动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一架飞机从静止开始，以 2.25 m/s² 沿跑道匀加速。求它滑行 1600 m 后的速度 v。

v₀ = 0a = 2.25 m/s²s = 1600 m

v = m/s

2.运动学困难

球 A 从 15 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 19 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。两球何时相遇？求 t。

H = 15 mv_0B = 19 m/sg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个箱子以 2.5 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 1.1 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 2.5 m/sd = 1.1 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 115 N 的水平力拉前面 12 kg 的物块；3 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求物块的加速度 a。

m₁ = 3 kgm₂ = 12 kgF = 115 Nμ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 40 m/s 抛出，必须落在 125 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 40 m/sR = 125 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.抛体运动困难

一个球从 15 m 高的悬崖顶上以高于水平面 60° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 32 m/sθ = 60°h = 15 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 95 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.4。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 95 mμ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个半径为 90 m 的弯道倾斜 10°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不向上、向外滑出的最高速度 v_max。

r = 90 mθ = 10°μ_s = 0.25g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 30° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.3。求它沿斜面滑行 15 m 后的速度 v。

θ = 30°μ = 0.3d = 15 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

一个 8 kg 的物块放在粗糙的水平桌面上（μ = 0.4）。一根轻绳从它出发，跨过桌边的光滑滑轮，连接一个悬挂的 4 kg 物块。系统由静止释放。求悬挂物块下降 1 m 后两物块的速度 v。

m₁ = 8 kgm₂ = 4 kgμ = 0.4d = 1 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一颗 20 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 5 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 20 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 20 gM = 5 kgh = 20 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.动量与碰撞困难

一颗 15 g 的子弹水平射入一个用长 1 m 的轻绳悬挂的 2.5 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 20°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 15 gM = 2.5 kgL = 1 mθ = 20°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.刚体转动中等

质量为 17 kg、长为 1.1 m 的均匀细杆一端铰接，保持水平。从静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求释放瞬间自由端的加速度 a_tip。

m = 17 kgL = 1.1 mg = 9.81 m/s²

a_tip = m/s²

14.刚体转动困难

一个薄圆环沿与水平面成 20° 的斜面无滑动地滚下。取 g = 9.81 m/s²。求防止它打滑所需的最小静摩擦因数 μ_s。

θ = 20°I = m·r²g = 9.81 m/s²

μ_s =

15.齿轮与齿轮系中等

一台 15 kW 的电动机以 1450 rpm 运转，驱动一个齿数为 32 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 80 的大齿轮啮合。该齿轮副的效率为 98%。求电动机轴上的扭矩 T₁。

P = 15 kWn₁ = 1450 rpmN₁ = 32N₂ = 80η = 98%

T₁ = N·m

16.齿轮与齿轮系困难

一条开口皮带把一个以 1450 rpm 转动、直径 200 mm 的主动轮与一个 300 mm 的带轮相连；中心距为 600 mm。摩擦系数为 0.3，紧边张力不得超过 1500 N。求皮带在不打滑时能传递的最大功率 P，单位 kW（忽略离心效应）。

d₁ = 200 mmn₁ = 1450 rpmd₂ = 300 mmC = 600 mmμ = 0.3T₁ = 1500 N

P = kW

17.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 180 N/m 弹簧上的 2.9 kg 物体在无摩擦表面上以 5 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 1 cm 时的速度 v。

m = 2.9 kgk = 180 N/mA = 5 cmx = 1 cm

v = m/s

18.弹簧与单摆困难

把一个 1.9 kg 的物体挂在一根 k = 150 N/m、处于原长的竖直弹簧下端，然后由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求物体的最大速度 v_max。

m = 1.9 kgk = 150 N/mg = 9.81 m/s²

v_max = m/s

19.机械振动中等

在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 30 mm 之后 3 个周期出现峰值 17 mm。求阻尼比 ζ。

x₀ = 30 mmx₃ = 17 mmn = 3

ζ =

20.机械振动困难

一个 25 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 40 kN/m，下弹簧 k₂ = 80 kN/m。忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 25 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 80 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: v = 84.85 m/s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

经过该距离后的速度

v = √(2·a·s) = √(2·2.25·1600) = 84.85 m/s

答案

v = 84.85 m/s

(305.5 km/h)

2.运动学

答案: t = 0.7895 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

15 − ½g·t² = 19·t − ½g·t² → t = 15/19 = 0.7895 s

答案

t = 0.7895 s

3.牛顿定律

答案: μ = 0.2896

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

减速度

a = v₀²/(2d) = 2.5²/(2·1.1) = 2.841 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 2.841/9.81 = 0.2896

答案

μ = 0.2896

4.牛顿定律

答案: a = 5.705 m/s²

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (115 − 29.43)/15 = 5.705 m/s²

答案

a = 5.705 m/s²

5.抛体运动

答案: θ = 25.02 °

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·125/40² = 0.7664

相角

2θ = 50.03° → θ = 25.02°

答案

θ = 25.02°

另一个解为 90° − θ = 64.98°。

6.抛体运动

答案: x = 98.36 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 60° = 16 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 60° = 27.71 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 15 + 27.71·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (27.71 + √(768 + 294.3))/9.81 = 6.147 s

水平距离

x = v_x·t = 16·6.147 = 98.36 m

答案

x = 98.36 m

7.圆周运动

答案: v_max = 19.31 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.4·9.81·95) = 19.31 m/s

答案

v_max = 19.31 m/s (69.51 km/h)

8.圆周运动

答案: v_max = 19.84 m/s

力的平衡

摩擦力沿斜面向下。

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(90·9.81·0.4199/0.9414) = 19.84 m/s

答案

v_max = 19.84 m/s

(71.44 km/h)

9.功和能

答案: v = 8.408 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·15·(0.5 − 0.3·0.866)) = 8.408 m/s

答案

v = 8.408 m/s

10.功和能

答案: v = 1.144 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

释放和损失的能量

m₂g·d = 39.24·1 = 39.24 J

μ·m₁g·d = 0.4·78.48·1 = 31.39 J

两个物块的动能

½(m₁ + m₂)v² = 7.848 → v = √(2·7.848/12) = 1.144 m/s

答案

v = 1.144 m/s

11.动量与碰撞

答案: v = 497.2 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.2) = 1.981 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.02 + 5)·1.981/0.02 = 497.2 m/s

答案

v = 497.2 m/s

12.动量与碰撞

答案: v = 182.4 m/s

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 1·(1 − cos 20°) = 0.06031 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.06031) = 1.088 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 2.515·1.088/0.015 = 182.4 m/s

答案

v = 182.4 m/s

13.刚体转动

答案: a_tip = 14.71 m/s²

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

对销钉取矩

在释放的瞬间 ω = 0，所以没有向心加速度，质心笔直向下加速。

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9.81/(2·1.1) = 13.38 rad/s²

自由端的加速度

a_tip = α·L = 13.38·1.1 = 14.71 m/s²

答案

a_tip = 14.71 m/s²

对任何长度，a_tip = 1.5·g：自由端下落得比扔下的石头还快。

14.刚体转动

答案: μ_s = 0.182

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

运动方程

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 1·m·r²·(a/r) → f = 1·m·a

加速度

a = g·sin θ/(1 + c) = 9.81·sin 20°/2 = 1.678 m/s²

所需的摩擦

f = c·m·a ≤ μ·m·g·cos θ → μ ≥ c·tan θ/(1 + c)

μ_s = 1·tan 20°/2 = 0.182

答案

μ_s = 0.182

15.齿轮与齿轮系

答案: T₁ = 98.79 N·m

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

电动机扭矩

ω₁ = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 15000/151.8 = 98.79 N·m

答案

T₁ = 98.79 N·m

16.齿轮与齿轮系

答案: P = 13.45 kW

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

包角

θ = 2.975 rad

松边张力

e^μθ = e^0.8924 = 2.441, T₂ = 1500/2.441 = 614.5 N

功率

P = (1500 − 614.5)·15.18 = 13.45 kW

答案

P = 13.45 kW

17.弹簧与单摆

答案: v = 0.386 m/s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(180/2.9) = 7.878 rad/s

x 处的速度

v = ω·√(A² − x²) = 7.878·√(0.05² − 0.01²) = 0.386 m/s

答案

v = 0.386 m/s

18.弹簧与单摆

答案: v_max = 1.104 m/s

平衡位置和振幅

x₀ = m·g/k = 1.9·9.81/150 = 0.1243 m = A

最大速度

速度在平衡位置处最大。

ω = √(150/1.9) = 8.885 rad/s

v_max = A·ω = 0.1243·8.885 = 1.104 m/s

答案

v_max = 1.104 m/s

19.机械振动

答案: ζ = 0.03012

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

对数衰减率

δ = (1/3)·ln(30/17) = 0.1893

阻尼比

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.1893/√(39.48 + 0.03585) = 0.03012

答案

ζ = 0.03012

20.机械振动

答案: f_n = 5.198 Hz

等效刚度

串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

1/k_eq = 1/40 + 1/80 → k_eq = 40·80/(40 + 80) = 26.67 kN/m

固有频率

ω_n = √(26667/25) = 32.66 rad/s

f_n = 32.66/(2π) = 5.198 Hz

答案

f_n = 5.198 Hz

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