动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以恒定的 18 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 4 m/s² 匀加速。警车需要多长时间追上？求 t。

v_car = 18 m/sa_police = 4 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.运动学困难

从离地面 30 m 高的屋顶边缘以 18 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求小球离地面的最大高度 h_max。

v₀ = 18 m/sh₀ = 30 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 4 kg 的物块沿倾角为 40° 的光滑斜面下滑。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 4 kgθ = 40°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 4.5 m/s 的速度开始沿 30° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 4.5 m/sθ = 30°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 70° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 16 m/sθ = 70°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从地面以 27 m/s、与水平方向成 30° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 3 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 27 m/sθ = 30°h_roof = 3 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 135 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 135 mμ_s = 0.7g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 0.6 kg 的球系在长 0.9 m 的轻绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点它的速度为 7.5 m/s。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求最高点时绳中的拉力 T_top。

m = 0.6 kgr = 0.9 mv_bottom = 7.5 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.功和能中等

一个 0.5 kg 的物块沿倾角 45° 的斜面下滑 5 m，动摩擦因数为 0.1。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 0.5 kgθ = 45°μ = 0.1d = 5 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 15 kg 的物块从 20° 斜坡的底部由静止开始，被一个平行于斜坡、大小为 120 N 的恒力沿斜坡向上拉。动摩擦因数为 0.25。求物块沿斜坡向上移动 6 m 后的速度 v。

m = 15 kgF = 120 Nθ = 20°μ = 0.25d = 6 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一辆以 11 m/s 行驶的 1400 kg 汽车撞上一辆静止的 1100 kg 汽车，两车卡在一起。碰撞中损失了多少动能 ΔK？

m₁ = 1400 kgv₁ = 11 m/sm₂ = 1100 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.动量与碰撞困难

一个 0.15 kg 的小球以 10 m/s 撞到墙上，并以 4 m/s 沿原路弹回。接触时间为 25 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.15 kgv_in = 10 m/sv_out = 4 m/sΔt = 25 ms

F_avg = N

13.刚体转动中等

质量为 9.5 kg、长为 2.5 m 的均匀细杆一端铰接，在水平位置从静止释放。一个质量为 1.5 kg 的小球固定在它的自由端。忽略摩擦，取 g = 9.81 m/s²。求杆摆过竖直位置时的角速度 ω。

m = 9.5 kgL = 2.5 mm_ball = 1.5 kgg = 9.81 m/s²

ω = rad/s

14.刚体转动困难

一个质量为 1.5 kg 的薄圆环以 6.5 m/s 的速度无滑动地滚动。求它的转动动能 E_rot。

m = 1.5 kgv = 6.5 m/sI = m·r²

E_rot = J

15.齿轮与齿轮系中等

一个 80 mm 的带轮以 2880 rpm 通过皮带驱动一个 315 mm 的带轮，打滑率为 2 %。求从动轮的转速 n₂。

n₁ = 2880 rpmd₁ = 80 mmd₂ = 315 mms = 2 %

n₂ = rpm

16.齿轮与齿轮系困难

一条开口皮带把一个以 720 rpm 转动、直径 160 mm 的主动轮与一个 250 mm 的带轮相连；中心距为 1000 mm。摩擦系数为 0.3，紧边张力不得超过 2000 N。求皮带在不打滑时能传递的最大功率 P，单位 kW（忽略离心效应）。

d₁ = 160 mmn₁ = 720 rpmd₂ = 250 mmC = 1000 mmμ = 0.3T₁ = 2000 N

P = kW

17.弹簧与单摆中等

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 1.9 m 的单摆在小幅摆动时周期为 1.74 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 1.9 mT = 1.74 s

g = m/s²

18.弹簧与单摆困难

一个连在 k = 350 N/m 弹簧上的物体在无摩擦表面上以 14 cm 的振幅振动。求物体距平衡位置 12 cm 时弹簧中储存的能量 U。

k = 350 N/mA = 14 cmx = 12 cm

U = J

19.机械振动中等

一个 20 kg 的质量块由刚度为 80 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 510 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。

m = 20 kgk = 80 kN/mc = 510 N·s/m

ζ =

20.机械振动困难

一个 40 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 80 kN/m 和 k₂ = 10 kN/m。质量块保持水平。求弹簧系统的等效刚度 k_eq，以 kN/m 计。

m = 40 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 10 kN/m

k_eq = kN/m

3溶液

1.运动学

答案: t = 9 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·18/4 = 9 s

答案

t = 9 s

此时警车的速度为 2v = 36 m/s。

2.运动学

答案: h_max = 46.51 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 18²/(2·9.81) = 16.51 m

离地面的高度

h_max = 30 + 16.51 = 46.51 m

答案

h_max = 46.51 m

3.牛顿定律

答案: a = 6.306 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 40° − 0·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0) = 6.306 m/s²

答案

a = 6.306 m/s²

4.牛顿定律

答案: d = 1.533 m

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 30° + 0.2·cos 30°) = 6.604 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 4.5²/(2·6.604) = 1.533 m

答案

d = 1.533 m

5.抛体运动

答案: t = 3.065 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 70° = 5.472 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 70° = 15.04 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·15.04/9.81 = 3.065 s

答案

t = 3.065 s

6.抛体运动

答案: x = 58.65 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

v_x = 23.38 m/s, v_y = 13.5 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

3 = 13.5·t − 4.905·t²

t = (13.5 + √(13.5² − 2·9.81·3))/9.81 = 2.508 s

水平距离

x = v_x·t = 23.38·2.508 = 58.65 m

答案

x = 58.65 m

7.圆周运动

答案: v_max = 30.45 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.7·9.81·135) = 30.45 m/s

答案

v_max = 30.45 m/s (109.6 km/h)

8.圆周运动

答案: T_top = 8.07 N

顶点的速度

在高度 2r 上，动能转化为势能。

v_top² = 7.5² − 4·9.81·0.9 = 20.93 m²/s²

顶点的受力

拉力和重力都向下，指向圆心。

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0.6·20.93/0.9 − 0.6·9.81 = 8.07 N

答案

T_top = 8.07 N

9.功和能

答案: W_f = 1.734 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 4.905·0.7071 = 3.468 N

F = μN = 0.1·3.468 = 0.3468 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 0.3468·5 = 1.734 J

答案

W_f = 1.734 J

10.功和能

答案: v = 5.299 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面方向的力

m·g = 15·9.81 = 147.2 N

mg·sin θ = 50.33 N

μ·mg·cos θ = 34.57 N

功–能关系

½mv² = (120 − 84.9)·6 = 210.6 J

v = √(2·210.6/15) = 5.299 m/s

答案

v = 5.299 m/s

11.动量与碰撞

答案: ΔK = 37268 J

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1400·11/2500 = 6.16 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·1400·11² = 84700 J

K_after = ½·2500·6.16² = 47432 J

损失的能量

ΔK = 84700 − 47432 = 37268 J

答案

ΔK = 37268 J

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 84 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.15·(4 + 10) = 2.1 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 2.1/0.025 = 84 N

答案

F_avg = 84 N

13.刚体转动

答案: ω = 3.242 rad/s

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

势能的减少

m·g·L/2 + m_ball·g·L = 9.5·9.81·1.25 + 1.5·9.81·2.5 = 153.3 J

对销钉的转动惯量

I_O = m·L²/3 + m_ball·L² = 19.79 + 9.375 = 29.17 kg·m²

能量衡算

½·I_O·ω² = 153.3 → ω = √(2·153.3/29.17) = 3.242 rad/s

答案

ω = 3.242 rad/s

14.刚体转动

答案: E_rot = 31.69 J

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

平动部分和转动部分

E_trans = ½·m·v² = ½·1.5·6.5² = 31.69 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·1·m·r²·(v/r)² = 1·31.69 = 31.69 J

答案

E_rot = 31.69 J

15.齿轮与齿轮系

答案: n₂ = 716.8 rpm

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

无打滑时的转速

2880·80/315 = 731.4 rpm

有打滑

n₂ = 731.4·0.98 = 716.8 rpm

答案

n₂ = 716.8 rpm

16.齿轮与齿轮系

答案: P = 7.234 kW

包角

θ = 3.052 rad

松边张力

e^μθ = e^0.9155 = 2.498, T₂ = 2000/2.498 = 800.7 N

功率

P = (2000 − 800.7)·6.032 = 7.234 kW

答案

P = 7.234 kW

17.弹簧与单摆

答案: g = 24.78 m/s²

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1.9/1.74² = 24.78 m/s²

答案

g = 24.78 m/s²

18.弹簧与单摆

答案: U = 2.52 J

总能量

E = ½·k·A² = ½·350·0.14² = 3.43 J

x 处的弹簧能量

U = ½·k·x² = ½·350·0.12² = 2.52 J

答案

U = 2.52 J

19.机械振动

答案: ζ = 0.2016

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

临界阻尼

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(80000·20) = 2530 N·s/m

阻尼比

ζ = c/c_c = 510/2530 = 0.2016

答案

ζ = 0.2016

ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。

20.机械振动

答案: k_eq = 90 kN/m

等效刚度

并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k₁ + k₂。

k_eq = 80 + 10 = 90 kN/m

答案

k_eq = 90 kN/m

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