动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一位以 120 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 0.9 s，之后汽车以 6 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 120 km/ht_r = 0.9 sa = −6 m/s²

d = m

2.运动学困难

一枚模型火箭从静止竖直向上发射。其发动机使它获得 26 m/s² 的恒定向上加速度，持续 1 s，之后发动机停止，火箭做自由运动。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求火箭达到的最大高度 h_max。

a = 26 m/s²t₁ = 1 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 15 kg 的物块沿倾角为 35° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 15 kgθ = 35°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

倾角为 30° 的斜面上有一个 7 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 6.5 kg 物体相连。悬挂物向下运动。物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 7 kgm₂ = 6.5 kgθ = 30°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 30° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 28 m/sθ = 30°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从 15 m 高的悬崖顶部以 24 m/s、与水平方向成 20° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它落地时与水平方向向下成多大角度 α？

v₀ = 24 m/sθ = 20°h = 15 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 30 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.4。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 30 mμ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一辆 0.5 kg 的小车在无摩擦轨道上从 31.2 m 高处由静止释放，驶过一个半径为 8 m 的竖直圆环。取 g = 9.81 m/s²。求小车在圆环顶部时轨道对它的法向力 N_top。

m = 0.5 kgh = 31.2 mR = 8 mg = 9.81 m/s²

N_top = N

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 35° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.3。求它沿斜面滑行 18 m 后的速度 v。

θ = 35°μ = 0.3d = 18 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

一个 2 kg 的物块从光滑坡道上 4.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 5 m 的粗糙水平段（μ = 0.2），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 5000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 2 kgh = 4.5 mL = 5 mμ = 0.2k = 5000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 4 m/s 运动的 3.5 kg 滑块与一个静止的 1 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 3.5 kgm₂ = 1 kgv₁ = 4 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.5 kg 的小球以 14 m/s 撞到墙上，并以 16 m/s 沿原路弹回。接触时间为 50 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.5 kgv_in = 14 m/sv_out = 16 m/sΔt = 50 ms

J = N·s

13.刚体转动中等

一台电动机用 35 s 把转动惯量为 10.5 kg·m² 的飞轮从静止加速到 2100 rpm。忽略损耗，求它输出的平均功率 P_avg，单位 kW。

I = 10.5 kg·m²n = 2100 rpmt = 35 s

P_avg = kW

14.刚体转动困难

一个人站在无摩擦的转盘上，每只手各拿一个 5 kg 的哑铃，距转轴 0.65 m。人和转盘单独对转轴的转动惯量为 4.5 kg·m²。他们以 20 rpm 转动，然后把哑铃收到距转轴 0.3 m 处。把哑铃看作质点。求新的转速 n₂，单位 rpm。

I₀ = 4.5 kg·m²m = 2 × 5 kgr₁ = 0.65 mr₂ = 0.3 mn₁ = 20 rpm

n₂ = rpm

15.齿轮与齿轮系中等

两根平行轴相距 300 mm。须用一对模数为 4 mm、减速比为 4 : 1 的直齿圆柱齿轮把它们连接起来。大齿轮须有多少个齿 N₂？

a = 300 mmm = 4 mmi = 4

N₂ =

16.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（15 齿）以 1450 rpm 转动，驱动齿轮 B（24 齿）。齿轮 C（16 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（30 齿）。求输出转速 n_out。

n_in = 1450 rpmA = 15B = 24C = 16D = 30

n_out = rpm

17.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 180 N/m 弹簧上的 0.2 kg 物体被沿正方向拉开 14 cm，在 t = 0 时由静止释放。求 t = 0.75 s 时它相对于平衡位置的位移 x（带符号）。

m = 0.2 kgk = 180 N/mA = 14 cmt = 0.75 s

x = cm

18.弹簧与单摆困难

一个 3.1 kg 的物体连在 k = 280 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 2 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 3.1 kgk = 280 N/mA = 2 cm

v_max = m/s

19.机械振动中等

一个 20 kg 的质量块挂在刚度为 80 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.4。求其自由振动的有阻尼固有频率 f_d，以 Hz 计。

m = 20 kgk = 80 kN/mζ = 0.4

f_d = Hz

20.机械振动困难

一个 25 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 20 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 100 kN/m 和 k₂ = 12 kN/m 悬挂；杆保持水平。忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 25 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 12 kN/mk₃ = 20 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: d = 122.6 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 120/3.6 = 33.33 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 33.33·0.9 = 30 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 33.33²/(2·6) = 92.59 m

合计

d = 30 + 92.59 = 122.6 m

答案

d = 122.6 m

2.运动学

答案: h_max = 47.45 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

动力阶段

v₁ = 26·1 = 26 m/s

h₁ = ½·26·1² = 13 m

向上的自由飞行

在最高点速度为零。

Δh = v₁²/(2g) = 26²/(2·9.81) = 34.45 m

h_max = 13 + 34.45 = 47.45 m

答案

h_max = 47.45 m

3.牛顿定律

答案: a = 4.02 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 35° − 0.2·cos 35°) = 9.81·(0.5736 − 0.1638) = 4.02 m/s²

答案

a = 4.02 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 1.299 m/s²

沿绳子方向的力

m₂·g = 63.77 N

m₁·g·sin θ = 34.33 N

μ·m₁·g·cos θ = 11.89 N

系统的加速度

a = (63.77 − 34.33 − 11.89)/13.5 = 1.299 m/s²

答案

a = 1.299 m/s²

5.抛体运动

答案: t = 2.854 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 28·cos 30° = 24.25 m/s

v_y = v₀·sin θ = 28·sin 30° = 14 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·14/9.81 = 2.854 s

答案

t = 2.854 s

6.抛体运动

答案: α = 40.14 °

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

v_x = 24·cos 20° = 22.55 m/s

v_y0 = 24·sin 20° = 8.208 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(8.208² + 2·9.81·15) = 19.02 m/s

落地角度

tan α = v_y/v_x = 19.02/22.55 → α = 40.14°

答案

α = 40.14°

7.圆周运动

答案: v_max = 10.85 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.4·9.81·30) = 10.85 m/s

答案

v_max = 10.85 m/s (39.06 km/h)

8.圆周运动

答案: N_top = 13.73 N

由能量守恒求速度

v² = 2·9.81·(31.2 − 2·8) = 298.2 m²/s²

受力

指向圆心为正。

N = m·v²/R − m·g = 0.5·298.2/8 − 4.905 = 13.73 N

答案

N_top = 13.73 N

9.功和能

答案: v = 10.76 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·18·(0.5736 − 0.3·0.8192)) = 10.76 m/s

答案

v = 10.76 m/s

10.功和能

答案: x = 16.57 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 19.62·(4.5 − 0.2·5) = 68.67 J

最大压缩量

½kx² = 68.67 → x = √(2·68.67/5000) = 0.1657 m = 16.57 cm

答案

x = 16.57 cm

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = 2.222 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (3.5 − 1)/(3.5 + 1)·4 = 2.222 m/s

v′₂ = 2·3.5/(3.5 + 1)·4 = 6.222 m/s

答案

v′₁ = 2.222 m/s

12.动量与碰撞

答案: J = 15 N·s

动量的变化量

J = m·Δv = 0.5·(16 + 14) = 15 N·s

答案

J = 15 N·s

13.刚体转动

答案: P_avg = 7.254 kW

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

角速度

ω = 2π·2100/60 = 219.9 rad/s

能量

E = ½·I·ω² = ½·10.5·219.9² = 253896 J

平均功率

P_avg = E/t = 253896/35 = 7254 W = 7.254 kW

答案

P_avg = 7.254 kW

14.刚体转动

答案: n₂ = 32.31 rpm

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

转动惯量

I₁ = 4.5 + 2·5·0.65² = 8.725 kg·m²

I₂ = 4.5 + 2·5·0.3² = 5.4 kg·m²

角动量守恒

n₂ = n₁·I₁/I₂ = 20·8.725/5.4 = 32.31 rpm

答案

n₂ = 32.31 rpm

动能增加了：多出来的能量来自人收哑铃时所做的功。

15.齿轮与齿轮系

答案: N₂ = 120

齿轮几何：模数 m 决定齿的大小。齿数为 N 的齿轮分度圆直径为 d = m·N，相互啮合的两个齿轮模数相同，其中心距为 a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2。节线速度为 v = π·d·n/60，切向齿力由转矩求得：F_t = 2T/d。

总齿数

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·300/4 = 150

按传动比分配

N₁ = 150/(1 + 4) = 30

N₂ = 4·30 = 120

答案

N₂ = 120

16.齿轮与齿轮系

答案: n_out = 483.3 rpm

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

第一级

n_B = 1450·15/24 = 906.3 rpm = n_C

第二级

n_out = 906.3·16/30 = 483.3 rpm

答案

n_out = 483.3 rpm

总传动比 = 3 : 1

17.弹簧与单摆

答案: x = −12.23 cm

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(180/0.2) = 30 rad/s

ω·t = 30·0.75 = 22.5 rad

位移

x = A·cos(ω·t) = 14·cos(22.5) = −12.23 cm

答案

x = −12.23 cm

18.弹簧与单摆

答案: v_max = 0.1901 m/s

角频率

ω = √(280/3.1) = 9.504 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.02·9.504 = 0.1901 m/s

答案

v_max = 0.1901 m/s

19.机械振动

答案: f_d = 9.225 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

无阻尼固有频率

ω_n = √(80000/20) = 63.25 rad/s

f_n = 63.25/(2π) = 10.07 Hz

有阻尼固有频率

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 10.07·√(1 − 0.4²) = 9.225 Hz

答案

f_d = 9.225 Hz

20.机械振动

答案: f_n = 4.147 Hz

等效刚度

只有 k₁ 和 k₂ 是并联的。这一对与 k₃ 串联，所以要按倒数组合。

k₁₂ = 100 + 12 = 112 kN/m

k_eq = 112·20/(112 + 20) = 16.97 kN/m

固有频率

ω_n = √(16970/25) = 26.05 rad/s

f_n = 26.05/(2π) = 4.147 Hz

答案

f_n = 4.147 Hz

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