动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 80 km/h 行驶的汽车以 6 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 80 km/ha = −6 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

从离地面 15 m 高的屋顶边缘以 18 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 18 m/sh₀ = 15 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 15 kg 的物块沿倾角为 40° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 15 kgθ = 40°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 1.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 4 kg 重物相连。桌面光滑。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 1.5 kgm₂ = 4 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 70° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v₀ = 20 m/sθ = 70°g = 9.81 m/s²

H = m

6.抛体运动困难

一个球从 5 m 高的悬崖顶部以 17 m/s、与水平方向成 20° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它落地时的速度 v。

v₀ = 17 m/sθ = 20°h = 5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

7.圆周运动中等

在游乐场的转筒中，乘客背靠在半径为 2.9 m 的竖直圆筒壁上。圆筒转得足够快时，底板下降，靠摩擦力托住乘客。静摩擦因数为 0.5。取 g = 9.81 m/s²。求最小角速度 ω，以 rad/s 表示。

r = 2.9 mμ_s = 0.5g = 9.81 m/s²

ω = rad/s

8.圆周运动困难

一个 1.8 kg 的小球系在长 1 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 7 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 1.8 kgr = 1 mv = 7 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个玩具发射器有一根刚度为 500 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.15 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 10 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。

m = 0.15 kgk = 500 N/mx = 10 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.功和能困难

一个 4 kg 的物块从光滑坡道上 4.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 1 m 的粗糙水平段（μ = 0.25），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 500 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 4 kgh = 4.5 mL = 1 mμ = 0.25k = 500 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一个以 27 m/s 水平运动的 4 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。3 kg 的碎片以 86 m/s 继续向前运动。求 1 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 4 kgu = 27 m/sm₁ = 3 kgv′₁ = 86 m/sm₂ = 1 kg

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一颗 15 g 的子弹水平射入一个用长 0.6 m 的轻绳悬挂的 4 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 40°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 15 gM = 4 kgL = 0.6 mθ = 40°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.刚体转动中等

一台电动机用 8 s 把转动惯量为 17 kg·m² 的飞轮从静止加速到 1500 rpm。忽略损耗，求它输出的平均功率 P_avg，单位 kW。

I = 17 kg·m²n = 1500 rpmt = 8 s

P_avg = kW

14.刚体转动困难

一个人站在无摩擦的转盘上，每只手各拿一个 4 kg 的哑铃，距转轴 0.9 m。人和转盘单独对转轴的转动惯量为 3 kg·m²。他们以 35 rpm 转动，然后把哑铃收到距转轴 0.3 m 处。把哑铃看作质点。求新的转速 n₂，单位 rpm。

I₀ = 3 kg·m²m = 2 × 4 kgr₁ = 0.9 mr₂ = 0.3 mn₁ = 35 rpm

n₂ = rpm

15.齿轮与齿轮系中等

两根平行轴相距 100 mm。须用一对模数为 2.5 mm、减速比为 4 : 1 的直齿圆柱齿轮把它们连接起来。小齿轮须有多少个齿 N₁？

a = 100 mmm = 2.5 mmi = 4

N₁ =

16.齿轮与齿轮系困难

一条开口皮带连接一个 160 mm 的带轮和一个 300 mm 的带轮，二者中心相距 1200 mm。求小带轮上的包角 θ，单位为度。

d₁ = 160 mmd₂ = 300 mmC = 1200 mm

θ = °

17.弹簧与单摆中等

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 1.9 m 的单摆在小幅摆动时周期为 6.8 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 1.9 mT = 6.8 s

g = m/s²

18.弹簧与单摆困难

一个 2.5 kg 的物体连在 k = 210 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 16 cm 后释放。求振动的总能量 E。

m = 2.5 kgk = 210 N/mA = 16 cm

E = J

19.机械振动中等

一个 8 kg 的质量块由刚度为 40 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 450 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。

m = 8 kgk = 40 kN/mc = 450 N·s/m

ζ =

20.机械振动困难

一个 100 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 50 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 60 kN/m 和 k₂ = 80 kN/m 悬挂；杆保持水平。忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 100 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 80 kN/mk₃ = 50 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: s = 41.15 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 80/3.6 = 22.22 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 22.22²/(2·6) = 41.15 m

答案

s = 41.15 m

2.运动学

答案: t = 4.37 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−15 = 18·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 18·t − 15 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (18 + √(18² + 2·9.81·15))/9.81 = 4.37 s

答案

t = 4.37 s

3.牛顿定律

答案: a = 4.427 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 40° − 0.25·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0.1915) = 4.427 m/s²

答案

a = 4.427 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 10.7 N

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (39.24 − 0)/5.5 = 7.135 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 1.5·7.135 + 0 = 10.7 N

答案

T = 10.7 N

5.抛体运动

答案: H = 18 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 20·cos 70° = 6.84 m/s

v_y = v₀·sin θ = 20·sin 70° = 18.79 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 18.79²/(2·9.81) = 18 m

答案

H = 18 m

6.抛体运动

答案: v = 19.67 m/s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

v_x = 17·cos 20° = 15.97 m/s

v_y0 = 17·sin 20° = 5.814 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(5.814² + 2·9.81·5) = 11.49 m/s

落水速度

v = √(15.97² + 11.49²) = 19.67 m/s

答案

v = 19.67 m/s

用能量校核：v² = v₀² + 2gh。

7.圆周运动

答案: ω = 2.601 rad/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

乘客受到的力

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

角速度

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.5·2.9)) = 2.601 rad/s

答案

ω = 2.601 rad/s

8.圆周运动

答案: T = 105.9 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 1.8·9.81 + 1.8·7²/1 = 17.66 + 88.2 = 105.9 N

答案

T = 105.9 N

9.功和能

答案: h = 1.699 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 10 cm = 0.1 m

½kx² = ½·500·0.1² = 2.5 J

高度

m·g = 0.15·9.81 = 1.472 N

h = ½kx²/(mg) = 2.5/1.472 = 1.699 m

答案

h = 1.699 m

10.功和能

答案: v = 9.132 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 39.24·(4.5 − 0.25·1) = 166.8 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·4.25) = 9.132 m/s

答案

v = 9.132 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = −150 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

碰撞前的动量

p = M·u = 4·27 = 108 kg·m/s

碰撞后的动量

108 = 3·86 + 1·v′₂

v′₂ = (108 − 258)/1 = −150 m/s

答案

v′₂ = −150 m/s

负号表示第二块碎片向后飞。

12.动量与碰撞

答案: v = 444.2 m/s

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 0.6·(1 − cos 40°) = 0.1404 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.1404) = 1.66 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 4.015·1.66/0.015 = 444.2 m/s

答案

v = 444.2 m/s

13.刚体转动

答案: P_avg = 26.22 kW

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

角速度

ω = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

能量

E = ½·I·ω² = ½·17·157.1² = 209729 J

平均功率

P_avg = E/t = 209729/8 = 26216 W = 26.22 kW

答案

P_avg = 26.22 kW

14.刚体转动

答案: n₂ = 89.19 rpm

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

转动惯量

I₁ = 3 + 2·4·0.9² = 9.48 kg·m²

I₂ = 3 + 2·4·0.3² = 3.72 kg·m²

角动量守恒

n₂ = n₁·I₁/I₂ = 35·9.48/3.72 = 89.19 rpm

答案

n₂ = 89.19 rpm

动能增加了：多出来的能量来自人收哑铃时所做的功。

15.齿轮与齿轮系

答案: N₁ = 16

齿轮几何：模数 m 决定齿的大小。齿数为 N 的齿轮分度圆直径为 d = m·N，相互啮合的两个齿轮模数相同，其中心距为 a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2。节线速度为 v = π·d·n/60，切向齿力由转矩求得：F_t = 2T/d。

总齿数

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·100/2.5 = 80

按传动比分配

N₁ = 80/(1 + 4) = 16

答案

N₁ = 16

16.齿轮与齿轮系

答案: θ = 173.3 °

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

皮带角

asin(0.05833) = 3.344°

包角

θ = 180 − 2·3.344 = 173.3°

答案

θ = 173.3°

17.弹簧与单摆

答案: g = 1.622 m/s²

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1.9/6.8² = 1.622 m/s²

答案

g = 1.622 m/s²

18.弹簧与单摆

答案: E = 2.688 J

角频率

ω = √(210/2.5) = 9.165 rad/s

能量

E = ½·k·A² = ½·210·0.16² = 2.688 J

答案

E = 2.688 J

19.机械振动

答案: ζ = 0.3977

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

临界阻尼

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(40000·8) = 1131 N·s/m

阻尼比

ζ = c/c_c = 450/1131 = 0.3977

答案

ζ = 0.3977

ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。

20.机械振动

答案: f_n = 3.055 Hz

等效刚度

只有 k₁ 和 k₂ 是并联的。这一对与 k₃ 串联，所以要按倒数组合。

k₁₂ = 60 + 80 = 140 kN/m

k_eq = 140·50/(140 + 50) = 36.84 kN/m

固有频率

ω_n = √(36842/100) = 19.19 rad/s

f_n = 19.19/(2π) = 3.055 Hz

答案

f_n = 3.055 Hz

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