电动机扭矩

ω₁ = 2π·960/60 = 100.5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 5500/100.5 = 54.71 N·m

输出扭矩

T₂ = 54.71·25/15·0.96 = 87.54 N·m

答案

T₂ = 87.54 N·m

16.齿轮与齿轮系

答案: T_out = 173.9 N·m

输出转速

n_out = 1450·(25/60)·(12/25) = 290 rpm

ω_out = 2π·290/60 = 30.37 rad/s

输出功率和转矩

P_out = 5500·0.98² = 5282 W

T_out = P_out/ω_out = 5282/30.37 = 173.9 N·m

答案

T_out = 173.9 N·m

17.弹簧与单摆

答案: T = 2.537 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(1.6/9.81) = 2.537 s

答案

T = 2.537 s

18.弹簧与单摆

答案: x_max = 16.55 cm

平衡位置和振幅

x₀ = m·g/k = 2.7·9.81/320 = 0.08277 m = A

最低点

x_max = 2A = 0.1655 m = 16.55 cm

答案

x_max = 16.55 cm

19.机械振动

答案: ζ = 0.05

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

临界阻尼

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(20000·200) = 4000 N·s/m

阻尼比

ζ = c/c_c = 200/4000 = 0.05

答案

ζ = 0.05

ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。

20.机械振动

答案: f_n = 1.473 Hz

等效刚度

串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

1/k_eq = 1/20 + 1/15 → k_eq = 20·15/(20 + 15) = 8.571 kN/m

固有频率

ω_n = √(8571/100) = 9.258 rad/s

f_n = 9.258/(2π) = 1.473 Hz

答案

f_n = 1.473 Hz

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