动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 54 km/h 行驶的汽车以 7.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 54 km/ha = −7.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

从离地面 20 m 高的屋顶边缘以 15 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 15 m/sh₀ = 20 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 9 kg 的物块沿倾角为 40° 的光滑斜面下滑。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 9 kgθ = 40°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 7.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 3 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 7.5 kgm₂ = 3 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 45° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 20 m/sθ = 45°g = 9.81 m/s²

x = m

6.抛体运动困难

一个球从地面以 27 m/s、与水平方向成 55° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 17 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 27 m/sθ = 55°h_roof = 17 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 120 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 120 mμ_s = 0.7g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 1.8 kg 的小球系在长 0.6 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 3.5 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 1.8 kgr = 0.6 mv = 3.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个 5 kg 的球挂在长 0.5 m 的轻绳上。把它拉向一侧，使绳与竖直方向成 45°，然后从静止释放。求球经过最低点时绳中的拉力 T。

m = 5 kgL = 0.5 mθ = 45°g = 9.81 m/s²

T = N

10.功和能困难

一个 10 kg 的物块从 35° 斜坡的底部由静止开始，被一个平行于斜坡、大小为 120 N 的恒力沿斜坡向上拉。动摩擦因数为 0.2。求物块沿斜坡向上移动 6 m 后的速度 v。

m = 10 kgF = 120 Nθ = 35°μ = 0.2d = 6 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一辆以 12 m/s 行驶的 800 kg 汽车撞上一辆静止的 1800 kg 汽车，两车卡在一起。原有动能损失了百分之多少 ΔK/K？

m₁ = 800 kgv₁ = 12 m/sm₂ = 1800 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.动量与碰撞困难

在一个十字路口，一辆以 18 m/s 向东行驶的 800 kg 汽车与一辆以 19 m/s 向北行驶的 1300 kg 汽车相撞。两车卡在一起。求碰撞后瞬间残骸的速度 v′。

m₁ = 800 kgv₁ = 18 m/s (E)m₂ = 1300 kgv₂ = 19 m/s (N)

v′ = m/s

13.刚体转动中等

质量为 4.5 kg、长为 1.7 m 的均匀细杆一端铰接，保持水平。从静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求释放瞬间销钉对杆的竖直力 R。

m = 4.5 kgL = 1.7 mg = 9.81 m/s²

R = N

14.刚体转动困难

一个薄圆环从静止开始，沿与水平面成 15° 的斜面无滑动地滚下。取 g = 9.81 m/s²。求它沿斜面滚过 3.5 m 后的速度 v。

θ = 15°s = 3.5 mI = m·r²g = 9.81 m/s²

v = m/s

15.齿轮与齿轮系中等

两根平行轴相距 150 mm。须用一对模数为 2 mm、减速比为 5 : 1 的直齿圆柱齿轮把它们连接起来。小齿轮须有多少个齿 N₁？

a = 150 mmm = 2 mmi = 5

N₁ =

16.齿轮与齿轮系困难

一条开口皮带把一个以 1450 rpm 转动、直径 120 mm 的主动轮与一个 250 mm 的带轮相连；中心距为 1000 mm。摩擦系数为 0.25，紧边张力不得超过 1000 N。求皮带在不打滑时能传递的最大功率 P，单位 kW（忽略离心效应）。

d₁ = 120 mmn₁ = 1450 rpmd₂ = 250 mmC = 1000 mmμ = 0.25T₁ = 1000 N

P = kW

17.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 300 N/m 弹簧上的 2.5 kg 物体在无摩擦表面上以 6 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 2 cm 时的速度 v。

m = 2.5 kgk = 300 N/mA = 6 cmx = 2 cm

v = m/s

18.弹簧与单摆困难

一个 0.7 kg 的物体连在 k = 270 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 3 cm 后释放。求它的最大加速度 a_max。

m = 0.7 kgk = 270 N/mA = 3 cm

a_max = m/s²

19.机械振动中等

一个 100 kg 的质量块由刚度为 20 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 140 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。

m = 100 kgk = 20 kN/mc = 140 N·s/m

ζ =

20.机械振动困难

一个 50 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 40 kN/m 和 k₂ = 80 kN/m。质量块保持水平。求弹簧系统的等效刚度 k_eq，以 kN/m 计。

m = 50 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 80 kN/m

k_eq = kN/m

3溶液

1.运动学

答案: s = 15 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 54/3.6 = 15 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 15²/(2·7.5) = 15 m

答案

s = 15 m

2.运动学

答案: t = 4.062 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−20 = 15·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 15·t − 20 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (15 + √(15² + 2·9.81·20))/9.81 = 4.062 s

答案

t = 4.062 s

3.牛顿定律

答案: a = 6.306 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 40° − 0·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0) = 6.306 m/s²

答案

a = 6.306 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 1.401 m/s²

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (29.43 − 14.71)/10.5 = 1.401 m/s²

答案

a = 1.401 m/s²

5.抛体运动

答案: x = 40.77 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 20·cos 45° = 14.14 m/s

v_y = v₀·sin θ = 20·sin 45° = 14.14 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·14.14/9.81 = 2.883 s

水平距离

x = v_x·t = 14.14·2.883 = 40.77 m

答案

x = 40.77 m

6.抛体运动

答案: x = 54.61 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

v_x = 15.49 m/s, v_y = 22.12 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

17 = 22.12·t − 4.905·t²

t = (22.12 + √(22.12² − 2·9.81·17))/9.81 = 3.526 s

水平距离

x = v_x·t = 15.49·3.526 = 54.61 m

答案

x = 54.61 m

7.圆周运动

答案: v_max = 28.71 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.7·9.81·120) = 28.71 m/s

答案

v_max = 28.71 m/s (103.3 km/h)

8.圆周运动

答案: T = 54.41 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 1.8·9.81 + 1.8·3.5²/0.6 = 17.66 + 36.75 = 54.41 N

答案

T = 54.41 N

9.功和能

答案: T = 77.78 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

最低点的速度

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·0.5·(1 − cos 45°) = 2.873 m²/s²

最低点的受力

m·g = 5·9.81 = 49.05 N

T = mg + mv²/L = 49.05 + 5·2.873/0.5 = 77.78 N

答案

T = 77.78 N

校核：T = mg(3 − 2cos θ) = 77.78 N。

10.功和能

答案: v = 7.563 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面方向的力

m·g = 10·9.81 = 98.1 N

mg·sin θ = 56.27 N

μ·mg·cos θ = 16.07 N

功–能关系

½mv² = (120 − 72.34)·6 = 286 J

v = √(2·286/10) = 7.563 m/s

答案

v = 7.563 m/s

11.动量与碰撞

答案: ΔK/K = 69.23 %

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 800·12/2600 = 3.692 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·800·12² = 57600 J

K_after = ½·2600·3.692² = 17723 J

损失的比例

ΔK/K = 39877/57600 = 69.23 %

答案

ΔK/K = 69.23 %

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: v′ = 13.61 m/s

动量分量

p_x = 800·18 = 14400 kg·m/s

p_y = 1300·19 = 24700 kg·m/s

残骸的速度

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 28591/2100 = 13.61 m/s

答案

v′ = 13.61 m/s

13.刚体转动

答案: R = 11.04 N

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

对销钉取矩

在释放的瞬间 ω = 0，所以没有向心加速度，质心笔直向下加速。

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9.81/(2·1.7) = 8.656 rad/s²

竖直方向的力

a_G = α·L/2 = 7.357 m/s²

m·g − R = m·a_G → R = 4.5·(9.81 − 7.357) = 11.04 N

答案

R = 11.04 N

R = m·g/4，与长度无关。

14.刚体转动

答案: v = 2.981 m/s

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

下降的高度

h = s·sin θ = 3.5·sin 15° = 0.9059 m

滚动时的能量平衡

无滑动滚动：ω = v/r，接触点处的摩擦力不做功。

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 1)

v = √(2·9.81·0.9059/2) = 2.981 m/s

答案

v = 2.981 m/s

15.齿轮与齿轮系

答案: N₁ = 25

齿轮几何：模数 m 决定齿的大小。齿数为 N 的齿轮分度圆直径为 d = m·N，相互啮合的两个齿轮模数相同，其中心距为 a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2。节线速度为 v = π·d·n/60，切向齿力由转矩求得：F_t = 2T/d。

总齿数

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·150/2 = 150

按传动比分配

N₁ = 150/(1 + 5) = 25

答案

N₁ = 25

16.齿轮与齿轮系

答案: P = 4.819 kW

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

包角

θ = 3.012 rad

松边张力

e^μθ = e^0.7529 = 2.123, T₂ = 1000/2.123 = 471 N

功率

P = (1000 − 471)·9.111 = 4.819 kW

答案

P = 4.819 kW

17.弹簧与单摆

答案: v = 0.6197 m/s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(300/2.5) = 10.95 rad/s

x 处的速度

v = ω·√(A² − x²) = 10.95·√(0.06² − 0.02²) = 0.6197 m/s

答案

v = 0.6197 m/s

18.弹簧与单摆

答案: a_max = 11.57 m/s²

角频率

ω = √(270/0.7) = 19.64 rad/s

最大加速度

a_max = A·ω² = 0.03·19.64² = 11.57 m/s²

答案

a_max = 11.57 m/s²

19.机械振动

答案: ζ = 0.0495

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

临界阻尼

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(20000·100) = 2828 N·s/m

阻尼比

ζ = c/c_c = 140/2828 = 0.0495

答案

ζ = 0.0495

ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。

20.机械振动

答案: k_eq = 120 kN/m

等效刚度

并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k₁ + k₂。

k_eq = 40 + 80 = 120 kN/m

答案

k_eq = 120 kN/m

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