动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一位以 45 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 0.9 s，之后汽车以 8 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 45 km/ht_r = 0.9 sa = −8 m/s²

d = m

2.运动学困难

从离地面 40 m 高的屋顶边缘以 9 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 9 m/sh₀ = 40 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个箱子以 9 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 28 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 9 m/sd = 28 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 8 m/s 的速度开始沿 20° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 8 m/sθ = 20°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 26 m/s、与水平方向成 40° 的角度朝 54 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 26 m/sθ = 40°x = 54 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从 30 m 高的悬崖顶上以高于水平面 40° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 29 m/sθ = 40°h = 30 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 140 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.5。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 140 mμ_s = 0.5g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一辆 2 kg 的小车在无摩擦轨道上从 22.75 m 高处由静止释放，驶过一个半径为 6.5 m 的竖直圆环。取 g = 9.81 m/s²。求小车在圆环底部时轨道对它的法向力 N_bottom。

m = 2 kgh = 22.75 mR = 6.5 mg = 9.81 m/s²

N_bottom = N

9.功和能中等

一辆 1800 kg 的汽车以恒定的 36 km/h 驶上 8° 的斜坡。空气阻力和滚动阻力合计 350 N。求车轮须输出的功率 P，以 kW 表示。

m = 1800 kgθ = 8°F_r = 350 Nv = 36 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

10.功和能困难

一个 2 kg 的物块从光滑坡道上 3 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 2 m 的粗糙水平段（μ = 0.1），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 4000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 2 kgh = 3 mL = 2 mμ = 0.1k = 4000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

一个以 26 m/s 水平运动的 17 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。11 kg 的碎片以 45 m/s 继续向前运动。求 6 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 17 kgu = 26 m/sm₁ = 11 kgv′₁ = 45 m/sm₂ = 6 kg

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.2 kg 的小球以 26 m/s 撞到墙上，并以 19 m/s 沿原路弹回。接触时间为 40 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.2 kgv_in = 26 m/sv_out = 19 m/sΔt = 40 ms

J = N·s

13.刚体转动中等

一个 11 kg 的物块悬挂在绕过滑轮的轻绳上，滑轮是质量为 6 kg、半径为 0.4 m 的均匀实心圆盘，在无摩擦的水平轴上转动。物块从静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求物块下落 3.5 m 后的速度 v。

m = 11 kgM = 6 kgR = 0.4 mg = 9.81 m/s²h = 3.5 m

v = m/s

14.刚体转动困难

一个实心圆柱沿与水平面成 30° 的斜面无滑动地滚下。取 g = 9.81 m/s²。它从静止开始。沿斜面滚下 5.5 m 需要多长时间 t？

θ = 30°I = ½·m·r²g = 9.81 m/s²s = 5.5 m

t = s

15.齿轮与齿轮系中等

一个 2 头的蜗杆以 960 rpm 转动，驱动一个 30 齿的蜗轮。求蜗轮的转速 n_w。

z = 2N_w = 30n = 960 rpm

n_w = rpm

16.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（20 齿）以 1500 rpm 转动，驱动齿轮 B（40 齿）。齿轮 C（16 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（48 齿）。求输出转速 n_out。

n_in = 1500 rpmA = 20B = 40C = 16D = 48

n_out = rpm

17.弹簧与单摆中等

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 1.6 m 的单摆在小幅摆动时周期为 4.13 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 1.6 mT = 4.13 s

g = m/s²

18.弹簧与单摆困难

一个 1.7 kg 的物体连在 k = 170 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 10 cm 后释放。求它的最大加速度 a_max。

m = 1.7 kgk = 170 N/mA = 10 cm

a_max = m/s²

19.机械振动中等

一个 10 kg 的质量块由刚度为 5 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 70 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。

m = 10 kgk = 5 kN/mc = 70 N·s/m

ζ =

20.机械振动困难

一个 50 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 25 kN/m，下弹簧 k₂ = 12 kN/m。求弹簧系统的等效刚度 k_eq，以 kN/m 计。

m = 50 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 12 kN/m

k_eq = kN/m

3溶液

1.运动学

答案: d = 21.02 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 45/3.6 = 12.5 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 12.5·0.9 = 11.25 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 12.5²/(2·8) = 9.766 m

合计

d = 11.25 + 9.766 = 21.02 m

答案

d = 21.02 m

2.运动学

答案: t = 3.917 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−40 = 9·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 9·t − 40 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (9 + √(9² + 2·9.81·40))/9.81 = 3.917 s

答案

t = 3.917 s

3.牛顿定律

答案: μ = 0.1474

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

减速度

a = v₀²/(2d) = 9²/(2·28) = 1.446 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 1.446/9.81 = 0.1474

答案

μ = 0.1474

4.牛顿定律

答案: d = 5.228 m

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 20° + 0.3·cos 20°) = 6.121 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 8²/(2·6.121) = 5.228 m

答案

d = 5.228 m

5.抛体运动

答案: y = 9.256 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

到达墙的时间

v_x = 26·cos 40° = 19.92 m/s

t = x/v_x = 54/19.92 = 2.711 s

此时的高度

y = 16.71·2.711 − ½·9.81·2.711² = 9.256 m

答案

y = 9.256 m

球到达墙时已经在下落。

6.抛体运动

答案: x = 111.5 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 29·cos 40° = 22.22 m/s

v_y = v₀·sin θ = 29·sin 40° = 18.64 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 30 + 18.64·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (18.64 + √(347.5 + 588.6))/9.81 = 5.019 s

水平距离

x = v_x·t = 22.22·5.019 = 111.5 m

答案

x = 111.5 m

7.圆周运动

答案: v_max = 26.2 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.5·9.81·140) = 26.2 m/s

答案

v_max = 26.2 m/s (94.34 km/h)

8.圆周运动

答案: N_bottom = 157 N

由能量守恒求速度

v² = 2·9.81·22.75 = 446.4 m²/s²

受力

指向圆心为正。

N = m·v²/R + m·g = 2·446.4/6.5 + 19.62 = 157 N

答案

N_bottom = 157 N

9.功和能

答案: P = 28.08 kW

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。功率等于力乘以速度：P = F·v。

驱动力

m·g = 1800·9.81 = 17658 N

mg·sin θ = 17658·sin 8° = 2458 N

F = 2458 + 350 = 2808 N

功率

v = 36/3.6 = 10 m/s

P = F·v = 2808·10 = 28075 W = 28.08 kW

答案

P = 28.08 kW

10.功和能

答案: x = 16.57 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 19.62·(3 − 0.1·2) = 54.94 J

最大压缩量

½kx² = 54.94 → x = √(2·54.94/4000) = 0.1657 m = 16.57 cm

答案

x = 16.57 cm

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = −8.833 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

碰撞前的动量

p = M·u = 17·26 = 442 kg·m/s

碰撞后的动量

442 = 11·45 + 6·v′₂

v′₂ = (442 − 495)/6 = −8.833 m/s

答案

v′₂ = −8.833 m/s

负号表示第二块碎片向后飞。

12.动量与碰撞

答案: J = 9 N·s

动量的变化量

J = m·Δv = 0.2·(19 + 26) = 9 N·s

答案

J = 9 N·s

13.刚体转动

答案: v = 7.345 m/s

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

物块和滑轮

物块: m·g − T = m·a

滑轮: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

加速度

a = m·g/(m + M/2) = 11·9.81/(11 + 3) = 7.708 m/s²

下落后的速度

v = √(2·a·h) = √(2·7.708·3.5) = 7.345 m/s

答案

v = 7.345 m/s

14.刚体转动

答案: t = 1.834 s

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

运动方程

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0.5·m·r²·(a/r) → f = 0.5·m·a

加速度

a = g·sin θ/(1 + c) = 9.81·sin 30°/1.5 = 3.27 m/s²

时间

s = ½·a·t² → t = √(2·5.5/3.27) = 1.834 s

答案

t = 1.834 s

15.齿轮与齿轮系

答案: n_w = 64 rpm

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

蜗轮转速

n_w = n·z/N_w = 960·2/30 = 64 rpm

答案

n_w = 64 rpm

16.齿轮与齿轮系

答案: n_out = 250 rpm

第一级

n_B = 1500·20/40 = 750 rpm = n_C

第二级

n_out = 750·16/48 = 250 rpm

答案

n_out = 250 rpm

总传动比 = 6 : 1

17.弹簧与单摆

答案: g = 3.703 m/s²

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1.6/4.13² = 3.703 m/s²

答案

g = 3.703 m/s²

18.弹簧与单摆

答案: a_max = 10 m/s²

角频率

ω = √(170/1.7) = 10 rad/s

最大加速度

a_max = A·ω² = 0.1·10² = 10 m/s²

答案

a_max = 10 m/s²

19.机械振动

答案: ζ = 0.1565

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

临界阻尼

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(5000·10) = 447.2 N·s/m

阻尼比

ζ = c/c_c = 70/447.2 = 0.1565

答案

ζ = 0.1565

ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。

20.机械振动

答案: k_eq = 8.108 kN/m

等效刚度

串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

1/k_eq = 1/25 + 1/12 → k_eq = 25·12/(25 + 12) = 8.108 kN/m

答案

k_eq = 8.108 kN/m

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