运动学
- 速度
- v = v0 + a·t
- 位移
- s = v0·t + ½·a·t²
- 不含时间
- v² = v0² + 2·a·s
- 单位
- 1 m/s = 3.6 km/h
方法
- 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
- 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
- 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
- 求解并检查答案在物理上是否合理。
动力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
牛顿定律
- 第二定律
- ΣF = m·a
- 重力
- W = m·g
- 动摩擦
- Ff = μ·N
- 斜面上
- 沿斜面：m·g·sin θ， 垂直斜面：m·g·cos θ
方法
- 画出物体所受全部力的受力图。
- 沿运动方向选定正方向。
- 把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
- 沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。
抛体运动
- 分量
- vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
- 位置
- x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
- 最大高度
- H = h + vy²/(2g)
- 射程（水平地面）
- R = v0²·sin 2θ/g
方法
- 把初速度分解为分量：vx = v₀·cos θ，vy = v₀·sin θ。
- 水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
- 由竖直方向的运动求飞行时间。
- 把该时间代入水平运动求射程。
圆周运动
- 向心加速度
- a = v²/r = ω²·r
- 向心力
- F = m·v²/r
- 角速度
- ω = v/r = 2π/T
- 水平弯道，摩擦
- vmax = √(μ·g·r)
功和能
- 动能
- Ek = ½mv²
- 势能
- Ep = mgh
- 能量衡算
- Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
- 摩擦力做功
- W = μ·N·d
- 功率
- P = W/t
动量与碰撞
- 动量
- p = m·v
- 守恒
- Σm·v (before) = Σm·v (after)
- 完全非弹性
- v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
- 冲量
- J = F·Δt = m·Δv
方法
- 选定正方向，并给每个速度标上符号。
- 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
- 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
- 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。
刚体转动
- 对质心 G 的转动惯量
- 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
- 平行移轴定理
- I = IG + m·d²
- 回转半径
- I = m·k²
- 杆绕端点
- I = mL²/3
- 运动方程
- ΣM = I·α
- 以 rad/s 表示的转速
- ω = 2π·n/60
- 动能
- E = ½·I·ω²
- 功和功率
- W = T·θ, P = T·ω
- 无滑动滚动
- v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
- 角动量
- L = I·ω, I1ω1 = I2ω2
- 绕枢轴的撞击
- m·v·d = I·ω
方法
- 选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
- 用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = IG + m·d²。
- 选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
- 用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。
齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
弹簧与单摆
- 弹簧振子
- T = 2π·√(m/k)
- 单摆
- T = 2π·√(L/g)
- 角频率
- ω = √(k/m) = 2π/T
- 最大速度和最大加速度
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- 能量
- E = ½·k·A²
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.运动学中等
一位以 108 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 0.7 s，之后汽车以 4 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。
v₀ = 108 km/htr = 0.7 sa = −4 m/s²
d = m
2.运动学困难
一辆有轨电车从静止开始以 1 m/s² 加速 10 s，然后匀速行驶 29 s，最后以 2 m/s² 制动直到停止。 求总行驶时间 t。
a1 = 1 m/s²t1 = 10 st2 = 29 sa3 = −2 m/s²
t = s
3.牛顿定律中等
一个 30 kg 的雪橇被一根与水平方向成 30° 向上的绳子以 170 N 的力拉着在平坦的雪地上移动。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求雪橇的加速度 a。
m = 30 kgF = 170 Nθ = 30°μ = 0.1g = 9.81 m/s²
a = m/s²
4.牛顿定律困难
水平桌面上一个 4 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 1.5 kg 重物相连。 物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.25。 取 g = 9.81 m/s²。 求绳中的张力 T。
m1 = 4 kgm2 = 1.5 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²
T = N
5.抛体运动中等
一个球 从平地上以高于水平面 20° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。
v0 = 18 m/sθ = 20°g = 9.81 m/s²
t = s
6.抛体运动困难
一个球 从 10 m 高的悬崖顶上以高于水平面 35° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。
v0 = 16 m/sθ = 35°h = 10 mg = 9.81 m/s²
x = m
7.圆周运动中等
在游乐场的转筒中，乘客背靠在半径为 2.4 m 的竖直圆筒壁上。圆筒转得足够快时，底板下降，靠摩擦力托住乘客。静摩擦因数为 0.6。取 g = 9.81 m/s²。 求最小角速度 ω，以 rad/s 表示。
r = 2.4 mμs = 0.6g = 9.81 m/s²
ω = rad/s
8.圆周运动困难
一辆 3.5 kg 的小车在无摩擦轨道上从 28.8 m 高处由静止释放，驶过一个半径为 9 m 的竖直圆环。取 g = 9.81 m/s²。 求小车在圆环底部时轨道对它的法向力 Nbottom。
m = 3.5 kgh = 28.8 mR = 9 mg = 9.81 m/s²
Nbottom = N
9.功和能中等
一个 1 kg 的球挂在长 0.5 m 的轻绳上。把它拉向一侧，使绳与竖直方向成 20°，然后从静止释放。求球经过最低点时绳中的拉力 T。
m = 1 kgL = 0.5 mθ = 20°g = 9.81 m/s²
T = N
10.功和能困难
一个 2 kg 的物块从光滑坡道上 5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 4 m 的粗糙水平段（μ = 0.2），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 2000 N/m）。 求弹簧的最大压缩量 x。
m = 2 kgh = 5 mL = 4 mμ = 0.2k = 2000 N/mg = 9.81 m/s²
x = cm
11.动量与碰撞中等
在无摩擦的导轨上，一个以 2 m/s 运动的 3 kg 滑块与一个静止的 5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。 求碰撞后第一个滑块的速度 v′1（以其原运动方向为正）。
m1 = 3 kgm2 = 5 kgv1 = 2 m/sv2 = 0
v′1 = m/s
12.动量与碰撞困难
一个 0.35 kg 的小球以 23 m/s 撞到墙上，并以 9 m/s 沿原路弹回。接触时间为 50 ms。 求墙给小球的冲量大小 J。
m = 0.35 kgvin = 23 m/svout = 9 m/sΔt = 50 ms
J = N·s
13.刚体转动中等
转动惯量为 22 kg·m² 的飞轮以 600 rpm 转动。制动器施加 35 N·m 的恒定摩擦转矩。 飞轮在停下之前转过多少圈 N？
I = 22 kg·m²n = 600 rpmTb = 35 N·m
N = rev
14.刚体转动困难
质量为 2.5 kg、长为 1.3 m 的均匀细杆，从无摩擦的上端枢轴处静止悬挂。一颗 10 g 的子弹以 300 m/s 的速度水平击中杆上枢轴下方 1.02 m 处并留在杆中。 取 g = 9.81 m/s²。求杆摆动偏离竖直方向的最大角度 φ。
M = 2.5 kgL = 1.3 mm = 10 gv = 300 m/sd = 1.02 mg = 9.81 m/s²
φ = °
15.齿轮与齿轮系中等
一个 160 mm 的带轮以 1440 rpm 通过皮带驱动一个 200 mm 的带轮，打滑率为 1.5 %。求从动轮的转速 n2。
n1 = 1440 rpmd1 = 160 mmd2 = 200 mms = 1.5 %
n2 = rpm
16.齿轮与齿轮系困难
在一个行星齿轮系中，太阳轮有 18 个齿，每个行星轮有 20 个齿。齿圈固定，太阳轮以 900 rpm 驱动。求行星架的转速 nc。
Ns = 18Np = 20ns = 900 rpm
nc = rpm
17.弹簧与单摆中等
一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 1.3 m 的单摆在小幅摆动时周期为 2.14 s。求该行星上的重力加速度 g。
L = 1.3 mT = 2.14 s
g = m/s²
18.弹簧与单摆困难
把一个 0.7 kg 的物体挂在一根 k = 40 N/m、处于原长的竖直弹簧下端，然后由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。 求物体的最大速度 vmax。
m = 0.7 kgk = 40 N/mg = 9.81 m/s²
vmax = m/s
19.机械振动中等
一个 8 kg 的质量块挂在刚度为 80 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.35。求其自由振动的有阻尼固有频率 fd，以 Hz 计。
m = 8 kgk = 80 kN/mζ = 0.35
fd = Hz
20.机械振动困难
一个 40 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 80 kN/m，下弹簧 k₂ = 10 kN/m。 求弹簧系统的等效刚度 keq，以 kN/m 计。
m = 40 kgk1 = 80 kN/mk2 = 10 kN/m
keq = kN/m
3溶液
1.运动学
答案: d = 133.5 m
匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。
单位
v₀ = 108/3.6 = 30 m/s
反应距离
d1 = v₀·tr = 30·0.7 = 21 m
制动距离
d2 = v₀²/(2a) = 30²/(2·4) = 112.5 m
合计
d = 21 + 112.5 = 133.5 m
答案
d = 133.5 m
2.运动学
答案: t = 44 s
匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。
最高速度
v = a1·t1 = 1·10 = 10 m/s
制动时间
t3 = v/a3 = 10/2 = 5 s
总时间
t = 10 + 29 + 5 = 44 s
答案
t = 44 s
3.牛顿定律
答案: a = 4.21 m/s²
牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。
法向力
N = m·g − F·sin θ = 294.3 − 170·sin 30° = 209.3 N
水平方向的力
m·a = F·cos θ − μ·N = 147.2 − 20.93
a = 126.3/30 = 4.21 m/s²
答案
a = 4.21 m/s²
4.牛顿定律
答案: T = 13.38 N
牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。
系统的加速度
a = (m2·g − μ·m1·g)/(m1 + m2) = (14.71 − 9.81)/5.5 = 0.8918 m/s²
由桌面上的物块求张力
T − μ·m1·g = m1·a
T = 4·0.8918 + 9.81 = 13.38 N
答案
T = 13.38 N
5.抛体运动
答案: t = 1.255 s
抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。
分解初速度
水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。
vx = v0·cos θ = 18·cos 20° = 16.91 m/s
vy = v0·sin θ = 18·sin 20° = 6.156 m/s
飞行时间
起点与落点等高：t = 2vy/g。
t = 2·6.156/9.81 = 1.255 s
答案
t = 1.255 s
6.抛体运动
答案: x = 34.63 m
抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。
分解初速度
水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。
vx = v0·cos θ = 16·cos 35° = 13.11 m/s
vy = v0·sin θ = 16·sin 35° = 9.177 m/s
飞行时间
解 y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0，取正根。
0 = 10 + 9.177·t − 4.905·t²
t = (vy + √(vy² + 2gh))/g = (9.177 + √(84.22 + 196.2))/9.81 = 2.643 s
水平距离
x = vx·t = 13.11·2.643 = 34.63 m
答案
x = 34.63 m
7.圆周运动
答案: ω = 2.61 rad/s
匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。
乘客受到的力
N = m·ω²·r
μ·N = m·g → μ·ω²·r = g
角速度
ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.6·2.4)) = 2.61 rad/s
答案
ω = 2.61 rad/s
8.圆周运动
答案: Nbottom = 254.1 N
匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。
由能量守恒求速度
v² = 2·9.81·28.8 = 565.1 m²/s²
受力
指向圆心为正。
N = m·v²/R + m·g = 3.5·565.1/9 + 34.34 = 254.1 N
答案
Nbottom = 254.1 N
9.功和能
答案: T = 10.99 N
动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。 在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。
最低点的速度
v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·0.5·(1 − cos 20°) = 0.5916 m²/s²
最低点的受力
m·g = 1·9.81 = 9.81 N
T = mg + mv²/L = 9.81 + 1·0.5916/0.5 = 10.99 N
答案
T = 10.99 N
校核：T = mg(3 − 2cos θ) = 10.99 N。
10.功和能
答案: x = 28.71 cm
动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。
通过粗糙段后剩余的能量
坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。
mgh − μmgL = 19.62·(5 − 0.2·4) = 82.4 J
最大压缩量
½kx² = 82.4 → x = √(2·82.4/2000) = 0.2871 m = 28.71 cm
答案
x = 28.71 cm
11.动量与碰撞
答案: v′1 = −0.5 m/s
动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。
与静止物体的弹性碰撞
联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。
v′1 = (3 − 5)/(3 + 5)·2 = −0.5 m/s
v′2 = 2·3/(3 + 5)·2 = 1.5 m/s
答案
v′1 = −0.5 m/s
负号表示第一个滑块被弹回。
12.动量与碰撞
答案: J = 11.2 N·s
动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。
动量的变化量
J = m·Δv = 0.35·(9 + 23) = 11.2 N·s
答案
J = 11.2 N·s
13.刚体转动
答案: N = 197.5 rev
绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。
角速度
ω = 2π·600/60 = 62.83 rad/s
制动器做的功等于动能
½·I·ω² = ½·22·62.83² = 43426 J
θ = 43426/35 = 1241 rad
圈数
N = θ/2π = 197.5 rev
答案
N = 197.5 rev
14.刚体转动
答案: φ = 37.41 °
滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。
撞击后的转动惯量
I = M·L²/3 + m·d² = 2.5·1.3²/3 + 0.01·1.02² = 1.419 kg·m²
对枢轴的角动量
枢轴力通过枢轴，所以撞击期间它对枢轴没有力矩。
m·v·d = I·ω → ω = 0.01·300·1.02/1.419 = 2.157 rad/s
摆动过程中的能量
½·I·ω² = ½·1.419·2.157² = 3.3 J
(M·g·L/2 + m·g·d)·(1 − cos φ) = 16.04·(1 − cos φ)
cos φ = 1 − 3.3/16.04 = 0.7943 → φ = 37.41°
答案
φ = 37.41°
15.齿轮与齿轮系
答案: n2 = 1135 rpm
皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = eμθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。
无打滑时的转速
1440·160/200 = 1152 rpm
有打滑
n2 = 1152·0.985 = 1135 rpm
答案
n2 = 1135 rpm
16.齿轮与齿轮系
答案: nc = 213.2 rpm
行星齿轮系：太阳轮、齿圈和行星架的转速由威利斯方程 (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns 联系起来：从行星架上看，该轮系是以行星轮为惰轮的普通轮系。固定其中一个构件，轮系就成为一个单一传动比的减速器。
齿圈齿数
Nr = Ns + 2·Np = 18 + 2·20 = 58
齿圈固定时的威利斯方程
令 nr = 0，求行星架的转速。
(900 − nc)/(0 − nc) = −58/18
nc = ns·Ns/(Ns + Nr) = 900·18/76 = 213.2 rpm
答案
nc = 213.2 rpm
行星架与太阳轮转向相同。
17.弹簧与单摆
答案: g = 11.21 m/s²
简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。
求 g
g = 4π²·L/T² = 4π²·1.3/2.14² = 11.21 m/s²
答案
g = 11.21 m/s²
18.弹簧与单摆
答案: vmax = 1.298 m/s
简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。
平衡位置和振幅
x₀ = m·g/k = 0.7·9.81/40 = 0.1717 m = A
最大速度
速度在平衡位置处最大。
ω = √(40/0.7) = 7.559 rad/s
vmax = A·ω = 0.1717·7.559 = 1.298 m/s
答案
vmax = 1.298 m/s
19.机械振动
答案: fd = 14.91 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
无阻尼固有频率
ωn = √(80000/8) = 100 rad/s
fn = 100/(2π) = 15.92 Hz
有阻尼固有频率
fd = fn·√(1 − ζ²) = 15.92·√(1 − 0.35²) = 14.91 Hz
答案
fd = 14.91 Hz
20.机械振动
答案: keq = 8.889 kN/m
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k1 + 1/k2。
1/keq = 1/80 + 1/10 → keq = 80·10/(80 + 10) = 8.889 kN/m
答案
keq = 8.889 kN/m
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