动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 45 km/h 行驶的汽车以 7.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 45 km/ha = −7.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

从离地面 5 m 高的屋顶边缘以 14 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求小球离地面的最大高度 h_max。

v₀ = 14 m/sh₀ = 5 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 10 kg 的箱子被一个平行于斜面的力沿与水平方向成 20° 的斜面匀速向上推。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求推力 F。

m = 10 kgθ = 20°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

F = N

4.牛顿定律困难

倾角为 25° 的斜面上有一个 2.5 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 3.5 kg 物体相连。悬挂物向下运动。斜面无摩擦。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 2.5 kgm₂ = 3.5 kgθ = 25°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 70° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 20 m/sθ = 70°g = 9.81 m/s²

x = m

6.抛体运动困难

一个球从地面以 34 m/s、与水平方向成 35° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 5 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 34 m/sθ = 35°h_roof = 5 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 80 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.4。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 80 mμ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个半径为 200 m 的弯道倾斜 8°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不沿坡面向下滑的最低速度 v_min。

r = 200 mθ = 8°μ_s = 0.1g = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 20° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.15。求它沿斜面滑行 2 m 后的速度 v。

θ = 20°μ = 0.15d = 2 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

一辆 2 kg 的小车从光滑轨道上 2.8 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 1 m 的竖直圆环。求小车在圆环顶点时轨道对它的法向力 N。

m = 2 kgh = 2.8 mR = 1 mg = 9.81 m/s²

N = N

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 7 m/s 运动的 3 kg 滑块与一个静止的 2.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 3 kgm₂ = 2.5 kgv₁ = 7 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

一颗 12 g 的子弹水平射入一个用长 1.8 m 的轻绳悬挂的 3 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 10°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 12 gM = 3 kgL = 1.8 mθ = 10°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.刚体转动中等

质量为 8.5 kg、长为 1 m 的均匀细杆一端铰接，在水平位置从静止释放。一个质量为 2 kg 的小球固定在它的自由端。忽略摩擦，取 g = 9.81 m/s²。求杆摆过竖直位置时的角速度 ω。

m = 8.5 kgL = 1 mm_ball = 2 kgg = 9.81 m/s²

ω = rad/s

14.刚体转动困难

一个质量为 8.5 kg 的实心圆柱以 3.5 m/s 的速度无滑动地滚动。求它的转动动能 E_rot。

m = 8.5 kgv = 3.5 m/sI = ½·m·r²

E_rot = J

15.齿轮与齿轮系中等

一条皮带绕在一个以 1440 rpm 转动、直径 125 mm 的主动轮上。紧边张力为 1500 N，松边张力为 450 N。求传递的功率 P，单位 kW。

d₁ = 125 mmn₁ = 1440 rpmT₁ = 1500 NT₂ = 450 N

P = kW

16.齿轮与齿轮系困难

一条开口皮带连接一个 125 mm 的带轮和一个 300 mm 的带轮，二者中心相距 500 mm。求小带轮上的包角 θ，单位为度。

d₁ = 125 mmd₂ = 300 mmC = 500 mm

θ = °

17.弹簧与单摆中等

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 1.1 m 的单摆在小幅摆动时周期为 5.18 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 1.1 mT = 5.18 s

g = m/s²

18.弹簧与单摆困难

一个 2.1 kg 的物体连在 k = 410 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 2 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 2.1 kgk = 410 N/mA = 2 cm

v_max = m/s

19.机械振动中等

一个 10 kg 的质量块挂在刚度为 5 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.4。求其自由振动的有阻尼固有频率 f_d，以 Hz 计。

m = 10 kgk = 5 kN/mζ = 0.4

f_d = Hz

20.机械振动困难

一个 40 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 20 kN/m，下弹簧 k₂ = 15 kN/m。求弹簧系统的等效刚度 k_eq，以 kN/m 计。

m = 40 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 15 kN/m

k_eq = kN/m

3溶液

1.运动学

答案: s = 10.42 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 45/3.6 = 12.5 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 12.5²/(2·7.5) = 10.42 m

答案

s = 10.42 m

2.运动学

答案: h_max = 14.99 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 14²/(2·9.81) = 9.99 m

离地面的高度

h_max = 5 + 9.99 = 14.99 m

答案

h_max = 14.99 m

3.牛顿定律

答案: F = 42.77 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

匀速：各力平衡。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

推力

F = 33.55 + 9.218 = 42.77 N

答案

F = 42.77 N

4.牛顿定律

答案: a = 3.995 m/s²

沿绳子方向的力

m₂·g = 34.34 N

m₁·g·sin θ = 10.36 N

μ·m₁·g·cos θ = 0 N

系统的加速度

a = (34.34 − 10.36 − 0)/6 = 3.995 m/s²

答案

a = 3.995 m/s²

5.抛体运动

答案: x = 26.21 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 20·cos 70° = 6.84 m/s

v_y = v₀·sin θ = 20·sin 70° = 18.79 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·18.79/9.81 = 3.832 s

水平距离

x = v_x·t = 6.84·3.832 = 26.21 m

答案

x = 26.21 m

6.抛体运动

答案: x = 103.1 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

v_x = 27.85 m/s, v_y = 19.5 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

5 = 19.5·t − 4.905·t²

t = (19.5 + √(19.5² − 2·9.81·5))/9.81 = 3.7 s

水平距离

x = v_x·t = 27.85·3.7 = 103.1 m

答案

x = 103.1 m

7.圆周运动

答案: v_max = 17.72 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.4·9.81·80) = 17.72 m/s

答案

v_max = 17.72 m/s (63.78 km/h)

8.圆周运动

答案: v_min = 8.857 m/s

力的平衡

摩擦力沿斜面向上。

N·(sin θ − μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ + μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(200·9.81·0.04015/1.004) = 8.857 m/s

答案

v_min = 8.857 m/s

(31.88 km/h)

9.功和能

答案: v = 2.809 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·2·(0.342 − 0.15·0.9397)) = 2.809 m/s

答案

v = 2.809 m/s

10.功和能

答案: N = 11.77 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(2.8 − 2) = 15.7 m²/s²

顶点的受力

m·g = 2·9.81 = 19.62 N

N = mv²/R − mg = 2·15.7/1 − 19.62 = 11.77 N

答案

N = 11.77 N

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = 0.6364 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (3 − 2.5)/(3 + 2.5)·7 = 0.6364 m/s

v′₂ = 2·3/(3 + 2.5)·7 = 7.636 m/s

答案

v′₁ = 0.6364 m/s

12.动量与碰撞

答案: v = 183.9 m/s

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 1.8·(1 − cos 10°) = 0.02735 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.02735) = 0.7325 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 3.012·0.7325/0.012 = 183.9 m/s

答案

v = 183.9 m/s

13.刚体转动

答案: ω = 5.037 rad/s

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

势能的减少

m·g·L/2 + m_ball·g·L = 8.5·9.81·0.5 + 2·9.81·1 = 61.31 J

对销钉的转动惯量

I_O = m·L²/3 + m_ball·L² = 2.833 + 2 = 4.833 kg·m²

能量衡算

½·I_O·ω² = 61.31 → ω = √(2·61.31/4.833) = 5.037 rad/s

答案

ω = 5.037 rad/s

14.刚体转动

答案: E_rot = 26.03 J

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

平动部分和转动部分

E_trans = ½·m·v² = ½·8.5·3.5² = 52.06 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0.5·m·r²·(v/r)² = 0.5·52.06 = 26.03 J

答案

E_rot = 26.03 J

15.齿轮与齿轮系

答案: P = 9.896 kW

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

皮带速度

v = 9.425 m/s

功率

P = (1500 − 450)·9.425 = 9896 W = 9.896 kW

答案

P = 9.896 kW

16.齿轮与齿轮系

答案: θ = 159.8 °

皮带角

asin(0.175) = 10.08°

包角

θ = 180 − 2·10.08 = 159.8°

答案

θ = 159.8°

17.弹簧与单摆

答案: g = 1.618 m/s²

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1.1/5.18² = 1.618 m/s²

答案

g = 1.618 m/s²

18.弹簧与单摆

答案: v_max = 0.2795 m/s

角频率

ω = √(410/2.1) = 13.97 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.02·13.97 = 0.2795 m/s

答案

v_max = 0.2795 m/s

19.机械振动

答案: f_d = 3.262 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

无阻尼固有频率

ω_n = √(5000/10) = 22.36 rad/s

f_n = 22.36/(2π) = 3.559 Hz

有阻尼固有频率

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 3.559·√(1 − 0.4²) = 3.262 Hz

答案

f_d = 3.262 Hz

20.机械振动

答案: k_eq = 8.571 kN/m

等效刚度

串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

1/k_eq = 1/20 + 1/15 → k_eq = 20·15/(20 + 15) = 8.571 kN/m

答案

k_eq = 8.571 kN/m

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