动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 120 km/h 行驶的汽车以 7 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 120 km/ha = −7 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

一枚模型火箭从静止竖直向上发射。其发动机使它获得 24 m/s² 的恒定向上加速度，持续 1.5 s，之后发动机停止，火箭做自由运动。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求火箭达到的最大高度 h_max。

a = 24 m/s²t₁ = 1.5 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 30 kg 的雪橇被一根与水平方向成 30° 向上的绳子以 160 N 的力拉着在平坦的雪地上移动。动摩擦因数为 0.4。取 g = 9.81 m/s²。求雪橇的加速度 a。

m = 30 kgF = 160 Nθ = 30°μ = 0.4g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 1 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 4.5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 1 kgm₂ = 4.5 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 16 m/s 抛出，必须落在 15 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 16 m/sR = 15 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.抛体运动困难

一个球从 25 m 高的悬崖顶部以 15 m/s、与水平方向成 65° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 15 m/sθ = 65°h = 25 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.圆周运动中等

在游乐场的转筒中，乘客背靠在半径为 2.9 m 的竖直圆筒壁上。圆筒转得足够快时，底板下降，靠摩擦力托住乘客。静摩擦因数为 0.8。取 g = 9.81 m/s²。求最小转速 n，以每分钟转数表示。

r = 2.9 mμ_s = 0.8g = 9.81 m/s²

n = rpm

8.圆周运动困难

一个 2 kg 的小球系在长 0.5 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 4.5 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 2 kgr = 0.5 mv = 4.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个 1 kg 的球挂在长 0.5 m 的轻绳上。把它拉向一侧，使绳与竖直方向成 60°，然后从静止释放。求球经过最低点时绳中的拉力 T。

m = 1 kgL = 0.5 mθ = 60°g = 9.81 m/s²

T = N

10.功和能困难

在 40° 斜坡底部有一根刚度为 3000 N/m 的弹簧，它顶着一个 0.5 kg 的物块被压缩 20 cm，然后释放。物块与斜坡之间的动摩擦因数为 0.3。物块从释放点沿斜坡向上滑行多远 d 后停下？（忽略弹簧推动的那一小段距离，即在整个距离 d 上都计入摩擦和重力。）

m = 0.5 kgk = 3000 N/mx = 20 cmθ = 40°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

d = m

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 10 m/s 运动的 2 kg 滑块与一个静止的 1 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 2 kgm₂ = 1 kgv₁ = 10 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

在一个十字路口，一辆以 19 m/s 向东行驶的 1600 kg 汽车与一辆以 17 m/s 向北行驶的 1300 kg 汽车相撞。两车卡在一起。求碰撞后瞬间残骸的方向 θ，以东偏北的角度表示。

m₁ = 1600 kgv₁ = 19 m/s (E)m₂ = 1300 kgv₂ = 17 m/s (N)

θ = °

13.刚体转动中等

质量为 19 kg、长为 1 m 的均匀细杆一端铰接，保持水平。从静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求释放瞬间的角加速度 α。

m = 19 kgL = 1 mg = 9.81 m/s²

α = rad/s²

14.刚体转动困难

一个薄圆环从静止开始，沿与水平面成 10° 的斜面无滑动地滚下。取 g = 9.81 m/s²。求它沿斜面滚过 3.5 m 后的速度 v。

θ = 10°s = 3.5 mI = m·r²g = 9.81 m/s²

v = m/s

15.齿轮与齿轮系中等

一台 3 kW 的电动机以 1450 rpm 运转，驱动一个齿数为 15 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 25 的大齿轮啮合。该齿轮副的效率为 97%。求电动机轴上的扭矩 T₁。

P = 3 kWn₁ = 1450 rpmN₁ = 15N₂ = 25η = 97%

T₁ = N·m

16.齿轮与齿轮系困难

一条开口皮带把一个以 720 rpm 转动、直径 200 mm 的主动轮与一个 400 mm 的带轮相连；中心距为 1200 mm。摩擦系数为 0.25，紧边张力不得超过 1000 N。求皮带在不打滑时能传递的最大功率 P，单位 kW（忽略离心效应）。

d₁ = 200 mmn₁ = 720 rpmd₂ = 400 mmC = 1200 mmμ = 0.25T₁ = 1000 N

P = kW

17.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 1.7 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 1.7 mg = 9.81 m/s²

T = s

18.弹簧与单摆困难

一个连在 k = 110 N/m 弹簧上的物体在无摩擦表面上以 8 cm 的振幅振动。求物体距平衡位置 6 cm 时弹簧中储存的能量 U。

k = 110 N/mA = 8 cmx = 6 cm

U = J

19.机械振动中等

一个 8 kg 的质量块由刚度为 40 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 570 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。

m = 8 kgk = 40 kN/mc = 570 N·s/m

ζ =

20.机械振动困难

一个 40 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 10 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 10 kN/m 和 k₂ = 20 kN/m 悬挂；杆保持水平。忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 40 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 20 kN/mk₃ = 10 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: s = 79.37 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 120/3.6 = 33.33 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 33.33²/(2·7) = 79.37 m

答案

s = 79.37 m

2.运动学

答案: h_max = 93.06 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

动力阶段

v₁ = 24·1.5 = 36 m/s

h₁ = ½·24·1.5² = 27 m

向上的自由飞行

在最高点速度为零。

Δh = v₁²/(2g) = 36²/(2·9.81) = 66.06 m

h_max = 27 + 66.06 = 93.06 m

答案

h_max = 93.06 m

3.牛顿定律

答案: a = 1.761 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

法向力

N = m·g − F·sin θ = 294.3 − 160·sin 30° = 214.3 N

水平方向的力

m·a = F·cos θ − μ·N = 138.6 − 85.72

a = 52.84/30 = 1.761 m/s²

答案

a = 1.761 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 8.829 N

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44.15 − 0.981)/5.5 = 7.848 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 1·7.848 + 0.981 = 8.829 N

答案

T = 8.829 N

5.抛体运动

答案: θ = 17.54 °

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·15/16² = 0.5748

相角

2θ = 35.09° → θ = 17.54°

答案

θ = 17.54°

另一个解为 90° − θ = 72.46°。

6.抛体运动

答案: H = 34.42 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

竖直方向的初速度

v_y = 15·sin 65° = 13.59 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 13.59²/(2·9.81) = 9.42 m

离地面的高度

H = 25 + 9.42 = 34.42 m

答案

H = 34.42 m

7.圆周运动

答案: n = 19.64 rpm

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

乘客受到的力

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

角速度

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.8·2.9)) = 2.056 rad/s

转速

n = ω·60/(2π) = 19.64 rpm

答案

n = 19.64 rpm

8.圆周运动

答案: T = 100.6 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 2·9.81 + 2·4.5²/0.5 = 19.62 + 81 = 100.6 N

答案

T = 100.6 N

9.功和能

答案: T = 19.62 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

最低点的速度

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·0.5·(1 − cos 60°) = 4.905 m²/s²

最低点的受力

m·g = 1·9.81 = 9.81 N

T = mg + mv²/L = 9.81 + 1·4.905/0.5 = 19.62 N

答案

T = 19.62 N

校核：T = mg(3 − 2cos θ) = 19.62 N。

10.功和能

答案: d = 14.02 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 20 cm = 0.2 m

½kx² = ½·3000·0.2² = 60 J

沿斜面的能量衡算

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 60/(4.905·(0.6428 + 0.3·0.766)) = 14.02 m

答案

d = 14.02 m

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = 3.333 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (2 − 1)/(2 + 1)·10 = 3.333 m/s

v′₂ = 2·2/(2 + 1)·10 = 13.33 m/s

答案

v′₁ = 3.333 m/s

12.动量与碰撞

答案: θ = 36.02 °

动量分量

p_x = 1600·19 = 30400 kg·m/s

p_y = 1300·17 = 22100 kg·m/s

方向

tan θ = p_y/p_x = 0.727 → θ = 36.02°

答案

θ = 36.02°

13.刚体转动

答案: α = 14.71 rad/s²

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

对销钉取矩

在释放的瞬间 ω = 0，所以没有向心加速度，质心笔直向下加速。

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9.81/(2·1) = 14.71 rad/s²

答案

α = 14.71 rad/s²

14.刚体转动

答案: v = 2.442 m/s

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

下降的高度

h = s·sin θ = 3.5·sin 10° = 0.6078 m

滚动时的能量平衡

无滑动滚动：ω = v/r，接触点处的摩擦力不做功。

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 1)

v = √(2·9.81·0.6078/2) = 2.442 m/s

答案

v = 2.442 m/s

15.齿轮与齿轮系

答案: T₁ = 19.76 N·m

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

电动机扭矩

ω₁ = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 3000/151.8 = 19.76 N·m

答案

T₁ = 19.76 N·m

16.齿轮与齿轮系

答案: P = 3.956 kW

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

包角

θ = 2.975 rad

松边张力

e^μθ = e^0.7437 = 2.104, T₂ = 1000/2.104 = 475.4 N

功率

P = (1000 − 475.4)·7.54 = 3.956 kW

答案

P = 3.956 kW

17.弹簧与单摆

答案: T = 2.616 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(1.7/9.81) = 2.616 s

答案

T = 2.616 s

18.弹簧与单摆

答案: U = 0.198 J

总能量

E = ½·k·A² = ½·110·0.08² = 0.352 J

x 处的弹簧能量

U = ½·k·x² = ½·110·0.06² = 0.198 J

答案

U = 0.198 J

19.机械振动

答案: ζ = 0.5038

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

临界阻尼

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(40000·8) = 1131 N·s/m

阻尼比

ζ = c/c_c = 570/1131 = 0.5038

答案

ζ = 0.5038

ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。

20.机械振动

答案: f_n = 2.179 Hz

等效刚度

只有 k₁ 和 k₂ 是并联的。这一对与 k₃ 串联，所以要按倒数组合。

k₁₂ = 10 + 20 = 30 kN/m

k_eq = 30·10/(30 + 10) = 7.5 kN/m

固有频率

ω_n = √(7500/40) = 13.69 rad/s

f_n = 13.69/(2π) = 2.179 Hz

答案

f_n = 2.179 Hz

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