动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以恒定的 26 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 5.5 m/s² 匀加速。警车在距其出发点多远处追上？求 d。

v_car = 26 m/sa_police = 5.5 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.运动学困难

从离地面 5 m 高的屋顶边缘以 5 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 5 m/sh₀ = 5 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 3 kg 的物块沿倾角为 20° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 3 kgθ = 20°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 1.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 1.5 kg 重物相连。桌面光滑。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 1.5 kgm₂ = 1.5 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 12 m/s、与水平方向成 65° 的角度朝 8 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 12 m/sθ = 65°x = 8 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从地面以 28 m/s、与水平方向成 45° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 7 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 28 m/sθ = 45°h_roof = 7 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

在游乐场的转筒中，乘客背靠在半径为 1.5 m 的竖直圆筒壁上。圆筒转得足够快时，底板下降，靠摩擦力托住乘客。静摩擦因数为 0.5。取 g = 9.81 m/s²。求最小转速 n，以每分钟转数表示。

r = 1.5 mμ_s = 0.5g = 9.81 m/s²

n = rpm

8.圆周运动困难

一辆 2 kg 的小车在无摩擦轨道上从 9 m 高处由静止释放，驶过一个半径为 2 m 的竖直圆环。取 g = 9.81 m/s²。求小车在圆环底部时轨道对它的法向力 N_bottom。

m = 2 kgh = 9 mR = 2 mg = 9.81 m/s²

N_bottom = N

9.功和能中等

一个 10 kg 的球挂在长 3 m 的轻绳上。把它拉向一侧，使绳与竖直方向成 45°，然后从静止释放。求球经过最低点时绳中的拉力 T。

m = 10 kgL = 3 mθ = 45°g = 9.81 m/s²

T = N

10.功和能困难

在 15° 斜坡底部有一根刚度为 3000 N/m 的弹簧，它顶着一个 0.5 kg 的物块被压缩 8 cm，然后释放。物块与斜坡之间的动摩擦因数为 0.1。物块从释放点沿斜坡向上滑行多远 d 后停下？（忽略弹簧推动的那一小段距离，即在整个距离 d 上都计入摩擦和重力。）

m = 0.5 kgk = 3000 N/mx = 8 cmθ = 15°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

d = m

11.动量与碰撞中等

一个以 10 m/s 水平运动的 19 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。3 kg 的碎片以 44 m/s 继续向前运动。求 16 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 19 kgu = 10 m/sm₁ = 3 kgv′₁ = 44 m/sm₂ = 16 kg

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.1 kg 的小球以 11 m/s 撞到墙上，并以 20 m/s 沿原路弹回。接触时间为 40 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.1 kgv_in = 11 m/sv_out = 20 m/sΔt = 40 ms

F_avg = N

13.刚体转动中等

质量为 11 kg、长为 2.2 m 的均匀细杆一端铰接，保持水平。从静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求释放瞬间自由端的加速度 a_tip。

m = 11 kgL = 2.2 mg = 9.81 m/s²

a_tip = m/s²

14.刚体转动困难

一个均匀实心圆盘（质量 27 kg，半径 0.3 m）绕无摩擦的竖直轴以 300 rpm 自由旋转。一个质量为 6 kg、半径相同的薄圆环从静止状态落到它上面，圆心对准转轴，两者很快一起旋转。求它们共同的转速 n₂，单位 rpm。

M_disc = 27 kgM_ring = 6 kgR = 0.3 mn₁ = 300 rpm

n₂ = rpm

15.齿轮与齿轮系中等

一个 100 mm 的带轮以 1440 rpm 通过皮带驱动一个 500 mm 的带轮，打滑率为 2 %。求从动轮的转速 n₂。

n₁ = 1440 rpmd₁ = 100 mmd₂ = 500 mms = 2 %

n₂ = rpm

16.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（15 齿）以 3000 rpm 转动，驱动齿轮 B（25 齿）。齿轮 C（18 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（80 齿）。求输出转速 n_out。

n_in = 3000 rpmA = 15B = 25C = 18D = 80

n_out = rpm

17.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 2.3 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 2.3 sg = 9.81 m/s²

L = m

18.弹簧与单摆困难

一颗以 450 m/s 运动的 15 g 子弹击中并留在一个放在无摩擦表面上的 3 kg 木块中。木块连在一根 k = 300 N/m 的水平弹簧上。求由此产生的振动的振幅 A，以 cm 表示。

m = 15 gv = 450 m/sM = 3 kgk = 300 N/m

A = cm

19.机械振动中等

一个 150 kg 的质量块挂在刚度为 100 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.7。求其自由振动的有阻尼固有频率 f_d，以 Hz 计。

m = 150 kgk = 100 kN/mζ = 0.7

f_d = Hz

20.机械振动困难

一个 50 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 40 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 50 kN/m 和 k₂ = 10 kN/m 悬挂；杆保持水平。忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 50 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 10 kN/mk₃ = 40 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: d = 245.8 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·26/5.5 = 9.455 s

距离

d = v·t = 26·9.455 = 245.8 m

答案

d = 245.8 m

此时警车的速度为 2v = 52 m/s。

2.运动学

答案: t = 1.641 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−5 = 5·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 5·t − 5 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (5 + √(5² + 2·9.81·5))/9.81 = 1.641 s

答案

t = 1.641 s

3.牛顿定律

答案: a = 1.972 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 20° − 0.15·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.141) = 1.972 m/s²

答案

a = 1.972 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 7.357 N

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (14.71 − 0)/3 = 4.905 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 1.5·4.905 + 0 = 7.357 N

答案

T = 7.357 N

5.抛体运动

答案: y = 4.95 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

到达墙的时间

v_x = 12·cos 65° = 5.071 m/s

t = x/v_x = 8/5.071 = 1.577 s

此时的高度

y = 10.88·1.577 − ½·9.81·1.577² = 4.95 m

答案

y = 4.95 m

球到达墙时已经在下落。

6.抛体运动

答案: x = 72.17 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

v_x = 19.8 m/s, v_y = 19.8 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

7 = 19.8·t − 4.905·t²

t = (19.8 + √(19.8² − 2·9.81·7))/9.81 = 3.645 s

水平距离

x = v_x·t = 19.8·3.645 = 72.17 m

答案

x = 72.17 m

7.圆周运动

答案: n = 34.54 rpm

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

乘客受到的力

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

角速度

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.5·1.5)) = 3.617 rad/s

转速

n = ω·60/(2π) = 34.54 rpm

答案

n = 34.54 rpm

8.圆周运动

答案: N_bottom = 196.2 N

由能量守恒求速度

v² = 2·9.81·9 = 176.6 m²/s²

受力

指向圆心为正。

N = m·v²/R + m·g = 2·176.6/2 + 19.62 = 196.2 N

答案

N_bottom = 196.2 N

9.功和能

答案: T = 155.6 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

最低点的速度

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·3·(1 − cos 45°) = 17.24 m²/s²

最低点的受力

m·g = 10·9.81 = 98.1 N

T = mg + mv²/L = 98.1 + 10·17.24/3 = 155.6 N

答案

T = 155.6 N

校核：T = mg(3 − 2cos θ) = 155.6 N。

10.功和能

答案: d = 5.507 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 8 cm = 0.08 m

½kx² = ½·3000·0.08² = 9.6 J

沿斜面的能量衡算

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 9.6/(4.905·(0.2588 + 0.1·0.9659)) = 5.507 m

答案

d = 5.507 m

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 3.625 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

碰撞前的动量

p = M·u = 19·10 = 190 kg·m/s

碰撞后的动量

190 = 3·44 + 16·v′₂

v′₂ = (190 − 132)/16 = 3.625 m/s

答案

v′₂ = 3.625 m/s

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 77.5 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.1·(20 + 11) = 3.1 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 3.1/0.04 = 77.5 N

答案

F_avg = 77.5 N

13.刚体转动

答案: a_tip = 14.71 m/s²

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

对销钉取矩

在释放的瞬间 ω = 0，所以没有向心加速度，质心笔直向下加速。

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9.81/(2·2.2) = 6.689 rad/s²

自由端的加速度

a_tip = α·L = 6.689·2.2 = 14.71 m/s²

答案

a_tip = 14.71 m/s²

对任何长度，a_tip = 1.5·g：自由端下落得比扔下的石头还快。

14.刚体转动

答案: n₂ = 207.7 rpm

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

转动惯量

I₁ = ½·27·0.3² = 1.215 kg·m²

I₂ = 6·0.3² = 0.54 kg·m²

角动量守恒

n₂ = n₁·I₁/(I₁ + I₂) = 300·1.215/1.755 = 207.7 rpm

答案

n₂ = 207.7 rpm

15.齿轮与齿轮系

答案: n₂ = 282.2 rpm

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

无打滑时的转速

1440·100/500 = 288 rpm

有打滑

n₂ = 288·0.98 = 282.2 rpm

答案

n₂ = 282.2 rpm

16.齿轮与齿轮系

答案: n_out = 405 rpm

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

第一级

n_B = 3000·15/25 = 1800 rpm = n_C

第二级

n_out = 1800·18/80 = 405 rpm

答案

n_out = 405 rpm

总传动比 = 7.407 : 1

17.弹簧与单摆

答案: L = 1.315 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(2.3/2π)² = 1.315 m

答案

L = 1.315 m

18.弹簧与单摆

答案: A = 22.44 cm

撞击后的速度

V = m·v/(m + M) = 0.015·450/3.015 = 2.239 m/s

角频率

ω = √(k/(m + M)) = √(300/3.015) = 9.975 rad/s

振幅

A = V/ω = 2.239/9.975 = 0.2244 m = 22.44 cm

答案

A = 22.44 cm

19.机械振动

答案: f_d = 2.935 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

无阻尼固有频率

ω_n = √(100000/150) = 25.82 rad/s

f_n = 25.82/(2π) = 4.109 Hz

有阻尼固有频率

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 4.109·√(1 − 0.7²) = 2.935 Hz

答案

f_d = 2.935 Hz

20.机械振动

答案: f_n = 3.487 Hz

等效刚度

只有 k₁ 和 k₂ 是并联的。这一对与 k₃ 串联，所以要按倒数组合。

k₁₂ = 50 + 10 = 60 kN/m

k_eq = 60·40/(60 + 40) = 24 kN/m

固有频率

ω_n = √(24000/50) = 21.91 rad/s

f_n = 21.91/(2π) = 3.487 Hz

答案

f_n = 3.487 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics