动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以恒定的 21 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 2 m/s² 匀加速。警车在距其出发点多远处追上？求 d。

v_car = 21 m/sa_police = 2 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.运动学困难

一辆有轨电车从静止开始以 3 m/s² 加速 4 s，然后匀速行驶 25 s，最后以 3 m/s² 制动直到停止。求两站之间的总距离 s。

a₁ = 3 m/s²t₁ = 4 st₂ = 25 sa₃ = −3 m/s²

s = m

3.牛顿定律中等

一个 45 kg 的箱子被一个平行于斜面的力沿与水平方向成 25° 的斜面匀速向上推。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求推力 F。

m = 45 kgθ = 25°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

F = N

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 8.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 6 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 8.5 kgm₂ = 6 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 70° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 32 m/sθ = 70°g = 9.81 m/s²

x = m

6.抛体运动困难

一个球从 30 m 高的悬崖顶上以高于水平面 55° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 31 m/sθ = 55°h = 30 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 45 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.6。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 45 mμ_s = 0.6g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个小球系在长 1.2 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。取 g = 9.81 m/s²。在最高点处，速度至少为多少 v_min 才能使绳子恰好保持绷紧？

r = 1.2 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一个 2.5 kg 的物块沿倾角 35° 的斜面下滑 18 m，动摩擦因数为 0.25。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 2.5 kgθ = 35°μ = 0.25d = 18 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 4 kg 的物块从光滑坡道上 4.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 3 m 的粗糙水平段（μ = 0.2），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 4000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 4 kgh = 4.5 mL = 3 mμ = 0.2k = 4000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 2 m/s 运动的 2 kg 滑块与一个静止的 5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 2 kgm₂ = 5 kgv₁ = 2 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.6 kg 的小球以 12 m/s 撞到墙上，并以 6 m/s 沿原路弹回。接触时间为 50 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.6 kgv_in = 12 m/sv_out = 6 m/sΔt = 50 ms

F_avg = N

13.刚体转动中等

一台电动机在 2800 rpm 时输出 1910 N·m 的转矩。求它的输出功率 P，单位 kW。

T = 1910 N·mn = 2800 rpm

P = kW

14.刚体转动困难

一个质量为 7 kg 的空心球以 5 m/s 的速度无滑动地滚动。转动动能占总动能的百分之几 p？

m = 7 kgv = 5 m/sI = (2/3)·m·r²

p = %

15.齿轮与齿轮系中等

一台 4 kW 的电动机以 1450 rpm 运转，驱动一个齿数为 15 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 80 的大齿轮啮合。该齿轮副的效率为 95%。求电动机轴上的扭矩 T₁。

P = 4 kWn₁ = 1450 rpmN₁ = 15N₂ = 80η = 95%

T₁ = N·m

16.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（24 齿）以 1450 rpm 转动，驱动齿轮 B（72 齿）。齿轮 C（12 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（48 齿）。求输出转速 n_out。

n_in = 1450 rpmA = 24B = 72C = 12D = 48

n_out = rpm

17.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 340 N/m 弹簧上的 0.5 kg 物体被沿正方向拉开 14 cm，在 t = 0 时由静止释放。求 t = 1.45 s 时它相对于平衡位置的位移 x（带符号）。

m = 0.5 kgk = 340 N/mA = 14 cmt = 1.45 s

x = cm

18.弹簧与单摆困难

一个 0.6 kg 的物体连在 k = 250 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 13 cm 后释放。求它的最大加速度 a_max。

m = 0.6 kgk = 250 N/mA = 13 cm

a_max = m/s²

19.机械振动中等

一个 15 kg 的质量块由刚度为 8 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 140 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。

m = 15 kgk = 8 kN/mc = 140 N·s/m

ζ =

20.机械振动困难

一个 5 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 40 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 100 kN/m 和 k₂ = 15 kN/m 悬挂；杆保持水平。忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 5 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 15 kN/mk₃ = 40 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: d = 441 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·21/2 = 21 s

距离

d = v·t = 21·21 = 441 m

答案

d = 441 m

此时警车的速度为 2v = 42 m/s。

2.运动学

答案: s = 348 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

最高速度

v = a₁·t₁ = 3·4 = 12 m/s

各阶段的距离

s₁ = ½·3·4² = 24 m

s₂ = 12·25 = 300 m

s₃ = 12²/(2·3) = 24 m

总距离

s = 24 + 300 + 24 = 348 m

答案

s = 348 m

3.牛顿定律

答案: F = 266.6 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

匀速：各力平衡。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

推力

F = 186.6 + 80.02 = 266.6 N

答案

F = 266.6 N

4.牛顿定律

答案: a = 2.334 m/s²

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (58.86 − 25.02)/14.5 = 2.334 m/s²

答案

a = 2.334 m/s²

5.抛体运动

答案: x = 67.1 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 70° = 10.94 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 70° = 30.07 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·30.07/9.81 = 6.131 s

水平距离

x = v_x·t = 10.94·6.131 = 67.1 m

答案

x = 67.1 m

6.抛体运动

答案: x = 109.7 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 31·cos 55° = 17.78 m/s

v_y = v₀·sin θ = 31·sin 55° = 25.39 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 30 + 25.39·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (25.39 + √(644.8 + 588.6))/9.81 = 6.169 s

水平距离

x = v_x·t = 17.78·6.169 = 109.7 m

答案

x = 109.7 m

7.圆周运动

答案: v_max = 16.27 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.6·9.81·45) = 16.27 m/s

答案

v_max = 16.27 m/s (58.59 km/h)

8.圆周运动

答案: v_min = 3.431 m/s

最高点张力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·1.2) = 3.431 m/s

答案

v_min = 3.431 m/s

9.功和能

答案: W_f = 90.4 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 24.53·0.8192 = 20.09 N

F = μN = 0.25·20.09 = 5.022 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 5.022·18 = 90.4 J

答案

W_f = 90.4 J

10.功和能

答案: x = 27.66 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 39.24·(4.5 − 0.2·3) = 153 J

最大压缩量

½kx² = 153 → x = √(2·153/4000) = 0.2766 m = 27.66 cm

答案

x = 27.66 cm

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = −0.8571 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (2 − 5)/(2 + 5)·2 = −0.8571 m/s

v′₂ = 2·2/(2 + 5)·2 = 1.143 m/s

答案

v′₁ = −0.8571 m/s

负号表示第一个滑块被弹回。

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 216 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.6·(6 + 12) = 10.8 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 10.8/0.05 = 216 N

答案

F_avg = 216 N

13.刚体转动

答案: P = 560 kW

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

角速度

ω = 2π·2800/60 = 293.2 rad/s

功率

P = T·ω = 1910·293.2 = 560041 W = 560 kW

答案

P = 560 kW

14.刚体转动

答案: p = 40 %

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

平动部分和转动部分

E_trans = ½·m·v² = ½·7·5² = 87.5 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0.6667·m·r²·(v/r)² = 0.6667·87.5 = 58.33 J

转动所占的份额

p = 58.33/145.8·100% = c/(1 + c)·100% = 40%

答案

p = 40 %

这个份额只取决于形状，与质量和速度无关。

15.齿轮与齿轮系

答案: T₁ = 26.34 N·m

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

电动机扭矩

ω₁ = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 4000/151.8 = 26.34 N·m

答案

T₁ = 26.34 N·m

16.齿轮与齿轮系

答案: n_out = 120.8 rpm

第一级

n_B = 1450·24/72 = 483.3 rpm = n_C

第二级

n_out = 483.3·12/48 = 120.8 rpm

答案

n_out = 120.8 rpm

总传动比 = 12 : 1

17.弹簧与单摆

答案: x = 13.91 cm

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(340/0.5) = 26.08 rad/s

ω·t = 26.08·1.45 = 37.81 rad

位移

x = A·cos(ω·t) = 14·cos(37.81) = 13.91 cm

答案

x = 13.91 cm

18.弹簧与单摆

答案: a_max = 54.17 m/s²

角频率

ω = √(250/0.6) = 20.41 rad/s

最大加速度

a_max = A·ω² = 0.13·20.41² = 54.17 m/s²

答案

a_max = 54.17 m/s²

19.机械振动

答案: ζ = 0.2021

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

临界阻尼

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(8000·15) = 692.8 N·s/m

阻尼比

ζ = c/c_c = 140/692.8 = 0.2021

答案

ζ = 0.2021

ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。

20.机械振动

答案: f_n = 12.26 Hz

等效刚度

只有 k₁ 和 k₂ 是并联的。这一对与 k₃ 串联，所以要按倒数组合。

k₁₂ = 100 + 15 = 115 kN/m

k_eq = 115·40/(115 + 40) = 29.68 kN/m

固有频率

ω_n = √(29677/5) = 77.04 rad/s

f_n = 77.04/(2π) = 12.26 Hz

答案

f_n = 12.26 Hz

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