动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 80 km/h 行驶的汽车以 5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 80 km/ha = −5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

从离地面 10 m 高的屋顶边缘以 5 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 5 m/sh₀ = 10 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

质量为 5 kg 和 3.5 kg 的两个物体用轻绳相连，分别悬挂在一个轻质无摩擦滑轮的两侧。系统由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求物体的加速度 a。

m₁ = 5 kgm₂ = 3.5 kgg = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 55 N 的水平力拉前面 5 kg 的物块；1 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求物块的加速度 a。

m₁ = 1 kgm₂ = 5 kgF = 55 Nμ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 20° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 26 m/sθ = 20°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从 15 m 高的悬崖顶上以高于水平面 55° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 33 m/sθ = 55°h = 15 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

在游乐场的转筒中，乘客背靠在半径为 2.5 m 的竖直圆筒壁上。圆筒转得足够快时，底板下降，靠摩擦力托住乘客。静摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求最小角速度 ω，以 rad/s 表示。

r = 2.5 mμ_s = 0.7g = 9.81 m/s²

ω = rad/s

8.圆周运动困难

一个 1 kg 的小球系在长 1 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 7 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 1 kgr = 1 mv = 7 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一辆汽车在水平路面上以 90 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.7。求制动距离 d。

v = 90 km/hμ = 0.7g = 9.81 m/s²

d = m

10.功和能困难

一个 5 kg 的物块从光滑坡道上 2.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 1 m 的粗糙水平段（μ = 0.25），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 800 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 5 kgh = 2.5 mL = 1 mμ = 0.25k = 800 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 4 m/s 运动的 3.5 kg 滑块与一个静止的 4.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 3.5 kgm₂ = 4.5 kgv₁ = 4 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.4 kg 的小球以 18 m/s 撞到墙上，并以 14 m/s 沿原路弹回。接触时间为 10 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.4 kgv_in = 18 m/sv_out = 14 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

13.刚体转动中等

质量为 10.5 kg、长为 1.2 m 的均匀细杆一端铰接，保持水平。从静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求释放瞬间的角加速度 α。

m = 10.5 kgL = 1.2 mg = 9.81 m/s²

α = rad/s²

14.刚体转动困难

一个质量为 20 kg 的薄圆环以 2 m/s 的速度无滑动地滚动。转动动能占总动能的百分之几 p？

m = 20 kgv = 2 m/sI = m·r²

p = %

15.齿轮与齿轮系中等

一台 3 kW 的电动机以 1450 rpm 运转，驱动一个齿数为 16 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 24 的大齿轮啮合。忽略损失。求电动机轴上的扭矩 T₁。

P = 3 kWn₁ = 1450 rpmN₁ = 16N₂ = 24η = 100%

T₁ = N·m

16.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（40 齿）以 1450 rpm 转动，驱动齿轮 B（60 齿）。齿轮 C（32 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（36 齿）。求输出转速 n_out。

n_in = 1450 rpmA = 40B = 60C = 32D = 36

n_out = rpm

17.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 0.7 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 0.7 mg = 9.81 m/s²

T = s

18.弹簧与单摆困难

把一个 1.4 kg 的物体挂在一根 k = 180 N/m、处于原长的竖直弹簧下端，然后由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求弹簧的最大伸长量 x_max，以 cm 表示。

m = 1.4 kgk = 180 N/mg = 9.81 m/s²

x_max = cm

19.机械振动中等

一个 100 kg 的质量块由刚度为 100 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 3160 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。

m = 100 kgk = 100 kN/mc = 3160 N·s/m

ζ =

20.机械振动困难

一个 100 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 25 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 60 kN/m 和 k₂ = 12 kN/m 悬挂；杆保持水平。忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 100 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 12 kN/mk₃ = 25 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: s = 49.38 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 80/3.6 = 22.22 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 22.22²/(2·5) = 49.38 m

答案

s = 49.38 m

2.运动学

答案: t = 2.026 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−10 = 5·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 5·t − 10 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (5 + √(5² + 2·9.81·10))/9.81 = 2.026 s

答案

t = 2.026 s

3.牛顿定律

答案: a = 1.731 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

加速度

净驱动力是两个重量之差；它带动的是总质量。

a = (5 − 3.5)·9.81/(5 + 3.5) = 1.731 m/s²

答案

a = 1.731 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 7.695 m/s²

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (55 − 8.829)/6 = 7.695 m/s²

答案

a = 7.695 m/s²

5.抛体运动

答案: t = 1.813 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 26·cos 20° = 24.43 m/s

v_y = v₀·sin θ = 26·sin 20° = 8.893 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·8.893/9.81 = 1.813 s

答案

t = 1.813 s

6.抛体运动

答案: x = 113.9 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 33·cos 55° = 18.93 m/s

v_y = v₀·sin θ = 33·sin 55° = 27.03 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 15 + 27.03·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (27.03 + √(730.7 + 294.3))/9.81 = 6.019 s

水平距离

x = v_x·t = 18.93·6.019 = 113.9 m

答案

x = 113.9 m

7.圆周运动

答案: ω = 2.368 rad/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

乘客受到的力

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

角速度

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.7·2.5)) = 2.368 rad/s

答案

ω = 2.368 rad/s

8.圆周运动

答案: T = 58.81 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 1·9.81 + 1·7²/1 = 9.81 + 49 = 58.81 N

答案

T = 58.81 N

9.功和能

答案: d = 45.51 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

以基本单位表示的速度

v = 90/3.6 = 25 m/s

能量衡算

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 25²/(2·0.7·9.81) = 45.51 m

答案

d = 45.51 m

速度加倍，制动距离变为四倍。

10.功和能

答案: v = 6.644 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 49.05·(2.5 − 0.25·1) = 110.4 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·2.25) = 6.644 m/s

答案

v = 6.644 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = −0.5 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (3.5 − 4.5)/(3.5 + 4.5)·4 = −0.5 m/s

v′₂ = 2·3.5/(3.5 + 4.5)·4 = 3.5 m/s

答案

v′₁ = −0.5 m/s

负号表示第一个滑块被弹回。

12.动量与碰撞

答案: J = 12.8 N·s

动量的变化量

J = m·Δv = 0.4·(14 + 18) = 12.8 N·s

答案

J = 12.8 N·s

13.刚体转动

答案: α = 12.26 rad/s²

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

对销钉取矩

在释放的瞬间 ω = 0，所以没有向心加速度，质心笔直向下加速。

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9.81/(2·1.2) = 12.26 rad/s²

答案

α = 12.26 rad/s²

14.刚体转动

答案: p = 50 %

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

平动部分和转动部分

E_trans = ½·m·v² = ½·20·2² = 40 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·1·m·r²·(v/r)² = 1·40 = 40 J

转动所占的份额

p = 40/80·100% = c/(1 + c)·100% = 50%

答案

p = 50 %

这个份额只取决于形状，与质量和速度无关。

15.齿轮与齿轮系

答案: T₁ = 19.76 N·m

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

电动机扭矩

ω₁ = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 3000/151.8 = 19.76 N·m

答案

T₁ = 19.76 N·m

16.齿轮与齿轮系

答案: n_out = 859.3 rpm

第一级

n_B = 1450·40/60 = 966.7 rpm = n_C

第二级

n_out = 966.7·32/36 = 859.3 rpm

答案

n_out = 859.3 rpm

总传动比 = 1.688 : 1

17.弹簧与单摆

答案: T = 1.678 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(0.7/9.81) = 1.678 s

答案

T = 1.678 s

18.弹簧与单摆

答案: x_max = 15.26 cm

平衡位置和振幅

x₀ = m·g/k = 1.4·9.81/180 = 0.0763 m = A

最低点

x_max = 2A = 0.1526 m = 15.26 cm

答案

x_max = 15.26 cm

19.机械振动

答案: ζ = 0.4996

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

临界阻尼

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(100000·100) = 6325 N·s/m

阻尼比

ζ = c/c_c = 3160/6325 = 0.4996

答案

ζ = 0.4996

ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。

20.机械振动

答案: f_n = 2.168 Hz

等效刚度

只有 k₁ 和 k₂ 是并联的。这一对与 k₃ 串联，所以要按倒数组合。

k₁₂ = 60 + 12 = 72 kN/m

k_eq = 72·25/(72 + 25) = 18.56 kN/m

固有频率

ω_n = √(18557/100) = 13.62 rad/s

f_n = 13.62/(2π) = 2.168 Hz

答案

f_n = 2.168 Hz

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