动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 108 km/h 行驶的汽车以 4.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 108 km/ha = −4.5 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

一块石头由静止释放落入井中。释放后 4.1 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

t_total = 4.1 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.牛顿定律中等

一个 9 kg 的物块沿倾角为 40° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 9 kgθ = 40°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 1 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 3 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 1 kgm₂ = 3 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 35° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 32 m/sθ = 35°g = 9.81 m/s²

x = m

6.抛体运动困难

一个球从 25 m 高的悬崖顶上以高于水平面 60° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 24 m/sθ = 60°h = 25 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 80 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 80 mμ_s = 0.7g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 1.5 kg 的小球系在长 1 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 5.5 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 1.5 kgr = 1 mv = 5.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 45° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.1。求它沿斜面滑行 8 m 后的速度 v。

θ = 45°μ = 0.1d = 8 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

一个 3 kg 的物块放在粗糙的水平桌面上（μ = 0.1）。一根轻绳从它出发，跨过桌边的光滑滑轮，连接一个悬挂的 2 kg 物块。系统由静止释放。求悬挂物块下降 1.5 m 后两物块的速度 v。

m₁ = 3 kgm₂ = 2 kgμ = 0.1d = 1.5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一辆以 21 m/s 行驶的 800 kg 汽车撞上一辆静止的 1500 kg 汽车，两车卡在一起。原有动能损失了百分之多少 ΔK/K？

m₁ = 800 kgv₁ = 21 m/sm₂ = 1500 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.动量与碰撞困难

在一个十字路口，一辆以 15 m/s 向东行驶的 1200 kg 汽车与一辆以 12 m/s 向北行驶的 1600 kg 汽车相撞。两车卡在一起。求碰撞后瞬间残骸的速度 v′。

m₁ = 1200 kgv₁ = 15 m/s (E)m₂ = 1600 kgv₂ = 12 m/s (N)

v′ = m/s

13.刚体转动中等

质量为 6 kg、长为 1.8 m 的均匀细杆一端铰接，保持水平。从静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求释放瞬间的角加速度 α。

m = 6 kgL = 1.8 mg = 9.81 m/s²

α = rad/s²

14.刚体转动困难

一个空心球从静止开始，沿与水平面成 10° 的斜面无滑动地滚下。取 g = 9.81 m/s²。求它沿斜面滚过 6.5 m 后的速度 v。

θ = 10°s = 6.5 mI = (2/3)·m·r²g = 9.81 m/s²

v = m/s

15.齿轮与齿轮系中等

一个 120 mm 的带轮以 2880 rpm 通过皮带驱动一个 315 mm 的带轮，打滑率为 2.5 %。求从动轮的转速 n₂。

n₁ = 2880 rpmd₁ = 120 mmd₂ = 315 mms = 2.5 %

n₂ = rpm

16.齿轮与齿轮系困难

一台 11 kW、1440 rpm 的电动机驱动齿轮 A（20 齿），A 与齿轮 B（24 齿）啮合。与 B 同轴的齿轮 C（25 齿）驱动输出轴上的齿轮 D（50 齿）。每对齿轮啮合的效率为 96%。求输出转矩 T_out。

P = 11 kWn_in = 1440 rpmA = 20B = 24C = 25D = 50η_mesh = 96%

T_out = N·m

17.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 270 N/m 弹簧上的 1.2 kg 物体被沿正方向拉开 12 cm，在 t = 0 时由静止释放。求 t = 0.7 s 时它相对于平衡位置的位移 x（带符号）。

m = 1.2 kgk = 270 N/mA = 12 cmt = 0.7 s

x = cm

18.弹簧与单摆困难

一个 2.3 kg 的物体连在 k = 20 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 2 cm 后释放。求振动的总能量 E。

m = 2.3 kgk = 20 N/mA = 2 cm

E = J

19.机械振动中等

一个 50 kg 的质量块由刚度为 25 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 340 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。

m = 50 kgk = 25 kN/mc = 340 N·s/m

ζ =

20.机械振动困难

一个 20 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 100 kN/m，下弹簧 k₂ = 10 kN/m。忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 20 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 10 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: t = 6.667 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 108/3.6 = 30 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 30/4.5 = 6.667 s

答案

t = 6.667 s

2.运动学

答案: d = 74 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(4.1 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 1406 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1406))/(2·4.905) = 3.884 s

深度

d = ½·9.81·3.884² = 74 m

答案

d = 74 m

3.牛顿定律

答案: a = 4.803 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 40° − 0.2·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0.1532) = 4.803 m/s²

答案

a = 4.803 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 6.622 m/s²

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (29.43 − 2.943)/4 = 6.622 m/s²

答案

a = 6.622 m/s²

5.抛体运动

答案: x = 98.09 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 35° = 26.21 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 35° = 18.35 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·18.35/9.81 = 3.742 s

水平距离

x = v_x·t = 26.21·3.742 = 98.09 m

答案

x = 98.09 m

6.抛体运动

答案: x = 62.58 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 60° = 12 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 60° = 20.78 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 25 + 20.78·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (20.78 + √(432 + 490.5))/9.81 = 5.215 s

水平距离

x = v_x·t = 12·5.215 = 62.58 m

答案

x = 62.58 m

7.圆周运动

答案: v_max = 23.44 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.7·9.81·80) = 23.44 m/s

答案

v_max = 23.44 m/s (84.38 km/h)

8.圆周运动

答案: T = 60.09 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 1.5·9.81 + 1.5·5.5²/1 = 14.71 + 45.38 = 60.09 N

答案

T = 60.09 N

9.功和能

答案: v = 9.994 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·8·(0.7071 − 0.1·0.7071)) = 9.994 m/s

答案

v = 9.994 m/s

10.功和能

答案: v = 3.163 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

释放和损失的能量

m₂g·d = 19.62·1.5 = 29.43 J

μ·m₁g·d = 0.1·29.43·1.5 = 4.415 J

两个物块的动能

½(m₁ + m₂)v² = 25.02 → v = √(2·25.02/5) = 3.163 m/s

答案

v = 3.163 m/s

11.动量与碰撞

答案: ΔK/K = 65.22 %

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 800·21/2300 = 7.304 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·800·21² = 176400 J

K_after = ½·2300·7.304² = 61357 J

损失的比例

ΔK/K = 115043/176400 = 65.22 %

答案

ΔK/K = 65.22 %

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: v′ = 9.399 m/s

动量分量

p_x = 1200·15 = 18000 kg·m/s

p_y = 1600·12 = 19200 kg·m/s

残骸的速度

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 26318/2800 = 9.399 m/s

答案

v′ = 9.399 m/s

13.刚体转动

答案: α = 8.175 rad/s²

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

对销钉取矩

在释放的瞬间 ω = 0，所以没有向心加速度，质心笔直向下加速。

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9.81/(2·1.8) = 8.175 rad/s²

答案

α = 8.175 rad/s²

14.刚体转动

答案: v = 3.645 m/s

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

下降的高度

h = s·sin θ = 6.5·sin 10° = 1.129 m

滚动时的能量平衡

无滑动滚动：ω = v/r，接触点处的摩擦力不做功。

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 0.6667)

v = √(2·9.81·1.129/1.667) = 3.645 m/s

答案

v = 3.645 m/s

15.齿轮与齿轮系

答案: n₂ = 1070 rpm

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

无打滑时的转速

2880·120/315 = 1097 rpm

有打滑

n₂ = 1097·0.975 = 1070 rpm

答案

n₂ = 1070 rpm

16.齿轮与齿轮系

答案: T_out = 161.3 N·m

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

输出转速

n_out = 1440·(20/24)·(25/50) = 600 rpm

ω_out = 2π·600/60 = 62.83 rad/s

输出功率和转矩

P_out = 11000·0.96² = 10138 W

T_out = P_out/ω_out = 10138/62.83 = 161.3 N·m

答案

T_out = 161.3 N·m

17.弹簧与单摆

答案: x = −5.706 cm

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(270/1.2) = 15 rad/s

ω·t = 15·0.7 = 10.5 rad

位移

x = A·cos(ω·t) = 12·cos(10.5) = −5.706 cm

答案

x = −5.706 cm

18.弹簧与单摆

答案: E = 0.004 J

角频率

ω = √(20/2.3) = 2.949 rad/s

能量

E = ½·k·A² = ½·20·0.02² = 0.004 J

答案

E = 0.004 J

19.机械振动

答案: ζ = 0.1521

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

临界阻尼

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(25000·50) = 2236 N·s/m

阻尼比

ζ = c/c_c = 340/2236 = 0.1521

答案

ζ = 0.1521

ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。

20.机械振动

答案: f_n = 3.393 Hz

等效刚度

串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

1/k_eq = 1/100 + 1/10 → k_eq = 100·10/(100 + 10) = 9.091 kN/m

固有频率

ω_n = √(9091/20) = 21.32 rad/s

f_n = 21.32/(2π) = 3.393 Hz

答案

f_n = 3.393 Hz

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