动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 108 km/h 行驶的汽车以 6 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 108 km/ha = −6 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

从离地面 25 m 高的屋顶边缘以 19 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求小球离地面的最大高度 h_max。

v₀ = 19 m/sh₀ = 25 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 3 kg 的物块沿倾角为 45° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 3 kgθ = 45°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 10 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 4.5 kg 重物相连。桌面光滑。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 10 kgm₂ = 4.5 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 55° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 10 m/sθ = 55°g = 9.81 m/s²

x = m

6.抛体运动困难

一个球从 10 m 高的悬崖顶部以 22 m/s、与水平方向成 25° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它落地时与水平方向向下成多大角度 α？

v₀ = 22 m/sθ = 25°h = 10 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 140 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.6。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 140 mμ_s = 0.6g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个小球系在长 0.5 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。取 g = 9.81 m/s²。在最高点处，速度至少为多少 v_min 才能使绳子恰好保持绷紧？

r = 0.5 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一个 2.5 kg 的物块沿倾角 15° 的斜面下滑 3 m，动摩擦因数为 0.1。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 2.5 kgθ = 15°μ = 0.1d = 3 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 10 kg 的物块从光滑坡道上 2.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 2 m 的粗糙水平段（μ = 0.15），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1500 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 10 kgh = 2.5 mL = 2 mμ = 0.15k = 1500 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一颗 10 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 2.5 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 20 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 10 gM = 2.5 kgh = 20 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.动量与碰撞困难

一辆 1600 kg 的汽车撞上一辆停放的 800 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 22.5 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.75。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1600 kgm₂ = 800 kgd = 22.5 mμ = 0.75g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.刚体转动中等

质量为 10 kg、长为 0.6 m 的均匀细杆一端铰接，保持水平。从静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求释放瞬间自由端的加速度 a_tip。

m = 10 kgL = 0.6 mg = 9.81 m/s²

a_tip = m/s²

14.刚体转动困难

一个质量为 17.5 kg 的实心球以 5 m/s 的速度无滑动地滚动。求它的总动能 E_k。

m = 17.5 kgv = 5 m/sI = (2/5)·m·r²

E_k = J

15.齿轮与齿轮系中等

两根平行轴相距 180 mm。须用一对模数为 5 mm、减速比为 3.5 : 1 的直齿圆柱齿轮把它们连接起来。小齿轮须有多少个齿 N₁？

a = 180 mmm = 5 mmi = 3.5

N₁ =

16.齿轮与齿轮系困难

在一个行星齿轮系中，太阳轮有 24 个齿，每个行星轮有 15 个齿。齿圈固定，太阳轮以 1200 rpm 驱动。求行星架的转速 n_c。

N_s = 24N_p = 15n_s = 1200 rpm

n_c = rpm

17.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 2 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 2 sg = 9.81 m/s²

L = m

18.弹簧与单摆困难

一个连在 k = 190 N/m 弹簧上的物体在无摩擦表面上以 18 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 6 cm 时的动能 K。

k = 190 N/mA = 18 cmx = 6 cm

K = J

19.机械振动中等

在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 20 mm 之后 4 个周期出现峰值 5.7 mm。求阻尼比 ζ。

x₀ = 20 mmx₄ = 5.7 mmn = 4

ζ =

20.机械振动困难

一个 25 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 50 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 10 kN/m 和 k₂ = 10 kN/m 悬挂；杆保持水平。忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 25 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 10 kN/mk₃ = 50 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: t = 5 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 108/3.6 = 30 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 30/6 = 5 s

答案

t = 5 s

2.运动学

答案: h_max = 43.4 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 19²/(2·9.81) = 18.4 m

离地面的高度

h_max = 25 + 18.4 = 43.4 m

答案

h_max = 43.4 m

3.牛顿定律

答案: a = 4.856 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 45° − 0.3·cos 45°) = 9.81·(0.7071 − 0.2121) = 4.856 m/s²

答案

a = 4.856 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 3.044 m/s²

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44.15 − 0)/14.5 = 3.044 m/s²

答案

a = 3.044 m/s²

5.抛体运动

答案: x = 9.579 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 10·cos 55° = 5.736 m/s

v_y = v₀·sin θ = 10·sin 55° = 8.192 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·8.192/9.81 = 1.67 s

水平距离

x = v_x·t = 5.736·1.67 = 9.579 m

答案

x = 9.579 m

6.抛体运动

答案: α = 40.14 °

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

v_x = 22·cos 25° = 19.94 m/s

v_y0 = 22·sin 25° = 9.298 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(9.298² + 2·9.81·10) = 16.81 m/s

落地角度

tan α = v_y/v_x = 16.81/19.94 → α = 40.14°

答案

α = 40.14°

7.圆周运动

答案: v_max = 28.71 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.6·9.81·140) = 28.71 m/s

答案

v_max = 28.71 m/s (103.3 km/h)

8.圆周运动

答案: v_min = 2.215 m/s

最高点张力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·0.5) = 2.215 m/s

答案

v_min = 2.215 m/s

9.功和能

答案: W_f = 7.107 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 24.53·0.9659 = 23.69 N

F = μN = 0.1·23.69 = 2.369 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 2.369·3 = 7.107 J

答案

W_f = 7.107 J

10.功和能

答案: v = 6.57 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 98.1·(2.5 − 0.15·2) = 215.8 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·2.2) = 6.57 m/s

答案

v = 6.57 m/s

11.动量与碰撞

答案: v = 497.2 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.2) = 1.981 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.01 + 2.5)·1.981/0.01 = 497.2 m/s

答案

v = 497.2 m/s

12.动量与碰撞

答案: v₁ = 27.29 m/s

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.75·9.81·22.5) = 18.2 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2400·18.2/1600 = 27.29 m/s

答案

v₁ = 27.29 m/s

(98.26 km/h)

13.刚体转动

答案: a_tip = 14.71 m/s²

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

对销钉取矩

在释放的瞬间 ω = 0，所以没有向心加速度，质心笔直向下加速。

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9.81/(2·0.6) = 24.53 rad/s²

自由端的加速度

a_tip = α·L = 24.53·0.6 = 14.71 m/s²

答案

a_tip = 14.71 m/s²

对任何长度，a_tip = 1.5·g：自由端下落得比扔下的石头还快。

14.刚体转动

答案: E_k = 306.3 J

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

平动部分和转动部分

E_trans = ½·m·v² = ½·17.5·5² = 218.8 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0.4·m·r²·(v/r)² = 0.4·218.8 = 87.5 J

合计

E_k = 218.8 + 87.5 = 306.3 J

答案

E_k = 306.3 J

15.齿轮与齿轮系

答案: N₁ = 16

齿轮几何：模数 m 决定齿的大小。齿数为 N 的齿轮分度圆直径为 d = m·N，相互啮合的两个齿轮模数相同，其中心距为 a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2。节线速度为 v = π·d·n/60，切向齿力由转矩求得：F_t = 2T/d。

总齿数

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·180/5 = 72

按传动比分配

N₁ = 72/(1 + 3.5) = 16

答案

N₁ = 16

16.齿轮与齿轮系

答案: n_c = 369.2 rpm

行星齿轮系：太阳轮、齿圈和行星架的转速由威利斯方程 (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s 联系起来：从行星架上看，该轮系是以行星轮为惰轮的普通轮系。固定其中一个构件，轮系就成为一个单一传动比的减速器。

齿圈齿数

N_r = N_s + 2·N_p = 24 + 2·15 = 54

齿圈固定时的威利斯方程

令 n_r = 0，求行星架的转速。

(1200 − n_c)/(0 − n_c) = −54/24

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 1200·24/78 = 369.2 rpm

答案

n_c = 369.2 rpm

行星架与太阳轮转向相同。

17.弹簧与单摆

答案: L = 0.994 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(2/2π)² = 0.994 m

答案

L = 0.994 m

18.弹簧与单摆

答案: K = 2.736 J

总能量

E = ½·k·A² = ½·190·0.18² = 3.078 J

x 处的弹簧能量

U = ½·k·x² = ½·190·0.06² = 0.342 J

动能

K = 3.078 − 0.342 = 2.736 J

答案

K = 2.736 J

19.机械振动

答案: ζ = 0.04988

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

对数衰减率

δ = (1/4)·ln(20/5.7) = 0.3138

阻尼比

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.3138/√(39.48 + 0.09848) = 0.04988

答案

ζ = 0.04988

20.机械振动

答案: f_n = 3.805 Hz

等效刚度

只有 k₁ 和 k₂ 是并联的。这一对与 k₃ 串联，所以要按倒数组合。

k₁₂ = 10 + 10 = 20 kN/m

k_eq = 20·50/(20 + 50) = 14.29 kN/m

固有频率

ω_n = √(14286/25) = 23.9 rad/s

f_n = 23.9/(2π) = 3.805 Hz

答案

f_n = 3.805 Hz

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