动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以恒定的 23 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 4 m/s² 匀加速。警车需要多长时间追上？求 t。

v_car = 23 m/sa_police = 4 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.运动学困难

一枚模型火箭从静止竖直向上发射。其发动机使它获得 40 m/s² 的恒定向上加速度，持续 2 s，之后发动机停止，火箭做自由运动。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求火箭达到的最大高度 h_max。

a = 40 m/s²t₁ = 2 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 45 kg 的箱子被一个平行于斜面的力沿与水平方向成 30° 的斜面匀速向上推。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求推力 F。

m = 45 kgθ = 30°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

F = N

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 4 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 4.5 kg 重物相连。桌面光滑。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 4 kgm₂ = 4.5 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 25° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 38 m/sθ = 25°g = 9.81 m/s²

x = m

6.抛体运动困难

一个球从 50 m 高的悬崖顶部以 17 m/s、与水平方向成 20° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它落地时的速度 v。

v₀ = 17 m/sθ = 20°h = 50 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 105 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 105 mμ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 0.7 kg 的小球系在长 0.8 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 4 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 0.7 kgr = 0.8 mv = 4 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 20° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.2。求它沿斜面滑行 17 m 后的速度 v。

θ = 20°μ = 0.2d = 17 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

一个 2.5 kg 的物块从光滑坡道上 2.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 4.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.25），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1000 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 2.5 kgh = 2.5 mL = 4.5 mμ = 0.25k = 1000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 7 m/s 运动的 3.5 kg 滑块与一个静止的 4.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 3.5 kgm₂ = 4.5 kgv₁ = 7 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.5 kg 的小球以 23 m/s 撞到墙上，并以 14 m/s 沿原路弹回。接触时间为 50 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.5 kgv_in = 23 m/sv_out = 14 m/sΔt = 50 ms

F_avg = N

13.刚体转动中等

转动惯量为 21 kg·m² 的飞轮以 3000 rpm 转动。制动器施加 60 N·m 的恒定摩擦转矩。飞轮在停下之前转过多少圈 N？

I = 21 kg·m²n = 3000 rpmT_b = 60 N·m

N = rev

14.刚体转动困难

质量为 3.5 kg、长为 1.1 m 的均匀细杆，从无摩擦的上端枢轴处静止悬挂。一颗 10 g 的子弹以 120 m/s 的速度水平击中杆上枢轴下方 0.44 m 处并留在杆中。求撞击后瞬间杆的角速度 ω。

M = 3.5 kgL = 1.1 mm = 10 gv = 120 m/sd = 0.44 m

ω = rad/s

15.齿轮与齿轮系中等

一个 2 头的蜗杆以 2900 rpm 转动，驱动一个 50 齿的蜗轮。求蜗轮的转速 n_w。

z = 2N_w = 50n = 2900 rpm

n_w = rpm

16.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（16 齿）以 960 rpm 转动，驱动齿轮 B（50 齿）。齿轮 C（15 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D。输出轴须以 153.6 rpm 转动。齿轮 D 须有多少个齿 N_D？

n_in = 960 rpmA = 16B = 50C = 15n_out = 153.6 rpm

N_D =

17.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 2 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 2 mg = 9.81 m/s²

T = s

18.弹簧与单摆困难

一个 2.8 kg 的物体连在 k = 430 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 8 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 2.8 kgk = 430 N/mA = 8 cm

v_max = m/s

19.机械振动中等

一个 100 kg 的质量块由刚度为 50 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 2680 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。

m = 100 kgk = 50 kN/mc = 2680 N·s/m

ζ =

20.机械振动困难

一个 10 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 10 kN/m，下弹簧 k₂ = 20 kN/m。求弹簧系统的等效刚度 k_eq，以 kN/m 计。

m = 10 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 20 kN/m

k_eq = kN/m

3溶液

1.运动学

答案: t = 11.5 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·23/4 = 11.5 s

答案

t = 11.5 s

此时警车的速度为 2v = 46 m/s。

2.运动学

答案: h_max = 406.2 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

动力阶段

v₁ = 40·2 = 80 m/s

h₁ = ½·40·2² = 80 m

向上的自由飞行

在最高点速度为零。

Δh = v₁²/(2g) = 80²/(2·9.81) = 326.2 m

h_max = 80 + 326.2 = 406.2 m

答案

h_max = 406.2 m

3.牛顿定律

答案: F = 297.2 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

匀速：各力平衡。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

推力

F = 220.7 + 76.46 = 297.2 N

答案

F = 297.2 N

4.牛顿定律

答案: T = 20.77 N

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44.15 − 0)/8.5 = 5.194 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 4·5.194 + 0 = 20.77 N

答案

T = 20.77 N

5.抛体运动

答案: x = 112.8 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 38·cos 25° = 34.44 m/s

v_y = v₀·sin θ = 38·sin 25° = 16.06 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·16.06/9.81 = 3.274 s

水平距离

x = v_x·t = 34.44·3.274 = 112.8 m

答案

x = 112.8 m

6.抛体运动

答案: v = 35.64 m/s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

v_x = 17·cos 20° = 15.97 m/s

v_y0 = 17·sin 20° = 5.814 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(5.814² + 2·9.81·50) = 31.86 m/s

落水速度

v = √(15.97² + 31.86²) = 35.64 m/s

答案

v = 35.64 m/s

用能量校核：v² = v₀² + 2gh。

7.圆周运动

答案: v_max = 17.58 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.3·9.81·105) = 17.58 m/s

答案

v_max = 17.58 m/s (63.28 km/h)

8.圆周运动

答案: T = 20.87 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 0.7·9.81 + 0.7·4²/0.8 = 6.867 + 14 = 20.87 N

答案

T = 20.87 N

9.功和能

答案: v = 7.169 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·17·(0.342 − 0.2·0.9397)) = 7.169 m/s

答案

v = 7.169 m/s

10.功和能

答案: v = 5.194 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 24.53·(2.5 − 0.25·4.5) = 33.72 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·1.375) = 5.194 m/s

答案

v = 5.194 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 6.125 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (3.5 − 4.5)/(3.5 + 4.5)·7 = −0.875 m/s

v′₂ = 2·3.5/(3.5 + 4.5)·7 = 6.125 m/s

答案

v′₂ = 6.125 m/s

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 370 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.5·(14 + 23) = 18.5 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 18.5/0.05 = 370 N

答案

F_avg = 370 N

13.刚体转动

答案: N = 2749 rev

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

角速度

ω = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s

制动器做的功等于动能

½·I·ω² = ½·21·314.2² = 1.036 × 10⁶ J

θ = 1.036 × 10⁶/60 = 17272 rad

圈数

N = θ/2π = 2749 rev

答案

N = 2749 rev

14.刚体转动

答案: ω = 0.3735 rad/s

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

撞击后的转动惯量

I = M·L²/3 + m·d² = 3.5·1.1²/3 + 0.01·0.44² = 1.414 kg·m²

对枢轴的角动量

枢轴力通过枢轴，所以撞击期间它对枢轴没有力矩。

m·v·d = I·ω → ω = 0.01·120·0.44/1.414 = 0.3735 rad/s

答案

ω = 0.3735 rad/s

15.齿轮与齿轮系

答案: n_w = 116 rpm

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

蜗轮转速

n_w = n·z/N_w = 2900·2/50 = 116 rpm

答案

n_w = 116 rpm

16.齿轮与齿轮系

答案: N_D = 30

中间轴转速

n_B = n_C = 960·16/50 = 307.2 rpm

齿轮 D 的齿数

N_D = C·n_C/n_out = 15·307.2/153.6 = 30

答案

N_D = 30

17.弹簧与单摆

答案: T = 2.837 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(2/9.81) = 2.837 s

答案

T = 2.837 s

18.弹簧与单摆

答案: v_max = 0.9914 m/s

角频率

ω = √(430/2.8) = 12.39 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.08·12.39 = 0.9914 m/s

答案

v_max = 0.9914 m/s

19.机械振动

答案: ζ = 0.5993

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

临界阻尼

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(50000·100) = 4472 N·s/m

阻尼比

ζ = c/c_c = 2680/4472 = 0.5993

答案

ζ = 0.5993

ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。

20.机械振动

答案: k_eq = 6.667 kN/m

等效刚度

串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

1/k_eq = 1/10 + 1/20 → k_eq = 10·20/(10 + 20) = 6.667 kN/m

答案

k_eq = 6.667 kN/m

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