动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以恒定的 34 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 6 m/s² 匀加速。警车需要多长时间追上？求 t。

v_car = 34 m/sa_police = 6 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.运动学困难

球 A 从 50 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 22 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它们在离地面多高处 y 相遇？

H = 50 mv_0B = 22 m/sg = 9.81 m/s²

y = m

3.牛顿定律中等

一个箱子以 9.5 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 11 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 9.5 m/sd = 11 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

倾角为 20° 的斜面上有一个 2 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 6.5 kg 物体相连。悬挂物向下运动。斜面无摩擦。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 2 kgm₂ = 6.5 kgθ = 20°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 70° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 34 m/sθ = 70°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从 10 m 高的悬崖顶上以高于水平面 55° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 27 m/sθ = 55°h = 10 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 125 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.6。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 125 mμ_s = 0.6g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个小球系在长 0.6 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。取 g = 9.81 m/s²。在最高点处，速度至少为多少 v_min 才能使绳子恰好保持绷紧？

r = 0.6 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一个玩具发射器有一根刚度为 400 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.2 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 6 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。

m = 0.2 kgk = 400 N/mx = 6 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.功和能困难

一辆 10 kg 的小车从光滑轨道上 17.5 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 5 m 的竖直圆环。求小车在圆环顶点时的速度 v。

m = 10 kgh = 17.5 mR = 5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 3 m/s 运动的 1 kg 滑块与一个静止的 4.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 1 kgm₂ = 4.5 kgv₁ = 3 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一辆 1000 kg 的汽车撞上一辆停放的 1900 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 7.5 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.75。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1000 kgm₂ = 1900 kgd = 7.5 mμ = 0.75g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.刚体转动中等

转动惯量为 27 kg·m² 的飞轮以 1800 rpm 转动。制动器施加 50 N·m 的恒定摩擦转矩。飞轮在停下之前转过多少圈 N？

I = 27 kg·m²n = 1800 rpmT_b = 50 N·m

N = rev

14.刚体转动困难

一个实心球沿与水平面成 15° 的斜面无滑动地滚下。取 g = 9.81 m/s²。它从静止开始。沿斜面滚下 8 m 需要多长时间 t？

θ = 15°I = (2/5)·m·r²g = 9.81 m/s²s = 8 m

t = s

15.齿轮与齿轮系中等

一个 125 mm 的带轮以 1450 rpm 通过皮带驱动一个 315 mm 的带轮，打滑率为 3 %。求从动轮的转速 n₂。

n₁ = 1450 rpmd₁ = 125 mmd₂ = 315 mms = 3 %

n₂ = rpm

16.齿轮与齿轮系困难

一条开口皮带把一个以 960 rpm 转动、直径 120 mm 的主动轮与一个 450 mm 的带轮相连；中心距为 800 mm。摩擦系数为 0.25，紧边张力不得超过 2000 N。求皮带在不打滑时能传递的最大功率 P，单位 kW（忽略离心效应）。

d₁ = 120 mmn₁ = 960 rpmd₂ = 450 mmC = 800 mmμ = 0.25T₁ = 2000 N

P = kW

17.弹簧与单摆中等

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 1.6 m 的单摆在小幅摆动时周期为 4.13 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 1.6 mT = 4.13 s

g = m/s²

18.弹簧与单摆困难

一个连在 k = 60 N/m 弹簧上的物体在无摩擦表面上以 6 cm 的振幅振动。求物体距平衡位置 2 cm 时弹簧中储存的能量 U。

k = 60 N/mA = 6 cmx = 2 cm

U = J

19.机械振动中等

一个 200 kg 的质量块由刚度为 100 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 2240 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。

m = 200 kgk = 100 kN/mc = 2240 N·s/m

ζ =

20.机械振动困难

一个 5 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 5 kN/m 和 k₂ = 40 kN/m。质量块保持水平。忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 5 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 40 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: t = 11.33 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·34/6 = 11.33 s

答案

t = 11.33 s

此时警车的速度为 2v = 68 m/s。

2.运动学

答案: y = 24.66 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

50 − ½g·t² = 22·t − ½g·t² → t = 50/22 = 2.273 s

相遇高度

y = 22·2.273 − ½·9.81·2.273² = 24.66 m

答案

y = 24.66 m

3.牛顿定律

答案: μ = 0.4182

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

减速度

a = v₀²/(2d) = 9.5²/(2·11) = 4.102 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 4.102/9.81 = 0.4182

答案

μ = 0.4182

4.牛顿定律

答案: a = 6.712 m/s²

沿绳子方向的力

m₂·g = 63.77 N

m₁·g·sin θ = 6.71 N

μ·m₁·g·cos θ = 0 N

系统的加速度

a = (63.77 − 6.71 − 0)/8.5 = 6.712 m/s²

答案

a = 6.712 m/s²

5.抛体运动

答案: t = 6.514 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 34·cos 70° = 11.63 m/s

v_y = v₀·sin θ = 34·sin 70° = 31.95 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·31.95/9.81 = 6.514 s

答案

t = 6.514 s

6.抛体运动

答案: x = 76.24 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 27·cos 55° = 15.49 m/s

v_y = v₀·sin θ = 27·sin 55° = 22.12 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 10 + 22.12·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (22.12 + √(489.2 + 196.2))/9.81 = 4.923 s

水平距离

x = v_x·t = 15.49·4.923 = 76.24 m

答案

x = 76.24 m

7.圆周运动

答案: v_max = 27.12 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.6·9.81·125) = 27.12 m/s

答案

v_max = 27.12 m/s (97.65 km/h)

8.圆周运动

答案: v_min = 2.426 m/s

最高点张力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·0.6) = 2.426 m/s

答案

v_min = 2.426 m/s

9.功和能

答案: h = 0.367 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 6 cm = 0.06 m

½kx² = ½·400·0.06² = 0.72 J

高度

m·g = 0.2·9.81 = 1.962 N

h = ½kx²/(mg) = 0.72/1.962 = 0.367 m

答案

h = 0.367 m

10.功和能

答案: v = 12.13 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(17.5 − 10) = 147.2 m²/s²

v = 12.13 m/s

答案

v = 12.13 m/s

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 1.091 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (1 − 4.5)/(1 + 4.5)·3 = −1.909 m/s

v′₂ = 2·1/(1 + 4.5)·3 = 1.091 m/s

答案

v′₂ = 1.091 m/s

12.动量与碰撞

答案: v₁ = 30.47 m/s

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.75·9.81·7.5) = 10.51 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2900·10.51/1000 = 30.47 m/s

答案

v₁ = 30.47 m/s

(109.7 km/h)

13.刚体转动

答案: N = 1527 rev

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

角速度

ω = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s

制动器做的功等于动能

½·I·ω² = ½·27·188.5² = 479663 J

θ = 479663/50 = 9593 rad

圈数

N = θ/2π = 1527 rev

答案

N = 1527 rev

14.刚体转动

答案: t = 2.97 s

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

运动方程

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0.4·m·r²·(a/r) → f = 0.4·m·a

加速度

a = g·sin θ/(1 + c) = 9.81·sin 15°/1.4 = 1.814 m/s²

时间

s = ½·a·t² → t = √(2·8/1.814) = 2.97 s

答案

t = 2.97 s

15.齿轮与齿轮系

答案: n₂ = 558.1 rpm

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

无打滑时的转速

1450·125/315 = 575.4 rpm

有打滑

n₂ = 575.4·0.97 = 558.1 rpm

答案

n₂ = 558.1 rpm

16.齿轮与齿轮系

答案: P = 5.961 kW

包角

θ = 2.726 rad

松边张力

e^μθ = e^0.6815 = 1.977, T₂ = 2000/1.977 = 1012 N

功率

P = (2000 − 1012)·6.032 = 5.961 kW

答案

P = 5.961 kW

17.弹簧与单摆

答案: g = 3.703 m/s²

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1.6/4.13² = 3.703 m/s²

答案

g = 3.703 m/s²

18.弹簧与单摆

答案: U = 0.012 J

总能量

E = ½·k·A² = ½·60·0.06² = 0.108 J

x 处的弹簧能量

U = ½·k·x² = ½·60·0.02² = 0.012 J

答案

U = 0.012 J

19.机械振动

答案: ζ = 0.2504

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

临界阻尼

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(100000·200) = 8944 N·s/m

阻尼比

ζ = c/c_c = 2240/8944 = 0.2504

答案

ζ = 0.2504

ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。

20.机械振动

答案: f_n = 15.1 Hz

等效刚度

并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k₁ + k₂。

k_eq = 5 + 40 = 45 kN/m

固有频率

ω_n = √(45000/5) = 94.87 rad/s

f_n = 94.87/(2π) = 15.1 Hz

答案

f_n = 15.1 Hz

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