动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以恒定的 16 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 2.5 m/s² 匀加速。警车在距其出发点多远处追上？求 d。

v_car = 16 m/sa_police = 2.5 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.运动学困难

一辆有轨电车从静止开始以 1.5 m/s² 加速 5 s，然后匀速行驶 26 s，最后以 2.5 m/s² 制动直到停止。求两站之间的总距离 s。

a₁ = 1.5 m/s²t₁ = 5 st₂ = 26 sa₃ = −2.5 m/s²

s = m

3.牛顿定律中等

一个 12 kg 的物块沿倾角为 20° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 12 kgθ = 20°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

倾角为 40° 的斜面上有一个 8 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 10 kg 物体相连。悬挂物向下运动。物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 8 kgm₂ = 10 kgθ = 40°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 70° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 34 m/sθ = 70°g = 9.81 m/s²

x = m

6.抛体运动困难

一个球从 50 m 高的悬崖顶上以高于水平面 20° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 17 m/sθ = 20°h = 50 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一个系在长 2 m 绳上的小球做水平圆周运动，绳与竖直方向保持 50° 的恒定夹角（圆锥摆）。取 g = 9.81 m/s²。求小球的速度 v。

L = 2 mθ = 50°g = 9.81 m/s²

v = m/s

8.圆周运动困难

一个 0.8 kg 的球系在长 0.9 m 的轻绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点它的速度为 8.5 m/s。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求最高点时绳中的拉力 T_top。

m = 0.8 kgr = 0.9 mv_bottom = 8.5 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.功和能中等

一个 5 kg 的物块沿倾角 15° 的斜面下滑 9 m，动摩擦因数为 0.15。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 5 kgθ = 15°μ = 0.15d = 9 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 2.5 kg 的物块从光滑坡道上 2.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 5 m 的粗糙水平段（μ = 0.15），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1500 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 2.5 kgh = 2.5 mL = 5 mμ = 0.15k = 1500 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 5 m/s 运动的 3 kg 滑块与一个静止的 2 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 3 kgm₂ = 2 kgv₁ = 5 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

一辆 1500 kg 的汽车撞上一辆停放的 1200 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 15.5 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1500 kgm₂ = 1200 kgd = 15.5 mμ = 0.7g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.刚体转动中等

质量为 3.5 kg、长为 0.7 m 的均匀细杆一端铰接，在水平位置从静止释放。忽略摩擦，取 g = 9.81 m/s²。求杆摆过竖直位置时的角速度 ω。

m = 3.5 kgL = 0.7 mg = 9.81 m/s²

ω = rad/s

14.刚体转动困难

一个均匀实心圆盘（质量 28 kg，半径 0.15 m）绕无摩擦的竖直轴以 400 rpm 自由旋转。一个质量为 8 kg、半径相同的薄圆环从静止状态落到它上面，圆心对准转轴，两者很快一起旋转。求它们共同的转速 n₂，单位 rpm。

M_disc = 28 kgM_ring = 8 kgR = 0.15 mn₁ = 400 rpm

n₂ = rpm

15.齿轮与齿轮系中等

两根平行轴相距 96 mm。须用一对模数为 3 mm、减速比为 3 : 1 的直齿圆柱齿轮把它们连接起来。小齿轮须有多少个齿 N₁？

a = 96 mmm = 3 mmi = 3

N₁ =

16.齿轮与齿轮系困难

在一个行星齿轮系中，太阳轮有 24 个齿，每个行星轮有 20 个齿。齿圈固定，太阳轮以 1440 rpm 驱动。求行星架的转速 n_c。

N_s = 24N_p = 20n_s = 1440 rpm

n_c = rpm

17.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 1.5 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 1.5 sg = 9.81 m/s²

L = m

18.弹簧与单摆困难

一个物体做简谐振动，周期为 2.1 s，振幅为 9 cm。它从平衡位置运动到位移 6.75 cm 处所需的最短时间 t 是多少？

T = 2.1 sA = 9 cmx = 6.75 cm

t = s

19.机械振动中等

在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 12 mm 之后一个周期出现峰值 4.6 mm。求阻尼比 ζ。

x₀ = 12 mmx₁ = 4.6 mmn = 1

ζ =

20.机械振动困难

一个 10 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 25 kN/m 和 k₂ = 80 kN/m。质量块保持水平。忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 10 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 80 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: d = 204.8 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·16/2.5 = 12.8 s

距离

d = v·t = 16·12.8 = 204.8 m

答案

d = 204.8 m

此时警车的速度为 2v = 32 m/s。

2.运动学

答案: s = 225 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

最高速度

v = a₁·t₁ = 1.5·5 = 7.5 m/s

各阶段的距离

s₁ = ½·1.5·5² = 18.75 m

s₂ = 7.5·26 = 195 m

s₃ = 7.5²/(2·2.5) = 11.25 m

总距离

s = 18.75 + 195 + 11.25 = 225 m

答案

s = 225 m

3.牛顿定律

答案: a = 0.5897 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 20° − 0.3·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.2819) = 0.5897 m/s²

答案

a = 0.5897 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 1.812 m/s²

沿绳子方向的力

m₂·g = 98.1 N

m₁·g·sin θ = 50.45 N

μ·m₁·g·cos θ = 15.03 N

系统的加速度

a = (98.1 − 50.45 − 15.03)/18 = 1.812 m/s²

答案

a = 1.812 m/s²

5.抛体运动

答案: x = 75.75 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 34·cos 70° = 11.63 m/s

v_y = v₀·sin θ = 34·sin 70° = 31.95 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·31.95/9.81 = 6.514 s

水平距离

x = v_x·t = 11.63·6.514 = 75.75 m

答案

x = 75.75 m

6.抛体运动

答案: t = 3.84 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 17·cos 20° = 15.97 m/s

v_y = v₀·sin θ = 17·sin 20° = 5.814 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 50 + 5.814·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (5.814 + √(33.81 + 981))/9.81 = 3.84 s

答案

t = 3.84 s

7.圆周运动

答案: v = 4.232 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

圆的半径

r = L·sin θ = 2·sin 50° = 1.532 m

速率

拉力和重力共同提供向心的力：tan θ = v²/(r·g)。

v = √(r·g·tan θ) = √(1.532·9.81·tan 50°) = 4.232 m/s

答案

v = 4.232 m/s

8.圆周运动

答案: T_top = 24.98 N

顶点的速度

在高度 2r 上，动能转化为势能。

v_top² = 8.5² − 4·9.81·0.9 = 36.93 m²/s²

顶点的受力

拉力和重力都向下，指向圆心。

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0.8·36.93/0.9 − 0.8·9.81 = 24.98 N

答案

T_top = 24.98 N

9.功和能

答案: W_f = 63.96 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 49.05·0.9659 = 47.38 N

F = μN = 0.15·47.38 = 7.107 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 7.107·9 = 63.96 J

答案

W_f = 63.96 J

10.功和能

答案: v = 5.86 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 24.53·(2.5 − 0.15·5) = 42.92 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·1.75) = 5.86 m/s

答案

v = 5.86 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = 1 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (3 − 2)/(3 + 2)·5 = 1 m/s

v′₂ = 2·3/(3 + 2)·5 = 6 m/s

答案

v′₁ = 1 m/s

12.动量与碰撞

答案: v₁ = 26.26 m/s

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.7·9.81·15.5) = 14.59 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2700·14.59/1500 = 26.26 m/s

答案

v₁ = 26.26 m/s

(94.55 km/h)

13.刚体转动

答案: ω = 6.484 rad/s

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

势能的减少

m·g·L/2 = 3.5·9.81·0.35 = 12.02 J

对销钉的转动惯量

I_O = m·L²/3 = 3.5·0.7²/3 = 0.5717 kg·m²

能量衡算

½·I_O·ω² = 12.02 → ω = √(2·12.02/0.5717) = 6.484 rad/s

答案

ω = 6.484 rad/s

14.刚体转动

答案: n₂ = 254.5 rpm

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

转动惯量

I₁ = ½·28·0.15² = 0.315 kg·m²

I₂ = 8·0.15² = 0.18 kg·m²

角动量守恒

n₂ = n₁·I₁/(I₁ + I₂) = 400·0.315/0.495 = 254.5 rpm

答案

n₂ = 254.5 rpm

15.齿轮与齿轮系

答案: N₁ = 16

齿轮几何：模数 m 决定齿的大小。齿数为 N 的齿轮分度圆直径为 d = m·N，相互啮合的两个齿轮模数相同，其中心距为 a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2。节线速度为 v = π·d·n/60，切向齿力由转矩求得：F_t = 2T/d。

总齿数

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·96/3 = 64

按传动比分配

N₁ = 64/(1 + 3) = 16

答案

N₁ = 16

16.齿轮与齿轮系

答案: n_c = 392.7 rpm

行星齿轮系：太阳轮、齿圈和行星架的转速由威利斯方程 (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s 联系起来：从行星架上看，该轮系是以行星轮为惰轮的普通轮系。固定其中一个构件，轮系就成为一个单一传动比的减速器。

齿圈齿数

N_r = N_s + 2·N_p = 24 + 2·20 = 64

齿圈固定时的威利斯方程

令 n_r = 0，求行星架的转速。

(1440 − n_c)/(0 − n_c) = −64/24

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 1440·24/88 = 392.7 rpm

答案

n_c = 392.7 rpm

行星架与太阳轮转向相同。

17.弹簧与单摆

答案: L = 0.5591 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(1.5/2π)² = 0.5591 m

答案

L = 0.5591 m

18.弹簧与单摆

答案: t = 0.2834 s

角频率

ω = 2π/T = 2π/2.1 = 2.992 rad/s

求解时间

0.75 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0.75) = 0.8481 rad

t = 0.8481/2.992 = 0.2834 s

答案

t = 0.2834 s

19.机械振动

答案: ζ = 0.1509

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

对数衰减率

δ = (1/1)·ln(12/4.6) = 0.9589

阻尼比

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.9589/√(39.48 + 0.9194) = 0.1509

答案

ζ = 0.1509

20.机械振动

答案: f_n = 16.31 Hz

等效刚度

并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k₁ + k₂。

k_eq = 25 + 80 = 105 kN/m

固有频率

ω_n = √(105000/10) = 102.5 rad/s

f_n = 102.5/(2π) = 16.31 Hz

答案

f_n = 16.31 Hz

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