动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一位以 54 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 0.5 s，之后汽车以 7.5 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 54 km/ht_r = 0.5 sa = −7.5 m/s²

d = m

2.运动学困难

从离地面 15 m 高的屋顶边缘以 18 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 18 m/sh₀ = 15 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

质量为 2 kg 和 0.5 kg 的两个物体用轻绳相连，分别悬挂在一个轻质无摩擦滑轮的两侧。系统由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 2 kgm₂ = 0.5 kgg = 9.81 m/s²

T = N

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 3 m/s 的速度开始沿 30° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 3 m/sθ = 30°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 28 m/s、与水平方向成 35° 的角度朝 60 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 28 m/sθ = 35°x = 60 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从 45 m 高的悬崖顶部以 17 m/s、与水平方向成 25° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它落地时的速度 v。

v₀ = 17 m/sθ = 25°h = 45 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 125 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.5。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 125 mμ_s = 0.5g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 1.7 kg 的球系在长 0.6 m 的轻绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点它的速度为 8 m/s。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求最高点时绳中的拉力 T_top。

m = 1.7 kgr = 0.6 mv_bottom = 8 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.功和能中等

一个 4 kg 的物块沿倾角 25° 的斜面下滑 7 m，动摩擦因数为 0.3。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 4 kgθ = 25°μ = 0.3d = 7 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 2 kg 的物块从光滑坡道上 5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 5 m 的粗糙水平段（μ = 0.2），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1500 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 2 kgh = 5 mL = 5 mμ = 0.2k = 1500 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一辆以 19 m/s 行驶的 700 kg 汽车撞上一辆静止的 1300 kg 汽车，两车卡在一起。原有动能损失了百分之多少 ΔK/K？

m₁ = 700 kgv₁ = 19 m/sm₂ = 1300 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.动量与碰撞困难

在一个十字路口，一辆以 21 m/s 向东行驶的 1600 kg 汽车与一辆以 11 m/s 向北行驶的 1100 kg 汽车相撞。两车卡在一起。求碰撞后瞬间残骸的方向 θ，以东偏北的角度表示。

m₁ = 1600 kgv₁ = 21 m/s (E)m₂ = 1100 kgv₂ = 11 m/s (N)

θ = °

13.刚体转动中等

转动惯量为 20 kg·m² 的飞轮以 1800 rpm 转动。制动器施加 100 N·m 的恒定摩擦转矩。它需要多长时间 t 才能停下？

I = 20 kg·m²n = 1800 rpmT_b = 100 N·m

t = s

14.刚体转动困难

一个质量为 15 kg 的空心球以 6 m/s 的速度无滑动地滚动。求它的转动动能 E_rot。

m = 15 kgv = 6 m/sI = (2/3)·m·r²

E_rot = J

15.齿轮与齿轮系中等

一条皮带绕在一个以 1450 rpm 转动、直径 80 mm 的主动轮上。紧边张力为 500 N，松边张力为 200 N。求传递的功率 P，单位 kW。

d₁ = 80 mmn₁ = 1450 rpmT₁ = 500 NT₂ = 200 N

P = kW

16.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（30 齿）以 1500 rpm 转动，驱动齿轮 B（50 齿）。齿轮 C（24 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（80 齿）。求输出转速 n_out。

n_in = 1500 rpmA = 30B = 50C = 24D = 80

n_out = rpm

17.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 2.8 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 2.8 sg = 9.81 m/s²

L = m

18.弹簧与单摆困难

一个 2.5 kg 的物体连在 k = 500 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 10 cm 后释放。求它的最大加速度 a_max。

m = 2.5 kgk = 500 N/mA = 10 cm

a_max = m/s²

19.机械振动中等

一个 8 kg 的质量块挂在刚度为 8 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.5。求其自由振动的有阻尼固有频率 f_d，以 Hz 计。

m = 8 kgk = 8 kN/mζ = 0.5

f_d = Hz

20.机械振动困难

一个 40 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 100 kN/m，下弹簧 k₂ = 12 kN/m。忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 40 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 12 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: d = 22.5 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 54/3.6 = 15 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 15·0.5 = 7.5 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 15²/(2·7.5) = 15 m

合计

d = 7.5 + 15 = 22.5 m

答案

d = 22.5 m

2.运动学

答案: t = 4.37 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−15 = 18·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 18·t − 15 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (18 + √(18² + 2·9.81·15))/9.81 = 4.37 s

答案

t = 4.37 s

3.牛顿定律

答案: T = 7.848 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

加速度

净驱动力是两个重量之差；它带动的是总质量。

a = (2 − 0.5)·9.81/(2 + 0.5) = 5.886 m/s²

由较轻物体求拉力

T − m₂·g = m₂·a → T = 0.5·(9.81 + 5.886) = 7.848 N

答案

T = 7.848 N

4.牛顿定律

答案: d = 0.6814 m

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 30° + 0.2·cos 30°) = 6.604 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 3²/(2·6.604) = 0.6814 m

答案

d = 0.6814 m

5.抛体运动

答案: y = 8.447 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

到达墙的时间

v_x = 28·cos 35° = 22.94 m/s

t = x/v_x = 60/22.94 = 2.616 s

此时的高度

y = 16.06·2.616 − ½·9.81·2.616² = 8.447 m

答案

y = 8.447 m

球到达墙时已经在下落。

6.抛体运动

答案: v = 34.23 m/s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

v_x = 17·cos 25° = 15.41 m/s

v_y0 = 17·sin 25° = 7.185 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(7.185² + 2·9.81·45) = 30.57 m/s

落水速度

v = √(15.41² + 30.57²) = 34.23 m/s

答案

v = 34.23 m/s

用能量校核：v² = v₀² + 2gh。

7.圆周运动

答案: v_max = 24.76 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.5·9.81·125) = 24.76 m/s

答案

v_max = 24.76 m/s (89.14 km/h)

8.圆周运动

答案: T_top = 97.95 N

顶点的速度

在高度 2r 上，动能转化为势能。

v_top² = 8² − 4·9.81·0.6 = 40.46 m²/s²

顶点的受力

拉力和重力都向下，指向圆心。

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1.7·40.46/0.6 − 1.7·9.81 = 97.95 N

答案

T_top = 97.95 N

9.功和能

答案: W_f = 74.68 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 39.24·0.9063 = 35.56 N

F = μN = 0.3·35.56 = 10.67 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 10.67·7 = 74.68 J

答案

W_f = 74.68 J

10.功和能

答案: v = 8.859 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 19.62·(5 − 0.2·5) = 78.48 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·4) = 8.859 m/s

答案

v = 8.859 m/s

11.动量与碰撞

答案: ΔK/K = 65 %

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 700·19/2000 = 6.65 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·700·19² = 126350 J

K_after = ½·2000·6.65² = 44223 J

损失的比例

ΔK/K = 82128/126350 = 65 %

答案

ΔK/K = 65 %

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: θ = 19.8 °

动量分量

p_x = 1600·21 = 33600 kg·m/s

p_y = 1100·11 = 12100 kg·m/s

方向

tan θ = p_y/p_x = 0.3601 → θ = 19.8°

答案

θ = 19.8°

13.刚体转动

答案: t = 37.7 s

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

角速度

ω = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s

减速度和时间

α = T_b/I = 100/20 = 5 rad/s²

t = ω/α = 188.5/5 = 37.7 s

答案

t = 37.7 s

14.刚体转动

答案: E_rot = 180 J

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

平动部分和转动部分

E_trans = ½·m·v² = ½·15·6² = 270 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0.6667·m·r²·(v/r)² = 0.6667·270 = 180 J

答案

E_rot = 180 J

15.齿轮与齿轮系

答案: P = 1.822 kW

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

皮带速度

v = 6.074 m/s

功率

P = (500 − 200)·6.074 = 1822 W = 1.822 kW

答案

P = 1.822 kW

16.齿轮与齿轮系

答案: n_out = 270 rpm

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

第一级

n_B = 1500·30/50 = 900 rpm = n_C

第二级

n_out = 900·24/80 = 270 rpm

答案

n_out = 270 rpm

总传动比 = 5.556 : 1

17.弹簧与单摆

答案: L = 1.948 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(2.8/2π)² = 1.948 m

答案

L = 1.948 m

18.弹簧与单摆

答案: a_max = 20 m/s²

角频率

ω = √(500/2.5) = 14.14 rad/s

最大加速度

a_max = A·ω² = 0.1·14.14² = 20 m/s²

答案

a_max = 20 m/s²

19.机械振动

答案: f_d = 4.359 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

无阻尼固有频率

ω_n = √(8000/8) = 31.62 rad/s

f_n = 31.62/(2π) = 5.033 Hz

有阻尼固有频率

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 5.033·√(1 − 0.5²) = 4.359 Hz

答案

f_d = 4.359 Hz

20.机械振动

答案: f_n = 2.605 Hz

等效刚度

串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

1/k_eq = 1/100 + 1/12 → k_eq = 100·12/(100 + 12) = 10.71 kN/m

固有频率

ω_n = √(10714/40) = 16.37 rad/s

f_n = 16.37/(2π) = 2.605 Hz

答案

f_n = 2.605 Hz

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