动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 100 km/h 行驶的汽车以 7.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 100 km/ha = −7.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

一块石头由静止释放落入井中。释放后 3.7 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

t_total = 3.7 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.牛顿定律中等

一个 2 kg 的物块沿倾角为 20° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 2 kgθ = 20°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 8 m/s 的速度开始沿 30° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 8 m/sθ = 30°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 38 m/s、与水平方向成 35° 的角度朝 28 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 38 m/sθ = 35°x = 28 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从 60 m 高的悬崖顶部以 21 m/s、与水平方向成 25° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它落地时的速度 v。

v₀ = 21 m/sθ = 25°h = 60 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 65 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.8。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 65 mμ_s = 0.8g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 0.3 kg 的小球系在长 1.5 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 9 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 0.3 kgr = 1.5 mv = 9 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个 5 kg 的物块沿倾角 30° 的斜面下滑 9 m，动摩擦因数为 0.25。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 5 kgθ = 30°μ = 0.25d = 9 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 0.5 kg 的物块从光滑坡道上 1 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 2 m 的粗糙水平段（μ = 0.3），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 500 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 0.5 kgh = 1 mL = 2 mμ = 0.3k = 500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

一辆以 15 m/s 行驶的 1900 kg 汽车撞上一辆静止的 1700 kg 汽车，两车卡在一起。碰撞中损失了多少动能 ΔK？

m₁ = 1900 kgv₁ = 15 m/sm₂ = 1700 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.动量与碰撞困难

一个 0.2 kg 的小球以 23 m/s 撞到墙上，并以 17 m/s 沿原路弹回。接触时间为 10 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.2 kgv_in = 23 m/sv_out = 17 m/sΔt = 10 ms

F_avg = N

13.刚体转动中等

质量为 11.5 kg、长为 0.5 m 的均匀细杆一端铰接，保持水平。从静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求释放瞬间的角加速度 α。

m = 11.5 kgL = 0.5 mg = 9.81 m/s²

α = rad/s²

14.刚体转动困难

一个人站在无摩擦的转盘上，每只手各拿一个 4.5 kg 的哑铃，距转轴 0.85 m。人和转盘单独对转轴的转动惯量为 1.5 kg·m²。他们以 45 rpm 转动，然后把哑铃收到距转轴 0.2 m 处。把哑铃看作质点。求新的转速 n₂，单位 rpm。

I₀ = 1.5 kg·m²m = 2 × 4.5 kgr₁ = 0.85 mr₂ = 0.2 mn₁ = 45 rpm

n₂ = rpm

15.齿轮与齿轮系中等

一台 3 kW、2900 rpm 的电动机驱动一个 4 头的蜗杆。蜗轮有 80 个齿，传动效率为 60%。求蜗轮轴上的输出转矩 T_w。

z = 4N_w = 80n = 2900 rpmP = 3 kWη = 60%

T_w = N·m

16.齿轮与齿轮系困难

一条开口皮带把一个以 1500 rpm 转动、直径 200 mm 的主动轮与一个 300 mm 的带轮相连；中心距为 600 mm。摩擦系数为 0.25，紧边张力不得超过 1000 N。求皮带在不打滑时能传递的最大功率 P，单位 kW（忽略离心效应）。

d₁ = 200 mmn₁ = 1500 rpmd₂ = 300 mmC = 600 mmμ = 0.25T₁ = 1000 N

P = kW

17.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 1.3 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 1.3 sg = 9.81 m/s²

L = m

18.弹簧与单摆困难

把一个 0.8 kg 的物体挂在一根 k = 430 N/m、处于原长的竖直弹簧下端，然后由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求弹簧的最大伸长量 x_max，以 cm 表示。

m = 0.8 kgk = 430 N/mg = 9.81 m/s²

x_max = cm

19.机械振动中等

一个 5 kg 的质量块由刚度为 50 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 200 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。

m = 5 kgk = 50 kN/mc = 200 N·s/m

ζ =

20.机械振动困难

一个 20 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 5 kN/m 和 k₂ = 12 kN/m。质量块保持水平。求弹簧系统的等效刚度 k_eq，以 kN/m 计。

m = 20 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 12 kN/m

k_eq = kN/m

3溶液

1.运动学

答案: s = 51.44 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 100/3.6 = 27.78 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 27.78²/(2·7.5) = 51.44 m

答案

s = 51.44 m

2.运动学

答案: d = 60.86 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(3.7 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 1269 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1269))/(2·4.905) = 3.523 s

深度

d = ½·9.81·3.523² = 60.86 m

答案

d = 60.86 m

3.牛顿定律

答案: a = 1.051 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 20° − 0.25·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.2349) = 1.051 m/s²

答案

a = 1.051 m/s²

4.牛顿定律

答案: d = 4.553 m

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 30° + 0.25·cos 30°) = 7.029 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 8²/(2·7.029) = 4.553 m

答案

d = 4.553 m

5.抛体运动

答案: y = 15.64 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

到达墙的时间

v_x = 38·cos 35° = 31.13 m/s

t = x/v_x = 28/31.13 = 0.8995 s

此时的高度

y = 21.8·0.8995 − ½·9.81·0.8995² = 15.64 m

答案

y = 15.64 m

球到达墙时仍在上升。

6.抛体运动

答案: v = 40.23 m/s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

v_x = 21·cos 25° = 19.03 m/s

v_y0 = 21·sin 25° = 8.875 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(8.875² + 2·9.81·60) = 35.44 m/s

落水速度

v = √(19.03² + 35.44²) = 40.23 m/s

答案

v = 40.23 m/s

用能量校核：v² = v₀² + 2gh。

7.圆周运动

答案: v_max = 22.59 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.8·9.81·65) = 22.59 m/s

答案

v_max = 22.59 m/s (81.31 km/h)

8.圆周运动

答案: T = 19.14 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 0.3·9.81 + 0.3·9²/1.5 = 2.943 + 16.2 = 19.14 N

答案

T = 19.14 N

9.功和能

答案: W_f = 95.58 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 49.05·0.866 = 42.48 N

F = μN = 0.25·42.48 = 10.62 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 10.62·9 = 95.58 J

答案

W_f = 95.58 J

10.功和能

答案: x = 8.859 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 4.905·(1 − 0.3·2) = 1.962 J

最大压缩量

½kx² = 1.962 → x = √(2·1.962/500) = 0.08859 m = 8.859 cm

答案

x = 8.859 cm

11.动量与碰撞

答案: ΔK = 100938 J

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1900·15/3600 = 7.917 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·1900·15² = 213750 J

K_after = ½·3600·7.917² = 112813 J

损失的能量

ΔK = 213750 − 112813 = 100938 J

答案

ΔK = 100938 J

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 800 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.2·(17 + 23) = 8 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 8/0.01 = 800 N

答案

F_avg = 800 N

13.刚体转动

答案: α = 29.43 rad/s²

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

对销钉取矩

在释放的瞬间 ω = 0，所以没有向心加速度，质心笔直向下加速。

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9.81/(2·0.5) = 29.43 rad/s²

答案

α = 29.43 rad/s²

14.刚体转动

答案: n₂ = 193.6 rpm

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

转动惯量

I₁ = 1.5 + 2·4.5·0.85² = 8.002 kg·m²

I₂ = 1.5 + 2·4.5·0.2² = 1.86 kg·m²

角动量守恒

n₂ = n₁·I₁/I₂ = 45·8.002/1.86 = 193.6 rpm

答案

n₂ = 193.6 rpm

动能增加了：多出来的能量来自人收哑铃时所做的功。

15.齿轮与齿轮系

答案: T_w = 118.5 N·m

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

蜗轮转速

n_w = n·z/N_w = 2900·4/80 = 145 rpm

输出扭矩

ω_w = 2π·145/60 = 15.18 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0.6·3000/15.18 = 118.5 N·m

答案

T_w = 118.5 N·m

16.齿轮与齿轮系

答案: P = 8.241 kW

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

包角

θ = 2.975 rad

松边张力

e^μθ = e^0.7437 = 2.104, T₂ = 1000/2.104 = 475.4 N

功率

P = (1000 − 475.4)·15.71 = 8.241 kW

答案

P = 8.241 kW

17.弹簧与单摆

答案: L = 0.4199 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(1.3/2π)² = 0.4199 m

答案

L = 0.4199 m

18.弹簧与单摆

答案: x_max = 3.65 cm

平衡位置和振幅

x₀ = m·g/k = 0.8·9.81/430 = 0.01825 m = A

最低点

x_max = 2A = 0.0365 m = 3.65 cm

答案

x_max = 3.65 cm

19.机械振动

答案: ζ = 0.2

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

临界阻尼

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(50000·5) = 1000 N·s/m

阻尼比

ζ = c/c_c = 200/1000 = 0.2

答案

ζ = 0.2

ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。

20.机械振动

答案: k_eq = 17 kN/m

等效刚度

并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k₁ + k₂。

k_eq = 5 + 12 = 17 kN/m

答案

k_eq = 17 kN/m

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