动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 90 km/h 行驶的汽车以 4.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 90 km/ha = −4.5 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

从离地面 15 m 高的屋顶边缘以 6 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求小球离地面的最大高度 h_max。

v₀ = 6 m/sh₀ = 15 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 18 kg 的物块沿倾角为 35° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 18 kgθ = 35°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

倾角为 35° 的斜面上有一个 8 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 8 kg 物体相连。悬挂物向下运动。物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 8 kgm₂ = 8 kgθ = 35°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 60° 的角度抛出，落在 10 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 60°R = 10 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 15 m 高的悬崖顶部以 34 m/s、与水平方向成 45° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 34 m/sθ = 45°h = 15 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.圆周运动中等

一辆汽车驶过路面上的一个凸起的顶部，凸起是半径为 110 m 的圆弧。取 g = 9.81 m/s²。速度超过多少 v_max 时，车轮会在顶部离开路面？

r = 110 mg = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 1.7 kg 的小球系在长 1.2 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 6 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 1.7 kgr = 1.2 mv = 6 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 40° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.3。求它沿斜面滑行 4 m 后的速度 v。

θ = 40°μ = 0.3d = 4 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

一个 1 kg 的物块从光滑坡道上 1.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 1 m 的粗糙水平段（μ = 0.2），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1500 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 1 kgh = 1.5 mL = 1 mμ = 0.2k = 1500 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一辆以 8 m/s 行驶的 1300 kg 汽车撞上一辆静止的 500 kg 汽车，两车卡在一起。碰撞中损失了多少动能 ΔK？

m₁ = 1300 kgv₁ = 8 m/sm₂ = 500 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.动量与碰撞困难

一个 0.4 kg 的小球以 28 m/s 撞到墙上，并以 17 m/s 沿原路弹回。接触时间为 10 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.4 kgv_in = 28 m/sv_out = 17 m/sΔt = 10 ms

F_avg = N

13.刚体转动中等

质量为 5.5 kg、长为 1.9 m 的均匀细杆一端铰接，保持水平。从静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求释放瞬间自由端的加速度 a_tip。

m = 5.5 kgL = 1.9 mg = 9.81 m/s²

a_tip = m/s²

14.刚体转动困难

一个质量为 6.5 kg 的空心球以 3 m/s 的速度无滑动地滚动。转动动能占总动能的百分之几 p？

m = 6.5 kgv = 3 m/sI = (2/3)·m·r²

p = %

15.齿轮与齿轮系中等

一个 80 mm 的带轮以 2880 rpm 通过皮带驱动一个 300 mm 的带轮，打滑率为 2 %。求从动轮的转速 n₂。

n₁ = 2880 rpmd₁ = 80 mmd₂ = 300 mms = 2 %

n₂ = rpm

16.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（30 齿）以 960 rpm 转动，驱动齿轮 B（72 齿）。齿轮 C（24 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D。输出轴须以 384 rpm 转动。齿轮 D 须有多少个齿 N_D？

n_in = 960 rpmA = 30B = 72C = 24n_out = 384 rpm

N_D =

17.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 1.4 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 1.4 mg = 9.81 m/s²

T = s

18.弹簧与单摆困难

一个 3.2 kg 的物体连在 k = 470 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 11 cm 后释放。求振动的总能量 E。

m = 3.2 kgk = 470 N/mA = 11 cm

E = J

19.机械振动中等

一个 12 kg 的质量块由刚度为 20 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 290 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。

m = 12 kgk = 20 kN/mc = 290 N·s/m

ζ =

20.机械振动困难

一个 20 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 30 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 5 kN/m 和 k₂ = 60 kN/m 悬挂；杆保持水平。忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 20 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 60 kN/mk₃ = 30 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: t = 5.556 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 90/3.6 = 25 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 25/4.5 = 5.556 s

答案

t = 5.556 s

2.运动学

答案: h_max = 16.83 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 6²/(2·9.81) = 1.835 m

离地面的高度

h_max = 15 + 1.835 = 16.83 m

答案

h_max = 16.83 m

3.牛顿定律

答案: a = 4.02 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 35° − 0.2·cos 35°) = 9.81·(0.5736 − 0.1638) = 4.02 m/s²

答案

a = 4.02 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 66.57 N

沿绳子方向的力

m₂·g = 78.48 N

m₁·g·sin θ = 45.01 N

μ·m₁·g·cos θ = 9.643 N

系统的加速度

a = (78.48 − 45.01 − 9.643)/16 = 1.489 m/s²

由悬挂物求拉力

m₂·g − T = m₂·a → T = 8·(9.81 − 1.489) = 66.57 N

答案

T = 66.57 N

5.抛体运动

答案: v₀ = 10.64 m/s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·10/sin 120°) = 10.64 m/s

答案

v₀ = 10.64 m/s

6.抛体运动

答案: H = 44.46 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

竖直方向的初速度

v_y = 34·sin 45° = 24.04 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 24.04²/(2·9.81) = 29.46 m

离地面的高度

H = 15 + 29.46 = 44.46 m

答案

H = 44.46 m

7.圆周运动

答案: v_max = 32.85 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

法向力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·110) = 32.85 m/s

答案

v_max = 32.85 m/s

(118.3 km/h)

8.圆周运动

答案: T = 67.68 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 1.7·9.81 + 1.7·6²/1.2 = 16.68 + 51 = 67.68 N

答案

T = 67.68 N

9.功和能

答案: v = 5.693 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·4·(0.6428 − 0.3·0.766)) = 5.693 m/s

答案

v = 5.693 m/s

10.功和能

答案: v = 5.05 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 9.81·(1.5 − 0.2·1) = 12.75 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·1.3) = 5.05 m/s

答案

v = 5.05 m/s

11.动量与碰撞

答案: ΔK = 11556 J

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1300·8/1800 = 5.778 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·1300·8² = 41600 J

K_after = ½·1800·5.778² = 30044 J

损失的能量

ΔK = 41600 − 30044 = 11556 J

答案

ΔK = 11556 J

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 1800 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.4·(17 + 28) = 18 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 18/0.01 = 1800 N

答案

F_avg = 1800 N

13.刚体转动

答案: a_tip = 14.71 m/s²

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

对销钉取矩

在释放的瞬间 ω = 0，所以没有向心加速度，质心笔直向下加速。

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9.81/(2·1.9) = 7.745 rad/s²

自由端的加速度

a_tip = α·L = 7.745·1.9 = 14.71 m/s²

答案

a_tip = 14.71 m/s²

对任何长度，a_tip = 1.5·g：自由端下落得比扔下的石头还快。

14.刚体转动

答案: p = 40 %

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

平动部分和转动部分

E_trans = ½·m·v² = ½·6.5·3² = 29.25 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0.6667·m·r²·(v/r)² = 0.6667·29.25 = 19.5 J

转动所占的份额

p = 19.5/48.75·100% = c/(1 + c)·100% = 40%

答案

p = 40 %

这个份额只取决于形状，与质量和速度无关。

15.齿轮与齿轮系

答案: n₂ = 752.6 rpm

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

无打滑时的转速

2880·80/300 = 768 rpm

有打滑

n₂ = 768·0.98 = 752.6 rpm

答案

n₂ = 752.6 rpm

16.齿轮与齿轮系

答案: N_D = 25

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

中间轴转速

n_B = n_C = 960·30/72 = 400 rpm

齿轮 D 的齿数

N_D = C·n_C/n_out = 24·400/384 = 25

答案

N_D = 25

17.弹簧与单摆

答案: T = 2.374 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(1.4/9.81) = 2.374 s

答案

T = 2.374 s

18.弹簧与单摆

答案: E = 2.844 J

角频率

ω = √(470/3.2) = 12.12 rad/s

能量

E = ½·k·A² = ½·470·0.11² = 2.844 J

答案

E = 2.844 J

19.机械振动

答案: ζ = 0.296

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

临界阻尼

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(20000·12) = 979.8 N·s/m

阻尼比

ζ = c/c_c = 290/979.8 = 0.296

答案

ζ = 0.296

ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。

20.机械振动

答案: f_n = 5.099 Hz

等效刚度

只有 k₁ 和 k₂ 是并联的。这一对与 k₃ 串联，所以要按倒数组合。

k₁₂ = 5 + 60 = 65 kN/m

k_eq = 65·30/(65 + 30) = 20.53 kN/m

固有频率

ω_n = √(20526/20) = 32.04 rad/s

f_n = 32.04/(2π) = 5.099 Hz

答案

f_n = 5.099 Hz

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