动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一位以 60 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 1 s，之后汽车以 8 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 60 km/ht_r = 1 sa = −8 m/s²

d = m

2.运动学困难

从离地面 25 m 高的屋顶边缘以 11 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求小球离地面的最大高度 h_max。

v₀ = 11 m/sh₀ = 25 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

质量为 5.5 kg 和 1.5 kg 的两个物体用轻绳相连，分别悬挂在一个轻质无摩擦滑轮的两侧。系统由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 5.5 kgm₂ = 1.5 kgg = 9.81 m/s²

T = N

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 80 N 的水平力拉前面 5 kg 的物块；7 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求物块的加速度 a。

m₁ = 7 kgm₂ = 5 kgF = 80 Nμ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 15° 的角度抛出，落在 25 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 15°R = 25 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 25 m 高的悬崖顶上以高于水平面 20° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 26 m/sθ = 20°h = 25 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

在游乐场的转筒中，乘客背靠在半径为 3 m 的竖直圆筒壁上。圆筒转得足够快时，底板下降，靠摩擦力托住乘客。静摩擦因数为 0.6。取 g = 9.81 m/s²。求最小转速 n，以每分钟转数表示。

r = 3 mμ_s = 0.6g = 9.81 m/s²

n = rpm

8.圆周运动困难

一个小球系在长 1.1 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。取 g = 9.81 m/s²。在最高点处，速度至少为多少 v_min 才能使绳子恰好保持绷紧？

r = 1.1 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 30° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.2。求它沿斜面滑行 17 m 后的速度 v。

θ = 30°μ = 0.2d = 17 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

一个 5 kg 的物块放在粗糙的水平桌面上（μ = 0.2）。一根轻绳从它出发，跨过桌边的光滑滑轮，连接一个悬挂的 2 kg 物块。系统由静止释放。求悬挂物块下降 1.5 m 后两物块的速度 v。

m₁ = 5 kgm₂ = 2 kgμ = 0.2d = 1.5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 12 m/s 运动的 1 kg 滑块与一个静止的 1.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 1 kgm₂ = 1.5 kgv₁ = 12 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

一颗 20 g 的子弹水平射入一个用长 1.4 m 的轻绳悬挂的 4 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 20°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 20 gM = 4 kgL = 1.4 mθ = 20°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.刚体转动中等

质量为 10 kg、长为 3 m 的均匀细杆一端铰接，保持水平。从静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求释放瞬间的角加速度 α。

m = 10 kgL = 3 mg = 9.81 m/s²

α = rad/s²

14.刚体转动困难

质量为 3 kg、长为 1.3 m 的均匀细杆，从无摩擦的上端枢轴处静止悬挂。一颗 20 g 的子弹以 140 m/s 的速度水平击中杆上枢轴下方 1.12 m 处并留在杆中。求撞击后瞬间杆的角速度 ω。

M = 3 kgL = 1.3 mm = 20 gv = 140 m/sd = 1.12 m

ω = rad/s

15.齿轮与齿轮系中等

一台 5.5 kW、转速 1440 rpm 的电动机驱动一个齿数为 18、模数为 2 mm 的小齿轮。求小齿轮齿上的切向力 F_t。

P = 5.5 kWn = 1440 rpmN₁ = 18m = 2 mm

F_t = N

16.齿轮与齿轮系困难

一条开口皮带连接一个 160 mm 的带轮和一个 450 mm 的带轮，二者中心相距 1200 mm。求小带轮上的包角 θ，单位为度。

d₁ = 160 mmd₂ = 450 mmC = 1200 mm

θ = °

17.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 80 N/m 弹簧上的 3.5 kg 物体被沿正方向拉开 14 cm，在 t = 0 时由静止释放。求 t = 1.25 s 时它相对于平衡位置的位移 x（带符号）。

m = 3.5 kgk = 80 N/mA = 14 cmt = 1.25 s

x = cm

18.弹簧与单摆困难

一个连在 k = 490 N/m 弹簧上的物体在无摩擦表面上以 12 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 2 cm 时的动能 K。

k = 490 N/mA = 12 cmx = 2 cm

K = J

19.机械振动中等

在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 10 mm 之后 5 个周期出现峰值 5.3 mm。求阻尼比 ζ。

x₀ = 10 mmx₅ = 5.3 mmn = 5

ζ =

20.机械振动困难

一个 100 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 30 kN/m 和 k₂ = 100 kN/m。质量块保持水平。求弹簧系统的等效刚度 k_eq，以 kN/m 计。

m = 100 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 100 kN/m

k_eq = kN/m

3溶液

1.运动学

答案: d = 34.03 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 60/3.6 = 16.67 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 16.67·1 = 16.67 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 16.67²/(2·8) = 17.36 m

合计

d = 16.67 + 17.36 = 34.03 m

答案

d = 34.03 m

2.运动学

答案: h_max = 31.17 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 11²/(2·9.81) = 6.167 m

离地面的高度

h_max = 25 + 6.167 = 31.17 m

答案

h_max = 31.17 m

3.牛顿定律

答案: T = 23.12 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

加速度

净驱动力是两个重量之差；它带动的是总质量。

a = (5.5 − 1.5)·9.81/(5.5 + 1.5) = 5.606 m/s²

由较轻物体求拉力

T − m₂·g = m₂·a → T = 1.5·(9.81 + 5.606) = 23.12 N

答案

T = 23.12 N

4.牛顿定律

答案: a = 5.686 m/s²

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (80 − 11.77)/12 = 5.686 m/s²

答案

a = 5.686 m/s²

5.抛体运动

答案: v₀ = 22.15 m/s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·25/sin 30°) = 22.15 m/s

答案

v₀ = 22.15 m/s

6.抛体运动

答案: x = 81.59 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 26·cos 20° = 24.43 m/s

v_y = v₀·sin θ = 26·sin 20° = 8.893 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 25 + 8.893·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (8.893 + √(79.08 + 490.5))/9.81 = 3.339 s

水平距离

x = v_x·t = 24.43·3.339 = 81.59 m

答案

x = 81.59 m

7.圆周运动

答案: n = 22.29 rpm

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

乘客受到的力

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

角速度

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.6·3)) = 2.335 rad/s

转速

n = ω·60/(2π) = 22.29 rpm

答案

n = 22.29 rpm

8.圆周运动

答案: v_min = 3.285 m/s

最高点张力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·1.1) = 3.285 m/s

答案

v_min = 3.285 m/s

9.功和能

答案: v = 10.44 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·17·(0.5 − 0.2·0.866)) = 10.44 m/s

答案

v = 10.44 m/s

10.功和能

答案: v = 2.05 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

释放和损失的能量

m₂g·d = 19.62·1.5 = 29.43 J

μ·m₁g·d = 0.2·49.05·1.5 = 14.72 J

两个物块的动能

½(m₁ + m₂)v² = 14.71 → v = √(2·14.71/7) = 2.05 m/s

答案

v = 2.05 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = −2.4 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (1 − 1.5)/(1 + 1.5)·12 = −2.4 m/s

v′₂ = 2·1/(1 + 1.5)·12 = 9.6 m/s

答案

v′₁ = −2.4 m/s

负号表示第一个滑块被弹回。

12.动量与碰撞

答案: v = 258.7 m/s

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 1.4·(1 − cos 20°) = 0.08443 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.08443) = 1.287 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 4.02·1.287/0.02 = 258.7 m/s

答案

v = 258.7 m/s

13.刚体转动

答案: α = 4.905 rad/s²

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

对销钉取矩

在释放的瞬间 ω = 0，所以没有向心加速度，质心笔直向下加速。

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9.81/(2·3) = 4.905 rad/s²

答案

α = 4.905 rad/s²

14.刚体转动

答案: ω = 1.828 rad/s

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

撞击后的转动惯量

I = M·L²/3 + m·d² = 3·1.3²/3 + 0.02·1.12² = 1.715 kg·m²

对枢轴的角动量

枢轴力通过枢轴，所以撞击期间它对枢轴没有力矩。

m·v·d = I·ω → ω = 0.02·140·1.12/1.715 = 1.828 rad/s

答案

ω = 1.828 rad/s

15.齿轮与齿轮系

答案: F_t = 2026 N

齿轮几何：模数 m 决定齿的大小。齿数为 N 的齿轮分度圆直径为 d = m·N，相互啮合的两个齿轮模数相同，其中心距为 a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2。节线速度为 v = π·d·n/60，切向齿力由转矩求得：F_t = 2T/d。

小齿轮上的转矩

ω = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s

T = P/ω = 5500/150.8 = 36.47 N·m

分度圆直径

d = m·N = 2·18 = 36 mm

切向力

F_t = 2T/d = 2·36.47/0.036 = 2026 N

答案

F_t = 2026 N

16.齿轮与齿轮系

答案: θ = 166.1 °

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

皮带角

asin(0.1208) = 6.94°

包角

θ = 180 − 2·6.94 = 166.1°

答案

θ = 166.1°

17.弹簧与单摆

答案: x = 13.35 cm

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(80/3.5) = 4.781 rad/s

ω·t = 4.781·1.25 = 5.976 rad

位移

x = A·cos(ω·t) = 14·cos(5.976) = 13.35 cm

答案

x = 13.35 cm

18.弹簧与单摆

答案: K = 3.43 J

总能量

E = ½·k·A² = ½·490·0.12² = 3.528 J

x 处的弹簧能量

U = ½·k·x² = ½·490·0.02² = 0.098 J

动能

K = 3.528 − 0.098 = 3.43 J

答案

K = 3.43 J

19.机械振动

答案: ζ = 0.0202

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

对数衰减率

δ = (1/5)·ln(10/5.3) = 0.127

阻尼比

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.127/√(39.48 + 0.01612) = 0.0202

答案

ζ = 0.0202

20.机械振动

答案: k_eq = 130 kN/m

等效刚度

并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k₁ + k₂。

k_eq = 30 + 100 = 130 kN/m

答案

k_eq = 130 kN/m

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