动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 100 km/h 行驶的汽车以 3 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 100 km/ha = −3 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

一辆有轨电车从静止开始以 3 m/s² 加速 12 s，然后匀速行驶 20 s，最后以 3.5 m/s² 制动直到停止。求两站之间的总距离 s。

a₁ = 3 m/s²t₁ = 12 st₂ = 20 sa₃ = −3.5 m/s²

s = m

3.牛顿定律中等

一个箱子以 3.5 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 2.1 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 3.5 m/sd = 2.1 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 4 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 4.5 kg 重物相连。桌面光滑。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 4 kgm₂ = 4.5 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 40° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 16 m/sθ = 40°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从 45 m 高的悬崖顶上以高于水平面 25° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 23 m/sθ = 25°h = 45 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一个系在长 1.5 m 绳上的小球做水平圆周运动，绳与竖直方向保持 25° 的恒定夹角（圆锥摆）。取 g = 9.81 m/s²。求小球的速度 v。

L = 1.5 mθ = 25°g = 9.81 m/s²

v = m/s

8.圆周运动困难

一辆小车在无摩擦轨道上由静止释放，驶入一个半径为 9.5 m 的竖直圆环。它必须从高出圆环底部至少多高 h_min 处出发，才能在圆环顶部保持在轨道上？

R = 9.5 mv₀ = 0

h_min = m

9.功和能中等

一个 1 kg 的物块沿倾角 40° 的斜面下滑 13 m，动摩擦因数为 0.35。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 1 kgθ = 40°μ = 0.35d = 13 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

在 15° 斜坡底部有一根刚度为 3000 N/m 的弹簧，它顶着一个 5 kg 的物块被压缩 8 cm，然后释放。物块与斜坡之间的动摩擦因数为 0.15。物块从释放点沿斜坡向上滑行多远 d 后停下？（忽略弹簧推动的那一小段距离，即在整个距离 d 上都计入摩擦和重力。）

m = 5 kgk = 3000 N/mx = 8 cmθ = 15°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

d = m

11.动量与碰撞中等

一颗 8 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 1 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 8 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 8 gM = 1 kgh = 8 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.55 kg 的小球以 24 m/s 撞到墙上，并以 10 m/s 沿原路弹回。接触时间为 20 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.55 kgv_in = 24 m/sv_out = 10 m/sΔt = 20 ms

J = N·s

13.刚体转动中等

转动惯量为 31.5 kg·m² 的飞轮以 2800 rpm 转动。制动器施加 165 N·m 的恒定摩擦转矩。飞轮在停下之前转过多少圈 N？

I = 31.5 kg·m²n = 2800 rpmT_b = 165 N·m

N = rev

14.刚体转动困难

一个实心球从静止开始，沿与水平面成 10° 的斜面无滑动地滚下。取 g = 9.81 m/s²。它的半径为 0.35 m。求它沿斜面滚过 2.5 m 后的角速度 ω。

θ = 10°s = 2.5 mI = (2/5)·m·r²g = 9.81 m/s²r = 0.35 m

ω = rad/s

15.齿轮与齿轮系中等

一台 1.5 kW 的电动机以 1500 rpm 运转，驱动一个齿数为 48 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 80 的大齿轮啮合。该齿轮副的效率为 95%。求电动机轴上的扭矩 T₁。

P = 1.5 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 48N₂ = 80η = 95%

T₁ = N·m

16.齿轮与齿轮系困难

一条开口皮带把一个以 1440 rpm 转动、直径 160 mm 的主动轮与一个 200 mm 的带轮相连；中心距为 1000 mm。摩擦系数为 0.25，紧边张力不得超过 1200 N。求皮带在不打滑时能传递的最大功率 P，单位 kW（忽略离心效应）。

d₁ = 160 mmn₁ = 1440 rpmd₂ = 200 mmC = 1000 mmμ = 0.25T₁ = 1200 N

P = kW

17.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 1.9 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 1.9 sg = 9.81 m/s²

L = m

18.弹簧与单摆困难

一个连在 k = 360 N/m 弹簧上的物体在无摩擦表面上以 8 cm 的振幅振动。求物体距平衡位置 4 cm 时弹簧中储存的能量 U。

k = 360 N/mA = 8 cmx = 4 cm

U = J

19.机械振动中等

一个 5 kg 的质量块由刚度为 25 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 40 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。

m = 5 kgk = 25 kN/mc = 40 N·s/m

ζ =

20.机械振动困难

一个 40 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 20 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 10 kN/m 和 k₂ = 80 kN/m 悬挂；杆保持水平。忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 40 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 80 kN/mk₃ = 20 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: t = 9.259 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 100/3.6 = 27.78 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 27.78/3 = 9.259 s

答案

t = 9.259 s

2.运动学

答案: s = 1121 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

最高速度

v = a₁·t₁ = 3·12 = 36 m/s

各阶段的距离

s₁ = ½·3·12² = 216 m

s₂ = 36·20 = 720 m

s₃ = 36²/(2·3.5) = 185.1 m

总距离

s = 216 + 720 + 185.1 = 1121 m

答案

s = 1121 m

3.牛顿定律

答案: μ = 0.2973

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

减速度

a = v₀²/(2d) = 3.5²/(2·2.1) = 2.917 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 2.917/9.81 = 0.2973

答案

μ = 0.2973

4.牛顿定律

答案: T = 20.77 N

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44.15 − 0)/8.5 = 5.194 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 4·5.194 + 0 = 20.77 N

答案

T = 20.77 N

5.抛体运动

答案: t = 2.097 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 40° = 12.26 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 40° = 10.28 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·10.28/9.81 = 2.097 s

答案

t = 2.097 s

6.抛体运动

答案: x = 87.08 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 23·cos 25° = 20.85 m/s

v_y = v₀·sin θ = 23·sin 25° = 9.72 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 45 + 9.72·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (9.72 + √(94.48 + 882.9))/9.81 = 4.178 s

水平距离

x = v_x·t = 20.85·4.178 = 87.08 m

答案

x = 87.08 m

7.圆周运动

答案: v = 1.703 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

圆的半径

r = L·sin θ = 1.5·sin 25° = 0.6339 m

速率

拉力和重力共同提供向心的力：tan θ = v²/(r·g)。

v = √(r·g·tan θ) = √(0.6339·9.81·tan 25°) = 1.703 m/s

答案

v = 1.703 m/s

8.圆周运动

答案: h_min = 23.75 m

顶部的条件

m·g = m·v²/R → v² = g·R

能量守恒

g·h = g·2R + ½·g·R → h = 2.5·R = 2.5·9.5 = 23.75 m

答案

h_min = 23.75 m

9.功和能

答案: W_f = 34.19 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 9.81·0.766 = 7.515 N

F = μN = 0.35·7.515 = 2.63 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 2.63·13 = 34.19 J

答案

W_f = 34.19 J

10.功和能

答案: d = 0.4848 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 8 cm = 0.08 m

½kx² = ½·3000·0.08² = 9.6 J

沿斜面的能量衡算

m·g = 5·9.81 = 49.05 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 9.6/(49.05·(0.2588 + 0.15·0.9659)) = 0.4848 m

答案

d = 0.4848 m

11.动量与碰撞

答案: v = 157.9 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.08) = 1.253 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.008 + 1)·1.253/0.008 = 157.9 m/s

答案

v = 157.9 m/s

12.动量与碰撞

答案: J = 18.7 N·s

动量的变化量

J = m·Δv = 0.55·(10 + 24) = 18.7 N·s

答案

J = 18.7 N·s

13.刚体转动

答案: N = 1306 rev

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

角速度

ω = 2π·2800/60 = 293.2 rad/s

制动器做的功等于动能

½·I·ω² = ½·31.5·293.2² = 1.354 × 10⁶ J

θ = 1.354 × 10⁶/165 = 8207 rad

圈数

N = θ/2π = 1306 rev

答案

N = 1306 rev

14.刚体转动

答案: ω = 7.047 rad/s

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

下降的高度

h = s·sin θ = 2.5·sin 10° = 0.4341 m

滚动时的能量平衡

无滑动滚动：ω = v/r，接触点处的摩擦力不做功。

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 0.4)

v = √(2·9.81·0.4341/1.4) = 2.467 m/s

ω = v/r = 2.467/0.35 = 7.047 rad/s

答案

ω = 7.047 rad/s

15.齿轮与齿轮系

答案: T₁ = 9.549 N·m

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

电动机扭矩

ω₁ = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1500/157.1 = 9.549 N·m

答案

T₁ = 9.549 N·m

16.齿轮与齿轮系

答案: P = 7.81 kW

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

包角

θ = 3.102 rad

松边张力

e^μθ = e^0.7754 = 2.171, T₂ = 1200/2.171 = 552.6 N

功率

P = (1200 − 552.6)·12.06 = 7.81 kW

答案

P = 7.81 kW

17.弹簧与单摆

答案: L = 0.897 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(1.9/2π)² = 0.897 m

答案

L = 0.897 m

18.弹簧与单摆

答案: U = 0.288 J

总能量

E = ½·k·A² = ½·360·0.08² = 1.152 J

x 处的弹簧能量

U = ½·k·x² = ½·360·0.04² = 0.288 J

答案

U = 0.288 J

19.机械振动

答案: ζ = 0.05657

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

临界阻尼

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(25000·5) = 707.1 N·s/m

阻尼比

ζ = c/c_c = 40/707.1 = 0.05657

答案

ζ = 0.05657

ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。

20.机械振动

答案: f_n = 3.219 Hz

等效刚度

只有 k₁ 和 k₂ 是并联的。这一对与 k₃ 串联，所以要按倒数组合。

k₁₂ = 10 + 80 = 90 kN/m

k_eq = 90·20/(90 + 20) = 16.36 kN/m

固有频率

ω_n = √(16364/40) = 20.23 rad/s

f_n = 20.23/(2π) = 3.219 Hz

答案

f_n = 3.219 Hz

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