动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 36 km/h 行驶的汽车以 3.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 36 km/ha = −3.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

球 A 从 40 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 17 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。两球何时相遇？求 t。

H = 40 mv_0B = 17 m/sg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

质量为 5.5 kg 和 2 kg 的两个物体用轻绳相连，分别悬挂在一个轻质无摩擦滑轮的两侧。系统由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 5.5 kgm₂ = 2 kgg = 9.81 m/s²

T = N

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 2.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 6 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 2.5 kgm₂ = 6 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 60° 的角度抛出，落在 55 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 60°R = 55 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 55 m 高的悬崖顶部以 20 m/s、与水平方向成 35° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它落地时与水平方向向下成多大角度 α？

v₀ = 20 m/sθ = 35°h = 55 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.圆周运动中等

一个系在长 0.3 m 绳上的小球做水平圆周运动，绳与竖直方向保持 60° 的恒定夹角（圆锥摆）。取 g = 9.81 m/s²。求转一圈所需的时间 T。

L = 0.3 mθ = 60°g = 9.81 m/s²

T = s

8.圆周运动困难

一个 1.8 kg 的球系在长 1.3 m 的轻绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点它的速度为 10 m/s。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求最高点时绳中的拉力 T_top。

m = 1.8 kgr = 1.3 mv_bottom = 10 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.功和能中等

一个玩具发射器有一根刚度为 1000 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.1 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 10 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。

m = 0.1 kgk = 1000 N/mx = 10 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.功和能困难

一个 2 kg 的物块从 35° 斜坡的底部由静止开始，被一个平行于斜坡、大小为 25 N 的恒力沿斜坡向上拉。动摩擦因数为 0.3。求物块沿斜坡向上移动 4 m 后的速度 v。

m = 2 kgF = 25 Nθ = 35°μ = 0.3d = 4 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 8 m/s 运动的 1 kg 滑块与一个静止的 2.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 1 kgm₂ = 2.5 kgv₁ = 8 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一辆 1300 kg 的汽车撞上一辆停放的 1900 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 22.5 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.6。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1300 kgm₂ = 1900 kgd = 22.5 mμ = 0.6g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.刚体转动中等

一台电动机在 1900 rpm 时输出 1240 N·m 的转矩。求它的输出功率 P，单位 kW。

T = 1240 N·mn = 1900 rpm

P = kW

14.刚体转动困难

一个薄圆环从静止开始，沿与水平面成 15° 的斜面无滑动地滚下。取 g = 9.81 m/s²。求它沿斜面滚过 8 m 后的速度 v。

θ = 15°s = 8 mI = m·r²g = 9.81 m/s²

v = m/s

15.齿轮与齿轮系中等

一个 80 mm 的带轮以 2880 rpm 通过皮带驱动一个 450 mm 的带轮，打滑率为 2 %。求从动轮的转速 n₂。

n₁ = 2880 rpmd₁ = 80 mmd₂ = 450 mms = 2 %

n₂ = rpm

16.齿轮与齿轮系困难

一条开口皮带把一个以 960 rpm 转动、直径 150 mm 的主动轮与一个 315 mm 的带轮相连；中心距为 500 mm。摩擦系数为 0.3，紧边张力不得超过 800 N。求皮带在不打滑时能传递的最大功率 P，单位 kW（忽略离心效应）。

d₁ = 150 mmn₁ = 960 rpmd₂ = 315 mmC = 500 mmμ = 0.3T₁ = 800 N

P = kW

17.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 260 N/m 弹簧上的 3.4 kg 物体被沿正方向拉开 7 cm，在 t = 0 时由静止释放。求 t = 0.7 s 时它的速度 v（带符号）。

m = 3.4 kgk = 260 N/mA = 7 cmt = 0.7 s

v = m/s

18.弹簧与单摆困难

一个连在 k = 400 N/m 弹簧上的物体在无摩擦表面上以 4 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 3 cm 时的动能 K。

k = 400 N/mA = 4 cmx = 3 cm

K = J

19.机械振动中等

一个 2 kg 的质量块由刚度为 80 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 60 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。

m = 2 kgk = 80 kN/mc = 60 N·s/m

ζ =

20.机械振动困难

一个 20 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 10 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 25 kN/m 和 k₂ = 40 kN/m 悬挂；杆保持水平。忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 20 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 40 kN/mk₃ = 10 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: s = 14.29 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 36/3.6 = 10 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 10²/(2·3.5) = 14.29 m

答案

s = 14.29 m

2.运动学

答案: t = 2.353 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

40 − ½g·t² = 17·t − ½g·t² → t = 40/17 = 2.353 s

答案

t = 2.353 s

3.牛顿定律

答案: T = 28.78 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

加速度

净驱动力是两个重量之差；它带动的是总质量。

a = (5.5 − 2)·9.81/(5.5 + 2) = 4.578 m/s²

由较轻物体求拉力

T − m₂·g = m₂·a → T = 2·(9.81 + 4.578) = 28.78 N

答案

T = 28.78 N

4.牛顿定律

答案: T = 22.51 N

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (58.86 − 7.357)/8.5 = 6.059 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 2.5·6.059 + 7.357 = 22.51 N

答案

T = 22.51 N

5.抛体运动

答案: v₀ = 24.96 m/s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·55/sin 120°) = 24.96 m/s

答案

v₀ = 24.96 m/s

6.抛体运动

答案: α = 64.79 °

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

v_x = 20·cos 35° = 16.38 m/s

v_y0 = 20·sin 35° = 11.47 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(11.47² + 2·9.81·55) = 34.8 m/s

落地角度

tan α = v_y/v_x = 34.8/16.38 → α = 64.79°

答案

α = 64.79°

7.圆周运动

答案: T = 0.7769 s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

圆的半径

r = L·sin θ = 0.3·sin 60° = 0.2598 m

速率

拉力和重力共同提供向心的力：tan θ = v²/(r·g)。

v = √(r·g·tan θ) = √(0.2598·9.81·tan 60°) = 2.101 m/s

周期

T = 2π·r/v = 2π·0.2598/2.101 = 0.7769 s

答案

T = 0.7769 s

8.圆周运动

答案: T_top = 50.17 N

顶点的速度

在高度 2r 上，动能转化为势能。

v_top² = 10² − 4·9.81·1.3 = 48.99 m²/s²

顶点的受力

拉力和重力都向下，指向圆心。

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1.8·48.99/1.3 − 1.8·9.81 = 50.17 N

答案

T_top = 50.17 N

9.功和能

答案: h = 5.097 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 10 cm = 0.1 m

½kx² = ½·1000·0.1² = 5 J

高度

m·g = 0.1·9.81 = 0.981 N

h = ½kx²/(mg) = 5/0.981 = 5.097 m

答案

h = 5.097 m

10.功和能

答案: v = 5.975 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面方向的力

m·g = 2·9.81 = 19.62 N

mg·sin θ = 11.25 N

μ·mg·cos θ = 4.822 N

功–能关系

½mv² = (25 − 16.08)·4 = 35.7 J

v = √(2·35.7/2) = 5.975 m/s

答案

v = 5.975 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 4.571 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (1 − 2.5)/(1 + 2.5)·8 = −3.429 m/s

v′₂ = 2·1/(1 + 2.5)·8 = 4.571 m/s

答案

v′₂ = 4.571 m/s

12.动量与碰撞

答案: v₁ = 40.06 m/s

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.6·9.81·22.5) = 16.27 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3200·16.27/1300 = 40.06 m/s

答案

v₁ = 40.06 m/s

(144.2 km/h)

13.刚体转动

答案: P = 246.7 kW

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

角速度

ω = 2π·1900/60 = 199 rad/s

功率

P = T·ω = 1240·199 = 246720 W = 246.7 kW

答案

P = 246.7 kW

14.刚体转动

答案: v = 4.507 m/s

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

下降的高度

h = s·sin θ = 8·sin 15° = 2.071 m

滚动时的能量平衡

无滑动滚动：ω = v/r，接触点处的摩擦力不做功。

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 1)

v = √(2·9.81·2.071/2) = 4.507 m/s

答案

v = 4.507 m/s

15.齿轮与齿轮系

答案: n₂ = 501.8 rpm

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

无打滑时的转速

2880·80/450 = 512 rpm

有打滑

n₂ = 512·0.98 = 501.8 rpm

答案

n₂ = 501.8 rpm

16.齿轮与齿轮系

答案: P = 3.436 kW

包角

θ = 2.81 rad

松边张力

e^μθ = e^0.843 = 2.323, T₂ = 800/2.323 = 344.3 N

功率

P = (800 − 344.3)·7.54 = 3.436 kW

答案

P = 3.436 kW

17.弹簧与单摆

答案: v = 0.09865 m/s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(260/3.4) = 8.745 rad/s

ω·t = 8.745·0.7 = 6.121 rad

速度

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0.07·8.745·sin(6.121) = 0.09865 m/s

答案

v = 0.09865 m/s

18.弹簧与单摆

答案: K = 0.14 J

总能量

E = ½·k·A² = ½·400·0.04² = 0.32 J

x 处的弹簧能量

U = ½·k·x² = ½·400·0.03² = 0.18 J

动能

K = 0.32 − 0.18 = 0.14 J

答案

K = 0.14 J

19.机械振动

答案: ζ = 0.075

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

临界阻尼

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(80000·2) = 800 N·s/m

阻尼比

ζ = c/c_c = 60/800 = 0.075

答案

ζ = 0.075

ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。

20.机械振动

答案: f_n = 3.313 Hz

等效刚度

只有 k₁ 和 k₂ 是并联的。这一对与 k₃ 串联，所以要按倒数组合。

k₁₂ = 25 + 40 = 65 kN/m

k_eq = 65·10/(65 + 10) = 8.667 kN/m

固有频率

ω_n = √(8667/20) = 20.82 rad/s

f_n = 20.82/(2π) = 3.313 Hz

答案

f_n = 3.313 Hz

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