动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 108 km/h 行驶的汽车以 4.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 108 km/ha = −4.5 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

一块石头由静止释放落入井中。释放后 2.6 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

t_total = 2.6 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.牛顿定律中等

一个 30 kg 的箱子被一个平行于斜面的力沿与水平方向成 15° 的斜面匀速向上推。动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求推力 F。

m = 30 kgθ = 15°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

F = N

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 25 N 的水平力拉前面 7 kg 的物块；12 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求物块的加速度 a。

m₁ = 12 kgm₂ = 7 kgF = 25 Nμ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 25° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 10 m/sθ = 25°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从 60 m 高的悬崖顶上以高于水平面 35° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 16 m/sθ = 35°h = 60 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆 1500 kg 的汽车以 6 m/s 驶过路面上的一个凸起的顶部。凸起的顶部是半径为 55 m 的圆弧。取 g = 9.81 m/s²。求顶部路面对汽车的法向力 N。

m = 1500 kgv = 6 m/sr = 55 mg = 9.81 m/s²

N = N

8.圆周运动困难

一个小球系在长 1.3 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。取 g = 9.81 m/s²。在最高点处，速度至少为多少 v_min 才能使绳子恰好保持绷紧？

r = 1.3 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 25° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.15。求它沿斜面滑行 3 m 后的速度 v。

θ = 25°μ = 0.15d = 3 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

一个 5 kg 的物块从光滑坡道上 5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 1 m 的粗糙水平段（μ = 0.3），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 2000 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 5 kgh = 5 mL = 1 mμ = 0.3k = 2000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一个以 38 m/s 水平运动的 18 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。3 kg 的碎片以 81 m/s 继续向前运动。求 15 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 18 kgu = 38 m/sm₁ = 3 kgv′₁ = 81 m/sm₂ = 15 kg

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一辆 1300 kg 的汽车撞上一辆停放的 1500 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 7.5 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.8。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1300 kgm₂ = 1500 kgd = 7.5 mμ = 0.8g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.刚体转动中等

质量为 20 kg、长为 2 m 的均匀细杆一端铰接，保持水平。从静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求释放瞬间自由端的加速度 a_tip。

m = 20 kgL = 2 mg = 9.81 m/s²

a_tip = m/s²

14.刚体转动困难

一个质量为 11.5 kg 的空心球以 8.5 m/s 的速度无滑动地滚动。求它的转动动能 E_rot。

m = 11.5 kgv = 8.5 m/sI = (2/3)·m·r²

E_rot = J

15.齿轮与齿轮系中等

一台 5.5 kW、转速 1450 rpm 的电动机驱动一个齿数为 24、模数为 3 mm 的小齿轮。求小齿轮齿上的切向力 F_t。

P = 5.5 kWn = 1450 rpmN₁ = 24m = 3 mm

F_t = N

16.齿轮与齿轮系困难

一台 1.5 kW、1440 rpm 的电动机驱动齿轮 A（18 齿），A 与齿轮 B（48 齿）啮合。与 B 同轴的齿轮 C（50 齿）驱动输出轴上的齿轮 D（72 齿）。每对齿轮啮合的效率为 96%。求输出转矩 T_out。

P = 1.5 kWn_in = 1440 rpmA = 18B = 48C = 50D = 72η_mesh = 96%

T_out = N·m

17.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 420 N/m 弹簧上的 0.6 kg 物体在无摩擦表面上以 5 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 4 cm 时的速度 v。

m = 0.6 kgk = 420 N/mA = 5 cmx = 4 cm

v = m/s

18.弹簧与单摆困难

一个 1.8 kg 的物体连在 k = 170 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 2 cm 后释放。求它的最大加速度 a_max。

m = 1.8 kgk = 170 N/mA = 2 cm

a_max = m/s²

19.机械振动中等

一个 8 kg 的质量块由刚度为 50 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 320 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。

m = 8 kgk = 50 kN/mc = 320 N·s/m

ζ =

20.机械振动困难

一个 100 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 80 kN/m，下弹簧 k₂ = 30 kN/m。求弹簧系统的等效刚度 k_eq，以 kN/m 计。

m = 100 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 30 kN/m

k_eq = kN/m

3溶液

1.运动学

答案: t = 6.667 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 108/3.6 = 30 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 30/4.5 = 6.667 s

答案

t = 6.667 s

2.运动学

答案: d = 30.9 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(2.6 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 891.8 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·891.8))/(2·4.905) = 2.51 s

深度

d = ½·9.81·2.51² = 30.9 m

答案

d = 30.9 m

3.牛顿定律

答案: F = 118.8 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

匀速：各力平衡。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

推力

F = 76.17 + 42.64 = 118.8 N

答案

F = 118.8 N

4.牛顿定律

答案: a = 0.3348 m/s²

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (25 − 18.64)/19 = 0.3348 m/s²

答案

a = 0.3348 m/s²

5.抛体运动

答案: t = 0.8616 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 10·cos 25° = 9.063 m/s

v_y = v₀·sin θ = 10·sin 25° = 4.226 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·4.226/9.81 = 0.8616 s

答案

t = 0.8616 s

6.抛体运动

答案: x = 59.71 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 35° = 13.11 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 35° = 9.177 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 60 + 9.177·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (9.177 + √(84.22 + 1177))/9.81 = 4.556 s

水平距离

x = v_x·t = 13.11·4.556 = 59.71 m

答案

x = 59.71 m

7.圆周运动

答案: N = 13733 N

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

顶点的受力

指向圆心（向下）为正。

m·g − N = m·v²/r

N = 1500·9.81 − 1500·6²/55 = 14715 − 981.8 = 13733 N

答案

N = 13733 N

汽车感觉变轻了：路面向上的支持力小于其重量。

8.圆周运动

答案: v_min = 3.571 m/s

最高点张力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·1.3) = 3.571 m/s

答案

v_min = 3.571 m/s

9.功和能

答案: v = 4.108 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·3·(0.4226 − 0.15·0.9063)) = 4.108 m/s

答案

v = 4.108 m/s

10.功和能

答案: v = 9.603 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 49.05·(5 − 0.3·1) = 230.5 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·4.7) = 9.603 m/s

答案

v = 9.603 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 29.4 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

碰撞前的动量

p = M·u = 18·38 = 684 kg·m/s

碰撞后的动量

684 = 3·81 + 15·v′₂

v′₂ = (684 − 243)/15 = 29.4 m/s

答案

v′₂ = 29.4 m/s

12.动量与碰撞

答案: v₁ = 23.37 m/s

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.8·9.81·7.5) = 10.85 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2800·10.85/1300 = 23.37 m/s

答案

v₁ = 23.37 m/s

(84.13 km/h)

13.刚体转动

答案: a_tip = 14.71 m/s²

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

对销钉取矩

在释放的瞬间 ω = 0，所以没有向心加速度，质心笔直向下加速。

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9.81/(2·2) = 7.357 rad/s²

自由端的加速度

a_tip = α·L = 7.357·2 = 14.71 m/s²

答案

a_tip = 14.71 m/s²

对任何长度，a_tip = 1.5·g：自由端下落得比扔下的石头还快。

14.刚体转动

答案: E_rot = 277 J

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

平动部分和转动部分

E_trans = ½·m·v² = ½·11.5·8.5² = 415.4 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0.6667·m·r²·(v/r)² = 0.6667·415.4 = 277 J

答案

E_rot = 277 J

15.齿轮与齿轮系

答案: F_t = 1006 N

齿轮几何：模数 m 决定齿的大小。齿数为 N 的齿轮分度圆直径为 d = m·N，相互啮合的两个齿轮模数相同，其中心距为 a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2。节线速度为 v = π·d·n/60，切向齿力由转矩求得：F_t = 2T/d。

小齿轮上的转矩

ω = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s

T = P/ω = 5500/151.8 = 36.22 N·m

分度圆直径

d = m·N = 3·24 = 72 mm

切向力

F_t = 2T/d = 2·36.22/0.072 = 1006 N

答案

F_t = 1006 N

16.齿轮与齿轮系

答案: T_out = 35.2 N·m

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

输出转速

n_out = 1440·(18/48)·(50/72) = 375 rpm

ω_out = 2π·375/60 = 39.27 rad/s

输出功率和转矩

P_out = 1500·0.96² = 1382 W

T_out = P_out/ω_out = 1382/39.27 = 35.2 N·m

答案

T_out = 35.2 N·m

17.弹簧与单摆

答案: v = 0.7937 m/s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(420/0.6) = 26.46 rad/s

x 处的速度

v = ω·√(A² − x²) = 26.46·√(0.05² − 0.04²) = 0.7937 m/s

答案

v = 0.7937 m/s

18.弹簧与单摆

答案: a_max = 1.889 m/s²

角频率

ω = √(170/1.8) = 9.718 rad/s

最大加速度

a_max = A·ω² = 0.02·9.718² = 1.889 m/s²

答案

a_max = 1.889 m/s²

19.机械振动

答案: ζ = 0.253

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

临界阻尼

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(50000·8) = 1265 N·s/m

阻尼比

ζ = c/c_c = 320/1265 = 0.253

答案

ζ = 0.253

ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。

20.机械振动

答案: k_eq = 21.82 kN/m

等效刚度

串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

1/k_eq = 1/80 + 1/30 → k_eq = 80·30/(80 + 30) = 21.82 kN/m

答案

k_eq = 21.82 kN/m

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