动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 80 km/h 行驶的汽车以 4.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 80 km/ha = −4.5 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

从离地面 10 m 高的屋顶边缘以 10 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 10 m/sh₀ = 10 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 13 kg 的物块沿倾角为 25° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 13 kgθ = 25°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 5.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 3 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 5.5 kgm₂ = 3 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 70° 的角度抛出，落在 140 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 70°R = 140 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 30 m 高的悬崖顶上以高于水平面 30° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 33 m/sθ = 30°h = 30 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 65 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.6。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 65 mμ_s = 0.6g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一辆 3 kg 的小车在无摩擦轨道上从 16.65 m 高处由静止释放，驶过一个半径为 4.5 m 的竖直圆环。取 g = 9.81 m/s²。求小车在圆环顶部时轨道对它的法向力 N_top。

m = 3 kgh = 16.65 mR = 4.5 mg = 9.81 m/s²

N_top = N

9.功和能中等

一辆汽车在水平路面上以 90 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.5。求制动距离 d。

v = 90 km/hμ = 0.5g = 9.81 m/s²

d = m

10.功和能困难

一个 4 kg 的物块从光滑坡道上 4 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 1 m 的粗糙水平段（μ = 0.1），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1500 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 4 kgh = 4 mL = 1 mμ = 0.1k = 1500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

一个以 29 m/s 水平运动的 8 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。5 kg 的碎片以 83 m/s 继续向前运动。求 3 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 8 kgu = 29 m/sm₁ = 5 kgv′₁ = 83 m/sm₂ = 3 kg

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.6 kg 的小球以 10 m/s 撞到墙上，并以 17 m/s 沿原路弹回。接触时间为 50 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.6 kgv_in = 10 m/sv_out = 17 m/sΔt = 50 ms

J = N·s

13.刚体转动中等

质量为 7 kg、长为 1.2 m 的均匀细杆一端铰接，在水平位置从静止释放。一个质量为 3.5 kg 的小球固定在它的自由端。忽略摩擦，取 g = 9.81 m/s²。求杆摆过竖直位置时自由端的速度 v。

m = 7 kgL = 1.2 mm_ball = 3.5 kgg = 9.81 m/s²

v = m/s

14.刚体转动困难

一个人站在无摩擦的转盘上，每只手各拿一个 5 kg 的哑铃，距转轴 0.65 m。人和转盘单独对转轴的转动惯量为 3.5 kg·m²。他们以 45 rpm 转动，然后把哑铃收到距转轴 0.35 m 处。把哑铃看作质点。求新的转速 n₂，单位 rpm。

I₀ = 3.5 kg·m²m = 2 × 5 kgr₁ = 0.65 mr₂ = 0.35 mn₁ = 45 rpm

n₂ = rpm

15.齿轮与齿轮系中等

一个 3 头的蜗杆以 1440 rpm 转动，驱动一个 60 齿的蜗轮。求蜗轮的转速 n_w。

z = 3N_w = 60n = 1440 rpm

n_w = rpm

16.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（16 齿）以 1440 rpm 转动，驱动齿轮 B（18 齿）。齿轮 C（48 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D。输出轴须以 768 rpm 转动。齿轮 D 须有多少个齿 N_D？

n_in = 1440 rpmA = 16B = 18C = 48n_out = 768 rpm

N_D =

17.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 2.6 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 2.6 mg = 9.81 m/s²

T = s

18.弹簧与单摆困难

一个 1.9 kg 的物体连在 k = 40 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 11 cm 后释放。求振动的总能量 E。

m = 1.9 kgk = 40 N/mA = 11 cm

E = J

19.机械振动中等

一个 80 kg 的质量块挂在刚度为 50 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.3。求其自由振动的有阻尼固有频率 f_d，以 Hz 计。

m = 80 kgk = 50 kN/mζ = 0.3

f_d = Hz

20.机械振动困难

一个 50 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 25 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 25 kN/m 和 k₂ = 12 kN/m 悬挂；杆保持水平。忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 50 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 12 kN/mk₃ = 25 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: t = 4.938 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 80/3.6 = 22.22 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 22.22/4.5 = 4.938 s

答案

t = 4.938 s

2.运动学

答案: t = 2.774 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−10 = 10·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 10·t − 10 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (10 + √(10² + 2·9.81·10))/9.81 = 2.774 s

答案

t = 2.774 s

3.牛顿定律

答案: a = 3.257 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 25° − 0.1·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0.09063) = 3.257 m/s²

答案

a = 3.257 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 2.193 m/s²

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (29.43 − 10.79)/8.5 = 2.193 m/s²

答案

a = 2.193 m/s²

5.抛体运动

答案: v₀ = 46.22 m/s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·140/sin 140°) = 46.22 m/s

答案

v₀ = 46.22 m/s

6.抛体运动

答案: x = 133.5 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 33·cos 30° = 28.58 m/s

v_y = v₀·sin θ = 33·sin 30° = 16.5 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 30 + 16.5·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (16.5 + √(272.2 + 588.6))/9.81 = 4.673 s

水平距离

x = v_x·t = 28.58·4.673 = 133.5 m

答案

x = 133.5 m

7.圆周运动

答案: v_max = 19.56 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.6·9.81·65) = 19.56 m/s

答案

v_max = 19.56 m/s (70.42 km/h)

8.圆周运动

答案: N_top = 70.63 N

由能量守恒求速度

v² = 2·9.81·(16.65 − 2·4.5) = 150.1 m²/s²

受力

指向圆心为正。

N = m·v²/R − m·g = 3·150.1/4.5 − 29.43 = 70.63 N

答案

N_top = 70.63 N

9.功和能

答案: d = 63.71 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

以基本单位表示的速度

v = 90/3.6 = 25 m/s

能量衡算

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 25²/(2·0.5·9.81) = 63.71 m

答案

d = 63.71 m

速度加倍，制动距离变为四倍。

10.功和能

答案: x = 45.17 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 39.24·(4 − 0.1·1) = 153 J

最大压缩量

½kx² = 153 → x = √(2·153/1500) = 0.4517 m = 45.17 cm

答案

x = 45.17 cm

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = −61 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

碰撞前的动量

p = M·u = 8·29 = 232 kg·m/s

碰撞后的动量

232 = 5·83 + 3·v′₂

v′₂ = (232 − 415)/3 = −61 m/s

答案

v′₂ = −61 m/s

负号表示第二块碎片向后飞。

12.动量与碰撞

答案: J = 16.2 N·s

动量的变化量

J = m·Δv = 0.6·(17 + 10) = 16.2 N·s

答案

J = 16.2 N·s

13.刚体转动

答案: v = 5.315 m/s

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

势能的减少

m·g·L/2 + m_ball·g·L = 7·9.81·0.6 + 3.5·9.81·1.2 = 82.4 J

对销钉的转动惯量

I_O = m·L²/3 + m_ball·L² = 3.36 + 5.04 = 8.4 kg·m²

能量衡算

½·I_O·ω² = 82.4 → ω = √(2·82.4/8.4) = 4.429 rad/s

v = ω·L = 4.429·1.2 = 5.315 m/s

答案

v = 5.315 m/s

14.刚体转动

答案: n₂ = 73.57 rpm

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

转动惯量

I₁ = 3.5 + 2·5·0.65² = 7.725 kg·m²

I₂ = 3.5 + 2·5·0.35² = 4.725 kg·m²

角动量守恒

n₂ = n₁·I₁/I₂ = 45·7.725/4.725 = 73.57 rpm

答案

n₂ = 73.57 rpm

动能增加了：多出来的能量来自人收哑铃时所做的功。

15.齿轮与齿轮系

答案: n_w = 72 rpm

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

蜗轮转速

n_w = n·z/N_w = 1440·3/60 = 72 rpm

答案

n_w = 72 rpm

16.齿轮与齿轮系

答案: N_D = 80

中间轴转速

n_B = n_C = 1440·16/18 = 1280 rpm

齿轮 D 的齿数

N_D = C·n_C/n_out = 48·1280/768 = 80

答案

N_D = 80

17.弹簧与单摆

答案: T = 3.235 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(2.6/9.81) = 3.235 s

答案

T = 3.235 s

18.弹簧与单摆

答案: E = 0.242 J

角频率

ω = √(40/1.9) = 4.588 rad/s

能量

E = ½·k·A² = ½·40·0.11² = 0.242 J

答案

E = 0.242 J

19.机械振动

答案: f_d = 3.796 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

无阻尼固有频率

ω_n = √(50000/80) = 25 rad/s

f_n = 25/(2π) = 3.979 Hz

有阻尼固有频率

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 3.979·√(1 − 0.3²) = 3.796 Hz

答案

f_d = 3.796 Hz

20.机械振动

答案: f_n = 2.749 Hz

等效刚度

只有 k₁ 和 k₂ 是并联的。这一对与 k₃ 串联，所以要按倒数组合。

k₁₂ = 25 + 12 = 37 kN/m

k_eq = 37·25/(37 + 25) = 14.92 kN/m

固有频率

ω_n = √(14919/50) = 17.27 rad/s

f_n = 17.27/(2π) = 2.749 Hz

答案

f_n = 2.749 Hz

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