动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 72 km/h 行驶的汽车以 8 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 72 km/ha = −8 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

一枚模型火箭从静止竖直向上发射。其发动机使它获得 34 m/s² 的恒定向上加速度，持续 1.5 s，之后发动机停止，火箭做自由运动。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。发射后多长时间它落到地面？求 t。

a = 34 m/s²t₁ = 1.5 sg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 18 kg 的物块沿倾角为 30° 的光滑斜面下滑。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 18 kgθ = 30°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 4.5 m/s 的速度开始沿 30° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 4.5 m/sθ = 30°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 45° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 26 m/sθ = 45°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从 10 m 高的悬崖顶部以 27 m/s、与水平方向成 25° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它落地时与水平方向向下成多大角度 α？

v₀ = 27 m/sθ = 25°h = 10 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 100 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.4。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 100 mμ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 0.3 kg 的球系在长 0.9 m 的轻绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点它的速度为 7.5 m/s。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求最高点时绳中的拉力 T_top。

m = 0.3 kgr = 0.9 mv_bottom = 7.5 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.功和能中等

一辆 1800 kg 的汽车以恒定的 90 km/h 驶上 2° 的斜坡。空气阻力和滚动阻力合计 250 N。求车轮须输出的功率 P，以 kW 表示。

m = 1800 kgθ = 2°F_r = 250 Nv = 90 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

10.功和能困难

一个 0.5 kg 的物块从光滑坡道上 1.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 2.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.15），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 0.5 kgh = 1.5 mL = 2.5 mμ = 0.15k = 1000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 5 m/s 运动的 4 kg 滑块与一个静止的 0.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 4 kgm₂ = 0.5 kgv₁ = 5 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一颗 15 g 的子弹水平射入一个用长 0.5 m 的轻绳悬挂的 2 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 25°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 15 gM = 2 kgL = 0.5 mθ = 25°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.刚体转动中等

一个 8 kg 的物块悬挂在绕过滑轮的轻绳上，滑轮是质量为 5 kg、半径为 0.15 m 的均匀实心圆盘，在无摩擦的水平轴上转动。物块从静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求滑轮的角加速度 α。

m = 8 kgM = 5 kgR = 0.15 mg = 9.81 m/s²

α = rad/s²

14.刚体转动困难

一个质量为 10.5 kg 的空心球以 9 m/s 的速度无滑动地滚动。转动动能占总动能的百分之几 p？

m = 10.5 kgv = 9 m/sI = (2/3)·m·r²

p = %

15.齿轮与齿轮系中等

一条皮带绕在一个以 1440 rpm 转动、直径 150 mm 的主动轮上。紧边张力为 400 N，松边张力为 200 N。求传递的功率 P，单位 kW。

d₁ = 150 mmn₁ = 1440 rpmT₁ = 400 NT₂ = 200 N

P = kW

16.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（32 齿）以 3000 rpm 转动，驱动齿轮 B（50 齿）。齿轮 C（12 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（60 齿）。求输出转速 n_out。

n_in = 3000 rpmA = 32B = 50C = 12D = 60

n_out = rpm

17.弹簧与单摆中等

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 1.8 m 的单摆在小幅摆动时周期为 2.52 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 1.8 mT = 2.52 s

g = m/s²

18.弹簧与单摆困难

把一个 0.8 kg 的物体挂在一根 k = 30 N/m、处于原长的竖直弹簧下端，然后由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求弹簧的最大伸长量 x_max，以 cm 表示。

m = 0.8 kgk = 30 N/mg = 9.81 m/s²

x_max = cm

19.机械振动中等

一个 150 kg 的质量块由刚度为 50 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 820 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。

m = 150 kgk = 50 kN/mc = 820 N·s/m

ζ =

20.机械振动困难

一个 5 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 80 kN/m 和 k₂ = 5 kN/m。质量块保持水平。忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 5 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 5 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: s = 25 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 72/3.6 = 20 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 20²/(2·8) = 25 m

答案

s = 25 m

2.运动学

答案: t = 12.6 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

动力阶段

v₁ = 34·1.5 = 51 m/s

h₁ = ½·34·1.5² = 38.25 m

落回地面的自由飞行

解 −h₁ = v₁·t₂ − ½·g·t₂²，取正根。

t₂ = (51 + √(51² + 2·9.81·38.25))/9.81 = 11.1 s

t = 1.5 + 11.1 = 12.6 s

答案

t = 12.6 s

3.牛顿定律

答案: a = 4.905 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 30° − 0·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0) = 4.905 m/s²

答案

a = 4.905 m/s²

4.牛顿定律

答案: d = 1.759 m

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 30° + 0.1·cos 30°) = 5.755 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 4.5²/(2·5.755) = 1.759 m

答案

d = 1.759 m

5.抛体运动

答案: t = 3.748 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 26·cos 45° = 18.38 m/s

v_y = v₀·sin θ = 26·sin 45° = 18.38 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·18.38/9.81 = 3.748 s

答案

t = 3.748 s

6.抛体运动

答案: α = 36.44 °

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

v_x = 27·cos 25° = 24.47 m/s

v_y0 = 27·sin 25° = 11.41 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(11.41² + 2·9.81·10) = 18.07 m/s

落地角度

tan α = v_y/v_x = 18.07/24.47 → α = 36.44°

答案

α = 36.44°

7.圆周运动

答案: v_max = 19.81 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.4·9.81·100) = 19.81 m/s

答案

v_max = 19.81 m/s (71.31 km/h)

8.圆周运动

答案: T_top = 4.035 N

顶点的速度

在高度 2r 上，动能转化为势能。

v_top² = 7.5² − 4·9.81·0.9 = 20.93 m²/s²

顶点的受力

拉力和重力都向下，指向圆心。

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0.3·20.93/0.9 − 0.3·9.81 = 4.035 N

答案

T_top = 4.035 N

9.功和能

答案: P = 21.66 kW

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。功率等于力乘以速度：P = F·v。

驱动力

m·g = 1800·9.81 = 17658 N

mg·sin θ = 17658·sin 2° = 616.3 N

F = 616.3 + 250 = 866.3 N

功率

v = 90/3.6 = 25 m/s

P = F·v = 866.3·25 = 21656 W = 21.66 kW

答案

P = 21.66 kW

10.功和能

答案: x = 10.51 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 4.905·(1.5 − 0.15·2.5) = 5.518 J

最大压缩量

½kx² = 5.518 → x = √(2·5.518/1000) = 0.1051 m = 10.51 cm

答案

x = 10.51 cm

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 8.889 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (4 − 0.5)/(4 + 0.5)·5 = 3.889 m/s

v′₂ = 2·4/(4 + 0.5)·5 = 8.889 m/s

答案

v′₂ = 8.889 m/s

12.动量与碰撞

答案: v = 128.8 m/s

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 0.5·(1 − cos 25°) = 0.04685 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.04685) = 0.9587 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 2.015·0.9587/0.015 = 128.8 m/s

答案

v = 128.8 m/s

13.刚体转动

答案: α = 49.83 rad/s²

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

物块和滑轮

物块: m·g − T = m·a

滑轮: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

加速度

a = m·g/(m + M/2) = 8·9.81/(8 + 2.5) = 7.474 m/s²

角加速度

α = a/R = 7.474/0.15 = 49.83 rad/s²

答案

α = 49.83 rad/s²

14.刚体转动

答案: p = 40 %

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

平动部分和转动部分

E_trans = ½·m·v² = ½·10.5·9² = 425.3 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0.6667·m·r²·(v/r)² = 0.6667·425.3 = 283.5 J

转动所占的份额

p = 283.5/708.8·100% = c/(1 + c)·100% = 40%

答案

p = 40 %

这个份额只取决于形状，与质量和速度无关。

15.齿轮与齿轮系

答案: P = 2.262 kW

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

皮带速度

v = 11.31 m/s

功率

P = (400 − 200)·11.31 = 2262 W = 2.262 kW

答案

P = 2.262 kW

16.齿轮与齿轮系

答案: n_out = 384 rpm

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

第一级

n_B = 3000·32/50 = 1920 rpm = n_C

第二级

n_out = 1920·12/60 = 384 rpm

答案

n_out = 384 rpm

总传动比 = 7.813 : 1

17.弹簧与单摆

答案: g = 11.19 m/s²

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1.8/2.52² = 11.19 m/s²

答案

g = 11.19 m/s²

18.弹簧与单摆

答案: x_max = 52.32 cm

平衡位置和振幅

x₀ = m·g/k = 0.8·9.81/30 = 0.2616 m = A

最低点

x_max = 2A = 0.5232 m = 52.32 cm

答案

x_max = 52.32 cm

19.机械振动

答案: ζ = 0.1497

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

临界阻尼

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(50000·150) = 5477 N·s/m

阻尼比

ζ = c/c_c = 820/5477 = 0.1497

答案

ζ = 0.1497

ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。

20.机械振动

答案: f_n = 20.75 Hz

等效刚度

并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k₁ + k₂。

k_eq = 80 + 5 = 85 kN/m

固有频率

ω_n = √(85000/5) = 130.4 rad/s

f_n = 130.4/(2π) = 20.75 Hz

答案

f_n = 20.75 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics