动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 72 km/h 行驶的汽车以 3.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 72 km/ha = −3.5 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

从离地面 5 m 高的屋顶边缘以 6 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求小球离地面的最大高度 h_max。

v₀ = 6 m/sh₀ = 5 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 17 kg 的物块沿倾角为 45° 的光滑斜面下滑。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 17 kgθ = 45°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 7 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 5.5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 7 kgm₂ = 5.5 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 34 m/s 抛出，必须落在 75 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 34 m/sR = 75 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.抛体运动困难

一个球从 55 m 高的悬崖顶上以高于水平面 60° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 21 m/sθ = 60°h = 55 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

在游乐场的转筒中，乘客背靠在半径为 1.8 m 的竖直圆筒壁上。圆筒转得足够快时，底板下降，靠摩擦力托住乘客。静摩擦因数为 0.8。取 g = 9.81 m/s²。求最小转速 n，以每分钟转数表示。

r = 1.8 mμ_s = 0.8g = 9.81 m/s²

n = rpm

8.圆周运动困难

一个半径为 170 m 的弯道倾斜 15°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不向上、向外滑出的最高速度 v_max。

r = 170 mθ = 15°μ_s = 0.15g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 40° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.35。求它沿斜面滑行 9 m 后的速度 v。

θ = 40°μ = 0.35d = 9 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

一辆 1 kg 的小车从光滑轨道上 5.6 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 2 m 的竖直圆环。求小车在圆环顶点时轨道对它的法向力 N。

m = 1 kgh = 5.6 mR = 2 mg = 9.81 m/s²

N = N

11.动量与碰撞中等

一辆以 25 m/s 行驶的 1500 kg 汽车撞上一辆静止的 800 kg 汽车，两车卡在一起。原有动能损失了百分之多少 ΔK/K？

m₁ = 1500 kgv₁ = 25 m/sm₂ = 800 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.动量与碰撞困难

一颗 20 g 的子弹水平射入一个用长 0.9 m 的轻绳悬挂的 1 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 40°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 20 gM = 1 kgL = 0.9 mθ = 40°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.刚体转动中等

质量为 10.5 kg、长为 1.1 m 的均匀细杆一端铰接，保持水平。从静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求释放瞬间的角加速度 α。

m = 10.5 kgL = 1.1 mg = 9.81 m/s²

α = rad/s²

14.刚体转动困难

一个均匀实心圆盘（质量 5 kg，半径 0.5 m）绕无摩擦的竖直轴以 800 rpm 自由旋转。一个质量为 12 kg、半径相同的薄圆环从静止状态落到它上面，圆心对准转轴，两者很快一起旋转。在这个过程中损失了多少动能 ΔE？

M_disc = 5 kgM_ring = 12 kgR = 0.5 mn₁ = 800 rpm

ΔE = J

15.齿轮与齿轮系中等

一台 1.1 kW 的电动机以 2900 rpm 运转，驱动一个齿数为 20 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 36 的大齿轮啮合。忽略损失。求齿轮轴上的输出扭矩 T₂。

P = 1.1 kWn₁ = 2900 rpmN₁ = 20N₂ = 36η = 100%

T₂ = N·m

16.齿轮与齿轮系困难

一台 2.2 kW、960 rpm 的电动机驱动齿轮 A（20 齿），A 与齿轮 B（80 齿）啮合。与 B 同轴的齿轮 C（16 齿）驱动输出轴上的齿轮 D（20 齿）。每对齿轮啮合的效率为 97%。求输出转矩 T_out。

P = 2.2 kWn_in = 960 rpmA = 20B = 80C = 16D = 20η_mesh = 97%

T_out = N·m

17.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 60 N/m 弹簧上的 2.6 kg 物体被沿正方向拉开 13 cm，在 t = 0 时由静止释放。求 t = 0.15 s 时它相对于平衡位置的位移 x（带符号）。

m = 2.6 kgk = 60 N/mA = 13 cmt = 0.15 s

x = cm

18.弹簧与单摆困难

一个 2.6 kg 的物体连在 k = 290 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 13 cm 后释放。求振动的总能量 E。

m = 2.6 kgk = 290 N/mA = 13 cm

E = J

19.机械振动中等

一个 100 kg 的质量块挂在刚度为 20 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.35。求其自由振动的有阻尼固有频率 f_d，以 Hz 计。

m = 100 kgk = 20 kN/mζ = 0.35

f_d = Hz

20.机械振动困难

一个 20 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 80 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 100 kN/m 和 k₂ = 15 kN/m 悬挂；杆保持水平。忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 20 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 15 kN/mk₃ = 80 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: t = 5.714 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 72/3.6 = 20 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 20/3.5 = 5.714 s

答案

t = 5.714 s

2.运动学

答案: h_max = 6.835 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 6²/(2·9.81) = 1.835 m

离地面的高度

h_max = 5 + 1.835 = 6.835 m

答案

h_max = 6.835 m

3.牛顿定律

答案: a = 6.937 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 45° − 0·cos 45°) = 9.81·(0.7071 − 0) = 6.937 m/s²

答案

a = 6.937 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 3.218 m/s²

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (53.96 − 13.73)/12.5 = 3.218 m/s²

答案

a = 3.218 m/s²

5.抛体运动

答案: θ = 19.76 °

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·75/34² = 0.6365

相角

2θ = 39.53° → θ = 19.76°

答案

θ = 19.76°

另一个解为 90° − θ = 70.24°。

6.抛体运动

答案: t = 5.681 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 21·cos 60° = 10.5 m/s

v_y = v₀·sin θ = 21·sin 60° = 18.19 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 55 + 18.19·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (18.19 + √(330.8 + 1079))/9.81 = 5.681 s

答案

t = 5.681 s

7.圆周运动

答案: n = 24.92 rpm

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

乘客受到的力

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

角速度

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.8·1.8)) = 2.61 rad/s

转速

n = ω·60/(2π) = 24.92 rpm

答案

n = 24.92 rpm

8.圆周运动

答案: v_max = 26.95 m/s

力的平衡

摩擦力沿斜面向下。

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(170·9.81·0.4037/0.9271) = 26.95 m/s

答案

v_max = 26.95 m/s

(97.01 km/h)

9.功和能

答案: v = 8.134 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·9·(0.6428 − 0.35·0.766)) = 8.134 m/s

答案

v = 8.134 m/s

10.功和能

答案: N = 5.886 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(5.6 − 4) = 31.39 m²/s²

顶点的受力

m·g = 1·9.81 = 9.81 N

N = mv²/R − mg = 1·31.39/2 − 9.81 = 5.886 N

答案

N = 5.886 N

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

11.动量与碰撞

答案: ΔK/K = 34.78 %

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1500·25/2300 = 16.3 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·1500·25² = 468750 J

K_after = ½·2300·16.3² = 305707 J

损失的比例

ΔK/K = 163043/468750 = 34.78 %

答案

ΔK/K = 34.78 %

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: v = 103.7 m/s

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 0.9·(1 − cos 40°) = 0.2106 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.2106) = 2.033 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 1.02·2.033/0.02 = 103.7 m/s

答案

v = 103.7 m/s

13.刚体转动

答案: α = 13.38 rad/s²

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

对销钉取矩

在释放的瞬间 ω = 0，所以没有向心加速度，质心笔直向下加速。

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9.81/(2·1.1) = 13.38 rad/s²

答案

α = 13.38 rad/s²

14.刚体转动

答案: ΔE = 1815 J

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

转动惯量

I₁ = ½·5·0.5² = 0.625 kg·m²

I₂ = 12·0.5² = 3 kg·m²

角动量守恒

n₂ = n₁·I₁/(I₁ + I₂) = 800·0.625/3.625 = 137.9 rpm

碰撞前后的动能

E₁ = ½·0.625·83.78² = 2193 J

E₂ = ½·3.625·14.44² = 378.1 J

ΔE = 2193 − 378.1 = 1815 J

答案

ΔE = 1815 J

15.齿轮与齿轮系

答案: T₂ = 6.52 N·m

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

电动机扭矩

ω₁ = 2π·2900/60 = 303.7 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1100/303.7 = 3.622 N·m

输出扭矩

T₂ = 3.622·36/20·1 = 6.52 N·m

答案

T₂ = 6.52 N·m

16.齿轮与齿轮系

答案: T_out = 103 N·m

输出转速

n_out = 960·(20/80)·(16/20) = 192 rpm

ω_out = 2π·192/60 = 20.11 rad/s

输出功率和转矩

P_out = 2200·0.97² = 2070 W

T_out = P_out/ω_out = 2070/20.11 = 103 N·m

答案

T_out = 103 N·m

17.弹簧与单摆

答案: x = 9.769 cm

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(60/2.6) = 4.804 rad/s

ω·t = 4.804·0.15 = 0.7206 rad

位移

x = A·cos(ω·t) = 13·cos(0.7206) = 9.769 cm

答案

x = 9.769 cm

18.弹簧与单摆

答案: E = 2.451 J

角频率

ω = √(290/2.6) = 10.56 rad/s

能量

E = ½·k·A² = ½·290·0.13² = 2.451 J

答案

E = 2.451 J

19.机械振动

答案: f_d = 2.108 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

无阻尼固有频率

ω_n = √(20000/100) = 14.14 rad/s

f_n = 14.14/(2π) = 2.251 Hz

有阻尼固有频率

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 2.251·√(1 − 0.35²) = 2.108 Hz

答案

f_d = 2.108 Hz

20.机械振动

答案: f_n = 7.73 Hz

等效刚度

只有 k₁ 和 k₂ 是并联的。这一对与 k₃ 串联，所以要按倒数组合。

k₁₂ = 100 + 15 = 115 kN/m

k_eq = 115·80/(115 + 80) = 47.18 kN/m

固有频率

ω_n = √(47179/20) = 48.57 rad/s

f_n = 48.57/(2π) = 7.73 Hz

答案

f_n = 7.73 Hz

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