动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以恒定的 25 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 3.5 m/s² 匀加速。警车在距其出发点多远处追上？求 d。

v_car = 25 m/sa_police = 3.5 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.运动学困难

一枚模型火箭从静止竖直向上发射。其发动机使它获得 38 m/s² 的恒定向上加速度，持续 2.5 s，之后发动机停止，火箭做自由运动。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。发射后多长时间它落到地面？求 t。

a = 38 m/s²t₁ = 2.5 sg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 40 kg 的雪橇被一根与水平方向成 15° 向上的绳子以 100 N 的力拉着在平坦的雪地上移动。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求雪橇的加速度 a。

m = 40 kgF = 100 Nθ = 15°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 6.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 2.5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 6.5 kgm₂ = 2.5 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 40 m/s、与水平方向成 25° 的角度朝 25 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 40 m/sθ = 25°x = 25 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从地面以 35 m/s、与水平方向成 65° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 27 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 35 m/sθ = 65°h_roof = 27 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 40 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.6。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 40 mμ_s = 0.6g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 0.4 kg 的球系在长 1.4 m 的轻绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点它的速度为 12 m/s。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求最高点时绳中的拉力 T_top。

m = 0.4 kgr = 1.4 mv_bottom = 12 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.功和能中等

一个玩具发射器有一根刚度为 800 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.25 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 8 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。

m = 0.25 kgk = 800 N/mx = 8 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.功和能困难

一个 5 kg 的物块从光滑坡道上 1 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 2.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.2），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 2500 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 5 kgh = 1 mL = 2.5 mμ = 0.2k = 2500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

一辆以 23 m/s 行驶的 500 kg 汽车撞上一辆静止的 800 kg 汽车，两车卡在一起。碰撞中损失了多少动能 ΔK？

m₁ = 500 kgv₁ = 23 m/sm₂ = 800 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.动量与碰撞困难

一个 0.55 kg 的小球以 23 m/s 撞到墙上，并以 10 m/s 沿原路弹回。接触时间为 10 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.55 kgv_in = 23 m/sv_out = 10 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

13.刚体转动中等

质量为 13.5 kg、长为 2.9 m 的均匀细杆一端铰接，保持水平。从静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求释放瞬间的角加速度 α。

m = 13.5 kgL = 2.9 mg = 9.81 m/s²

α = rad/s²

14.刚体转动困难

一个实心球从静止开始，沿与水平面成 25° 的斜面无滑动地滚下。取 g = 9.81 m/s²。求它沿斜面滚过 10 m 后的速度 v。

θ = 25°s = 10 mI = (2/5)·m·r²g = 9.81 m/s²

v = m/s

15.齿轮与齿轮系中等

一台 1.5 kW、转速 1440 rpm 的电动机驱动一个齿数为 24、模数为 3 mm 的小齿轮。求小齿轮齿上的切向力 F_t。

P = 1.5 kWn = 1440 rpmN₁ = 24m = 3 mm

F_t = N

16.齿轮与齿轮系困难

一条开口皮带连接一个 120 mm 的带轮和一个 400 mm 的带轮，二者中心相距 1000 mm。求小带轮上的包角 θ，单位为度。

d₁ = 120 mmd₂ = 400 mmC = 1000 mm

θ = °

17.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 2 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 2 sg = 9.81 m/s²

L = m

18.弹簧与单摆困难

一颗以 100 m/s 运动的 20 g 子弹击中并留在一个放在无摩擦表面上的 2 kg 木块中。木块连在一根 k = 1100 N/m 的水平弹簧上。求由此产生的振动的振幅 A，以 cm 表示。

m = 20 gv = 100 m/sM = 2 kgk = 1100 N/m

A = cm

19.机械振动中等

一个 150 kg 的质量块挂在刚度为 20 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.4。求其自由振动的有阻尼固有频率 f_d，以 Hz 计。

m = 150 kgk = 20 kN/mζ = 0.4

f_d = Hz

20.机械振动困难

一个 10 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 12 kN/m，下弹簧 k₂ = 15 kN/m。忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 10 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 15 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: d = 357.1 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·25/3.5 = 14.29 s

距离

d = v·t = 25·14.29 = 357.1 m

答案

d = 357.1 m

此时警车的速度为 2v = 50 m/s。

2.运动学

答案: t = 23.05 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

动力阶段

v₁ = 38·2.5 = 95 m/s

h₁ = ½·38·2.5² = 118.8 m

落回地面的自由飞行

解 −h₁ = v₁·t₂ − ½·g·t₂²，取正根。

t₂ = (95 + √(95² + 2·9.81·118.8))/9.81 = 20.55 s

t = 2.5 + 20.55 = 23.05 s

答案

t = 23.05 s

3.牛顿定律

答案: a = 1.499 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

法向力

N = m·g − F·sin θ = 392.4 − 100·sin 15° = 366.5 N

水平方向的力

m·a = F·cos θ − μ·N = 96.59 − 36.65

a = 59.94/40 = 1.499 m/s²

答案

a = 1.499 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 19.48 N

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (24.53 − 6.377)/9 = 2.017 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 6.5·2.017 + 6.377 = 19.48 N

答案

T = 19.48 N

5.抛体运动

答案: y = 9.325 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

到达墙的时间

v_x = 40·cos 25° = 36.25 m/s

t = x/v_x = 25/36.25 = 0.6896 s

此时的高度

y = 16.9·0.6896 − ½·9.81·0.6896² = 9.325 m

答案

y = 9.325 m

球到达墙时仍在上升。

6.抛体运动

答案: x = 80.74 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

v_x = 14.79 m/s, v_y = 31.72 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

27 = 31.72·t − 4.905·t²

t = (31.72 + √(31.72² − 2·9.81·27))/9.81 = 5.459 s

水平距离

x = v_x·t = 14.79·5.459 = 80.74 m

答案

x = 80.74 m

7.圆周运动

答案: v_max = 15.34 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.6·9.81·40) = 15.34 m/s

答案

v_max = 15.34 m/s (55.24 km/h)

8.圆周运动

答案: T_top = 21.52 N

顶点的速度

在高度 2r 上，动能转化为势能。

v_top² = 12² − 4·9.81·1.4 = 89.06 m²/s²

顶点的受力

拉力和重力都向下，指向圆心。

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0.4·89.06/1.4 − 0.4·9.81 = 21.52 N

答案

T_top = 21.52 N

9.功和能

答案: h = 1.044 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 8 cm = 0.08 m

½kx² = ½·800·0.08² = 2.56 J

高度

m·g = 0.25·9.81 = 2.453 N

h = ½kx²/(mg) = 2.56/2.453 = 1.044 m

答案

h = 1.044 m

10.功和能

答案: x = 14.01 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 49.05·(1 − 0.2·2.5) = 24.53 J

最大压缩量

½kx² = 24.53 → x = √(2·24.53/2500) = 0.1401 m = 14.01 cm

答案

x = 14.01 cm

11.动量与碰撞

答案: ΔK = 81385 J

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 500·23/1300 = 8.846 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·500·23² = 132250 J

K_after = ½·1300·8.846² = 50865 J

损失的能量

ΔK = 132250 − 50865 = 81385 J

答案

ΔK = 81385 J

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: J = 18.15 N·s

动量的变化量

J = m·Δv = 0.55·(10 + 23) = 18.15 N·s

答案

J = 18.15 N·s

13.刚体转动

答案: α = 5.074 rad/s²

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

对销钉取矩

在释放的瞬间 ω = 0，所以没有向心加速度，质心笔直向下加速。

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9.81/(2·2.9) = 5.074 rad/s²

答案

α = 5.074 rad/s²

14.刚体转动

答案: v = 7.696 m/s

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

下降的高度

h = s·sin θ = 10·sin 25° = 4.226 m

滚动时的能量平衡

无滑动滚动：ω = v/r，接触点处的摩擦力不做功。

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 0.4)

v = √(2·9.81·4.226/1.4) = 7.696 m/s

答案

v = 7.696 m/s

15.齿轮与齿轮系

答案: F_t = 276.3 N

齿轮几何：模数 m 决定齿的大小。齿数为 N 的齿轮分度圆直径为 d = m·N，相互啮合的两个齿轮模数相同，其中心距为 a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2。节线速度为 v = π·d·n/60，切向齿力由转矩求得：F_t = 2T/d。

小齿轮上的转矩

ω = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s

T = P/ω = 1500/150.8 = 9.947 N·m

分度圆直径

d = m·N = 3·24 = 72 mm

切向力

F_t = 2T/d = 2·9.947/0.072 = 276.3 N

答案

F_t = 276.3 N

16.齿轮与齿轮系

答案: θ = 163.9 °

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

皮带角

asin(0.14) = 8.048°

包角

θ = 180 − 2·8.048 = 163.9°

答案

θ = 163.9°

17.弹簧与单摆

答案: L = 0.994 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(2/2π)² = 0.994 m

答案

L = 0.994 m

18.弹簧与单摆

答案: A = 4.243 cm

撞击后的速度

V = m·v/(m + M) = 0.02·100/2.02 = 0.9901 m/s

角频率

ω = √(k/(m + M)) = √(1100/2.02) = 23.34 rad/s

振幅

A = V/ω = 0.9901/23.34 = 0.04243 m = 4.243 cm

答案

A = 4.243 cm

19.机械振动

答案: f_d = 1.684 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

无阻尼固有频率

ω_n = √(20000/150) = 11.55 rad/s

f_n = 11.55/(2π) = 1.838 Hz

有阻尼固有频率

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 1.838·√(1 − 0.4²) = 1.684 Hz

答案

f_d = 1.684 Hz

20.机械振动

答案: f_n = 4.109 Hz

等效刚度

串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

1/k_eq = 1/12 + 1/15 → k_eq = 12·15/(12 + 15) = 6.667 kN/m

固有频率

ω_n = √(6667/10) = 25.82 rad/s

f_n = 25.82/(2π) = 4.109 Hz

答案

f_n = 4.109 Hz

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