动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以恒定的 17 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 3 m/s² 匀加速。警车在距其出发点多远处追上？求 d。

v_car = 17 m/sa_police = 3 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.运动学困难

从离地面 25 m 高的屋顶边缘以 16 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 16 m/sh₀ = 25 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 45 kg 的箱子被一个平行于斜面的力沿与水平方向成 30° 的斜面匀速向上推。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求推力 F。

m = 45 kgθ = 30°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

F = N

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 150 N 的水平力拉前面 9 kg 的物块；6 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求物块的加速度 a。

m₁ = 6 kgm₂ = 9 kgF = 150 Nμ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 50° 的角度抛出，落在 30 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 50°R = 30 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 25 m 高的悬崖顶部以 13 m/s、与水平方向成 20° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它落地时与水平方向向下成多大角度 α？

v₀ = 13 m/sθ = 20°h = 25 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 100 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 100 mμ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个小球系在长 1.3 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。取 g = 9.81 m/s²。在最高点处，速度至少为多少 v_min 才能使绳子恰好保持绷紧？

r = 1.3 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一辆汽车在水平路面上以 70 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.5。求制动距离 d。

v = 70 km/hμ = 0.5g = 9.81 m/s²

d = m

10.功和能困难

一个 1 kg 的物块从光滑坡道上 5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 1.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.15），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 500 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 1 kgh = 5 mL = 1.5 mμ = 0.15k = 500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

一辆以 14 m/s 行驶的 1100 kg 汽车撞上一辆静止的 1000 kg 汽车，两车卡在一起。碰撞中损失了多少动能 ΔK？

m₁ = 1100 kgv₁ = 14 m/sm₂ = 1000 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.动量与碰撞困难

在一个十字路口，一辆以 23 m/s 向东行驶的 1600 kg 汽车与一辆以 19 m/s 向北行驶的 1700 kg 汽车相撞。两车卡在一起。求碰撞后瞬间残骸的方向 θ，以东偏北的角度表示。

m₁ = 1600 kgv₁ = 23 m/s (E)m₂ = 1700 kgv₂ = 19 m/s (N)

θ = °

13.刚体转动中等

一根轴在 600 rpm 时传递 52.5 kW。求轴中的转矩 T。

P = 52.5 kWn = 600 rpm

T = N·m

14.刚体转动困难

一个人站在无摩擦的转盘上，每只手各拿一个 2.5 kg 的哑铃，距转轴 0.75 m。人和转盘单独对转轴的转动惯量为 4 kg·m²。他们以 20 rpm 转动，然后把哑铃收到距转轴 0.35 m 处。把哑铃看作质点。求新的转速 n₂，单位 rpm。

I₀ = 4 kg·m²m = 2 × 2.5 kgr₁ = 0.75 mr₂ = 0.35 mn₁ = 20 rpm

n₂ = rpm

15.齿轮与齿轮系中等

一个 80 mm 的带轮以 720 rpm 通过皮带驱动一个 400 mm 的带轮，打滑率为 2 %。求从动轮的转速 n₂。

n₁ = 720 rpmd₁ = 80 mmd₂ = 400 mms = 2 %

n₂ = rpm

16.齿轮与齿轮系困难

一台 5.5 kW、1450 rpm 的电动机驱动齿轮 A（15 齿），A 与齿轮 B（36 齿）啮合。与 B 同轴的齿轮 C（12 齿）驱动输出轴上的齿轮 D（36 齿）。每对齿轮啮合的效率为 95%。求输出转矩 T_out。

P = 5.5 kWn_in = 1450 rpmA = 15B = 36C = 12D = 36η_mesh = 95%

T_out = N·m

17.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 360 N/m 弹簧上的 0.2 kg 物体在无摩擦表面上以 18 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 7 cm 时的速度 v。

m = 0.2 kgk = 360 N/mA = 18 cmx = 7 cm

v = m/s

18.弹簧与单摆困难

一个 1.9 kg 的物体连在 k = 240 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 17 cm 后释放。求振动的总能量 E。

m = 1.9 kgk = 240 N/mA = 17 cm

E = J

19.机械振动中等

一个 25 kg 的质量块由刚度为 15 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 60 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。

m = 25 kgk = 15 kN/mc = 60 N·s/m

ζ =

20.机械振动困难

一个 5 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 12 kN/m 和 k₂ = 10 kN/m。质量块保持水平。忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 5 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 10 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: d = 192.7 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·17/3 = 11.33 s

距离

d = v·t = 17·11.33 = 192.7 m

答案

d = 192.7 m

此时警车的速度为 2v = 34 m/s。

2.运动学

答案: t = 4.416 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−25 = 16·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 16·t − 25 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (16 + √(16² + 2·9.81·25))/9.81 = 4.416 s

答案

t = 4.416 s

3.牛顿定律

答案: F = 297.2 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

匀速：各力平衡。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

推力

F = 220.7 + 76.46 = 297.2 N

答案

F = 297.2 N

4.牛顿定律

答案: a = 8.528 m/s²

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (150 − 22.07)/15 = 8.528 m/s²

答案

a = 8.528 m/s²

5.抛体运动

答案: v₀ = 17.29 m/s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·30/sin 100°) = 17.29 m/s

答案

v₀ = 17.29 m/s

6.抛体运动

答案: α = 61.6 °

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

v_x = 13·cos 20° = 12.22 m/s

v_y0 = 13·sin 20° = 4.446 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(4.446² + 2·9.81·25) = 22.59 m/s

落地角度

tan α = v_y/v_x = 22.59/12.22 → α = 61.6°

答案

α = 61.6°

7.圆周运动

答案: v_max = 17.16 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.3·9.81·100) = 17.16 m/s

答案

v_max = 17.16 m/s (61.76 km/h)

8.圆周运动

答案: v_min = 3.571 m/s

最高点张力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·1.3) = 3.571 m/s

答案

v_min = 3.571 m/s

9.功和能

答案: d = 38.54 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

以基本单位表示的速度

v = 70/3.6 = 19.44 m/s

能量衡算

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 19.44²/(2·0.5·9.81) = 38.54 m

答案

d = 38.54 m

速度加倍，制动距离变为四倍。

10.功和能

答案: x = 43.29 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 9.81·(5 − 0.15·1.5) = 46.84 J

最大压缩量

½kx² = 46.84 → x = √(2·46.84/500) = 0.4329 m = 43.29 cm

答案

x = 43.29 cm

11.动量与碰撞

答案: ΔK = 51333 J

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1100·14/2100 = 7.333 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·1100·14² = 107800 J

K_after = ½·2100·7.333² = 56467 J

损失的能量

ΔK = 107800 − 56467 = 51333 J

答案

ΔK = 51333 J

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: θ = 41.27 °

动量分量

p_x = 1600·23 = 36800 kg·m/s

p_y = 1700·19 = 32300 kg·m/s

方向

tan θ = p_y/p_x = 0.8777 → θ = 41.27°

答案

θ = 41.27°

13.刚体转动

答案: T = 835.6 N·m

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

角速度

ω = 2π·600/60 = 62.83 rad/s

扭矩

T = P/ω = 52500/62.83 = 835.6 N·m

答案

T = 835.6 N·m

14.刚体转动

答案: n₂ = 29.54 rpm

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

转动惯量

I₁ = 4 + 2·2.5·0.75² = 6.813 kg·m²

I₂ = 4 + 2·2.5·0.35² = 4.612 kg·m²

角动量守恒

n₂ = n₁·I₁/I₂ = 20·6.813/4.612 = 29.54 rpm

答案

n₂ = 29.54 rpm

动能增加了：多出来的能量来自人收哑铃时所做的功。

15.齿轮与齿轮系

答案: n₂ = 141.1 rpm

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

无打滑时的转速

720·80/400 = 144 rpm

有打滑

n₂ = 144·0.98 = 141.1 rpm

答案

n₂ = 141.1 rpm

16.齿轮与齿轮系

答案: T_out = 235.4 N·m

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

输出转速

n_out = 1450·(15/36)·(12/36) = 201.4 rpm

ω_out = 2π·201.4/60 = 21.09 rad/s

输出功率和转矩

P_out = 5500·0.95² = 4964 W

T_out = P_out/ω_out = 4964/21.09 = 235.4 N·m

答案

T_out = 235.4 N·m

17.弹簧与单摆

答案: v = 7.036 m/s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(360/0.2) = 42.43 rad/s

x 处的速度

v = ω·√(A² − x²) = 42.43·√(0.18² − 0.07²) = 7.036 m/s

答案

v = 7.036 m/s

18.弹簧与单摆

答案: E = 3.468 J

角频率

ω = √(240/1.9) = 11.24 rad/s

能量

E = ½·k·A² = ½·240·0.17² = 3.468 J

答案

E = 3.468 J

19.机械振动

答案: ζ = 0.04899

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

临界阻尼

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(15000·25) = 1225 N·s/m

阻尼比

ζ = c/c_c = 60/1225 = 0.04899

答案

ζ = 0.04899

ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。

20.机械振动

答案: f_n = 10.56 Hz

等效刚度

并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k₁ + k₂。

k_eq = 12 + 10 = 22 kN/m

固有频率

ω_n = √(22000/5) = 66.33 rad/s

f_n = 66.33/(2π) = 10.56 Hz

答案

f_n = 10.56 Hz

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