动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一位以 45 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 1.2 s，之后汽车以 5 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 45 km/ht_r = 1.2 sa = −5 m/s²

d = m

2.运动学困难

一块石头由静止释放落入井中。释放后 1.7 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

t_total = 1.7 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.牛顿定律中等

一个 15 kg 的物块沿倾角为 35° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 15 kgθ = 35°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 5.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 5.5 kgm₂ = 5 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 55° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 28 m/sθ = 55°g = 9.81 m/s²

x = m

6.抛体运动困难

一个球从 10 m 高的悬崖顶上以高于水平面 20° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 33 m/sθ = 20°h = 10 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一辆 1800 kg 的汽车以 10 m/s 驶过路面上的一个凸起的顶部。凸起的顶部是半径为 50 m 的圆弧。取 g = 9.81 m/s²。求顶部路面对汽车的法向力 N。

m = 1800 kgv = 10 m/sr = 50 mg = 9.81 m/s²

N = N

8.圆周运动困难

一个小球系在长 1.1 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。取 g = 9.81 m/s²。在最高点处，速度至少为多少 v_min 才能使绳子恰好保持绷紧？

r = 1.1 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一个 10 kg 的物块沿倾角 20° 的斜面下滑 15 m，动摩擦因数为 0.2。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 10 kgθ = 20°μ = 0.2d = 15 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 4 kg 的物块从光滑坡道上 5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 4.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.2），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 2500 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 4 kgh = 5 mL = 4.5 mμ = 0.2k = 2500 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一颗 20 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 4.5 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 11 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 20 gM = 4.5 kgh = 11 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.5 kg 的小球以 24 m/s 撞到墙上，并以 7 m/s 沿原路弹回。接触时间为 25 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.5 kgv_in = 24 m/sv_out = 7 m/sΔt = 25 ms

F_avg = N

13.刚体转动中等

质量为 6 kg、长为 0.6 m 的均匀细杆一端铰接，在水平位置从静止释放。一个质量为 3 kg 的小球固定在它的自由端。忽略摩擦，取 g = 9.81 m/s²。求杆摆过竖直位置时的角速度 ω。

m = 6 kgL = 0.6 mm_ball = 3 kgg = 9.81 m/s²

ω = rad/s

14.刚体转动困难

一个薄圆环从静止开始，沿与水平面成 10° 的斜面无滑动地滚下。取 g = 9.81 m/s²。它的半径为 0.3 m。求它沿斜面滚过 6.5 m 后的角速度 ω。

θ = 10°s = 6.5 mI = m·r²g = 9.81 m/s²r = 0.3 m

ω = rad/s

15.齿轮与齿轮系中等

一个 100 mm 的带轮以 1450 rpm 通过皮带驱动一个 315 mm 的带轮，打滑率为 1 %。求从动轮的转速 n₂。

n₁ = 1450 rpmd₁ = 100 mmd₂ = 315 mms = 1 %

n₂ = rpm

16.齿轮与齿轮系困难

一台 1.5 kW、1450 rpm 的电动机驱动齿轮 A（20 齿），A 与齿轮 B（45 齿）啮合。与 B 同轴的齿轮 C（12 齿）驱动输出轴上的齿轮 D（15 齿）。每对齿轮啮合的效率为 98%。求输出转矩 T_out。

P = 1.5 kWn_in = 1450 rpmA = 20B = 45C = 12D = 15η_mesh = 98%

T_out = N·m

17.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 240 N/m 弹簧上的 1 kg 物体被沿正方向拉开 7 cm，在 t = 0 时由静止释放。求 t = 1.45 s 时它相对于平衡位置的位移 x（带符号）。

m = 1 kgk = 240 N/mA = 7 cmt = 1.45 s

x = cm

18.弹簧与单摆困难

一个 2 kg 的物体连在 k = 460 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 3 cm 后释放。求它的最大加速度 a_max。

m = 2 kgk = 460 N/mA = 3 cm

a_max = m/s²

19.机械振动中等

一个 5 kg 的质量块挂在刚度为 10 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.3。求其自由振动的有阻尼固有频率 f_d，以 Hz 计。

m = 5 kgk = 10 kN/mζ = 0.3

f_d = Hz

20.机械振动困难

一个 25 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 10 kN/m 和 k₂ = 100 kN/m。质量块保持水平。忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 25 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 100 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: d = 30.63 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 45/3.6 = 12.5 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 12.5·1.2 = 15 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 12.5²/(2·5) = 15.63 m

合计

d = 15 + 15.63 = 30.63 m

答案

d = 30.63 m

2.运动学

答案: d = 13.53 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(1.7 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 583.1 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·583.1))/(2·4.905) = 1.661 s

深度

d = ½·9.81·1.661² = 13.53 m

答案

d = 13.53 m

3.牛顿定律

答案: a = 4.823 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 35° − 0.1·cos 35°) = 9.81·(0.5736 − 0.08192) = 4.823 m/s²

答案

a = 4.823 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 33.4 N

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (49.05 − 16.19)/10.5 = 3.13 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 5.5·3.13 + 16.19 = 33.4 N

答案

T = 33.4 N

5.抛体运动

答案: x = 75.1 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 28·cos 55° = 16.06 m/s

v_y = v₀·sin θ = 28·sin 55° = 22.94 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·22.94/9.81 = 4.676 s

水平距离

x = v_x·t = 16.06·4.676 = 75.1 m

答案

x = 75.1 m

6.抛体运动

答案: t = 2.984 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 33·cos 20° = 31.01 m/s

v_y = v₀·sin θ = 33·sin 20° = 11.29 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 10 + 11.29·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (11.29 + √(127.4 + 196.2))/9.81 = 2.984 s

答案

t = 2.984 s

7.圆周运动

答案: N = 14058 N

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

顶点的受力

指向圆心（向下）为正。

m·g − N = m·v²/r

N = 1800·9.81 − 1800·10²/50 = 17658 − 3600 = 14058 N

答案

N = 14058 N

汽车感觉变轻了：路面向上的支持力小于其重量。

8.圆周运动

答案: v_min = 3.285 m/s

最高点张力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·1.1) = 3.285 m/s

答案

v_min = 3.285 m/s

9.功和能

答案: W_f = 276.6 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 98.1·0.9397 = 92.18 N

F = μN = 0.2·92.18 = 18.44 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 18.44·15 = 276.6 J

答案

W_f = 276.6 J

10.功和能

答案: v = 8.969 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 39.24·(5 − 0.2·4.5) = 160.9 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·4.1) = 8.969 m/s

答案

v = 8.969 m/s

11.动量与碰撞

答案: v = 332 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.11) = 1.469 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.02 + 4.5)·1.469/0.02 = 332 m/s

答案

v = 332 m/s

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 620 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.5·(7 + 24) = 15.5 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 15.5/0.025 = 620 N

答案

F_avg = 620 N

13.刚体转动

答案: ω = 6.264 rad/s

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

势能的减少

m·g·L/2 + m_ball·g·L = 6·9.81·0.3 + 3·9.81·0.6 = 35.32 J

对销钉的转动惯量

I_O = m·L²/3 + m_ball·L² = 0.72 + 1.08 = 1.8 kg·m²

能量衡算

½·I_O·ω² = 35.32 → ω = √(2·35.32/1.8) = 6.264 rad/s

答案

ω = 6.264 rad/s

14.刚体转动

答案: ω = 11.09 rad/s

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

下降的高度

h = s·sin θ = 6.5·sin 10° = 1.129 m

滚动时的能量平衡

无滑动滚动：ω = v/r，接触点处的摩擦力不做功。

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 1)

v = √(2·9.81·1.129/2) = 3.328 m/s

ω = v/r = 3.328/0.3 = 11.09 rad/s

答案

ω = 11.09 rad/s

15.齿轮与齿轮系

答案: n₂ = 455.7 rpm

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

无打滑时的转速

1450·100/315 = 460.3 rpm

有打滑

n₂ = 460.3·0.99 = 455.7 rpm

答案

n₂ = 455.7 rpm

16.齿轮与齿轮系

答案: T_out = 26.68 N·m

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

输出转速

n_out = 1450·(20/45)·(12/15) = 515.6 rpm

ω_out = 2π·515.6/60 = 53.99 rad/s

输出功率和转矩

P_out = 1500·0.98² = 1441 W

T_out = P_out/ω_out = 1441/53.99 = 26.68 N·m

答案

T_out = 26.68 N·m

17.弹簧与单摆

答案: x = −6.234 cm

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(240/1) = 15.49 rad/s

ω·t = 15.49·1.45 = 22.46 rad

位移

x = A·cos(ω·t) = 7·cos(22.46) = −6.234 cm

答案

x = −6.234 cm

18.弹簧与单摆

答案: a_max = 6.9 m/s²

角频率

ω = √(460/2) = 15.17 rad/s

最大加速度

a_max = A·ω² = 0.03·15.17² = 6.9 m/s²

答案

a_max = 6.9 m/s²

19.机械振动

答案: f_d = 6.79 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

无阻尼固有频率

ω_n = √(10000/5) = 44.72 rad/s

f_n = 44.72/(2π) = 7.118 Hz

有阻尼固有频率

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 7.118·√(1 − 0.3²) = 6.79 Hz

答案

f_d = 6.79 Hz

20.机械振动

答案: f_n = 10.56 Hz

等效刚度

并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k₁ + k₂。

k_eq = 10 + 100 = 110 kN/m

固有频率

ω_n = √(110000/25) = 66.33 rad/s

f_n = 66.33/(2π) = 10.56 Hz

答案

f_n = 10.56 Hz

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