动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 50 km/h 行驶的汽车以 7.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 50 km/ha = −7.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

从离地面 30 m 高的屋顶边缘以 5 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 5 m/sh₀ = 30 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 13 kg 的物块沿倾角为 35° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 13 kgθ = 35°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

倾角为 35° 的斜面上有一个 1.5 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 8.5 kg 物体相连。悬挂物向下运动。物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 1.5 kgm₂ = 8.5 kgθ = 35°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 45° 的角度抛出，落在 65 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 45°R = 65 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 20 m 高的悬崖顶上以高于水平面 55° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 35 m/sθ = 55°h = 20 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一个系在长 1.8 m 绳上的小球做水平圆周运动，绳与竖直方向保持 15° 的恒定夹角（圆锥摆）。取 g = 9.81 m/s²。求小球的速度 v。

L = 1.8 mθ = 15°g = 9.81 m/s²

v = m/s

8.圆周运动困难

一个 0.7 kg 的球系在长 0.9 m 的轻绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点它的速度为 9.5 m/s。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求最高点时绳中的拉力 T_top。

m = 0.7 kgr = 0.9 mv_bottom = 9.5 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.功和能中等

一个玩具发射器有一根刚度为 800 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.5 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 5 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。

m = 0.5 kgk = 800 N/mx = 5 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.功和能困难

在 15° 斜坡底部有一根刚度为 5000 N/m 的弹簧，它顶着一个 5 kg 的物块被压缩 15 cm，然后释放。物块与斜坡之间的动摩擦因数为 0.25。物块从释放点沿斜坡向上滑行多远 d 后停下？（忽略弹簧推动的那一小段距离，即在整个距离 d 上都计入摩擦和重力。）

m = 5 kgk = 5000 N/mx = 15 cmθ = 15°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

d = m

11.动量与碰撞中等

一颗 15 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 2.5 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 13 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 15 gM = 2.5 kgh = 13 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.动量与碰撞困难

一辆 1200 kg 的汽车撞上一辆停放的 1000 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 10.5 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.8。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1200 kgm₂ = 1000 kgd = 10.5 mμ = 0.8g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.刚体转动中等

一台电动机用 5 s 把转动惯量为 39.5 kg·m² 的飞轮从静止加速到 1700 rpm。忽略损耗，求它输出的平均功率 P_avg，单位 kW。

I = 39.5 kg·m²n = 1700 rpmt = 5 s

P_avg = kW

14.刚体转动困难

一个薄圆环从静止开始，沿与水平面成 10° 的斜面无滑动地滚下。取 g = 9.81 m/s²。求它沿斜面滚过 2.5 m 后的速度 v。

θ = 10°s = 2.5 mI = m·r²g = 9.81 m/s²

v = m/s

15.齿轮与齿轮系中等

一个 120 mm 的带轮以 960 rpm 通过皮带驱动一个 400 mm 的带轮，打滑率为 1 %。求从动轮的转速 n₂。

n₁ = 960 rpmd₁ = 120 mmd₂ = 400 mms = 1 %

n₂ = rpm

16.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（18 齿）以 1500 rpm 转动，驱动齿轮 B（30 齿）。齿轮 C（30 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D。输出轴须以 540 rpm 转动。齿轮 D 须有多少个齿 N_D？

n_in = 1500 rpmA = 18B = 30C = 30n_out = 540 rpm

N_D =

17.弹簧与单摆中等

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 2 m 的单摆在小幅摆动时周期为 6.98 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 2 mT = 6.98 s

g = m/s²

18.弹簧与单摆困难

把一个 3 kg 的物体挂在一根 k = 320 N/m、处于原长的竖直弹簧下端，然后由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求弹簧的最大伸长量 x_max，以 cm 表示。

m = 3 kgk = 320 N/mg = 9.81 m/s²

x_max = cm

19.机械振动中等

一个 10 kg 的质量块由刚度为 12 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 350 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。

m = 10 kgk = 12 kN/mc = 350 N·s/m

ζ =

20.机械振动困难

一个 20 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 5 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 12 kN/m 和 k₂ = 100 kN/m 悬挂；杆保持水平。忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 20 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 100 kN/mk₃ = 5 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: s = 12.86 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 50/3.6 = 13.89 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 13.89²/(2·7.5) = 12.86 m

答案

s = 12.86 m

2.运动学

答案: t = 3.035 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−30 = 5·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 5·t − 30 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (5 + √(5² + 2·9.81·30))/9.81 = 3.035 s

答案

t = 3.035 s

3.牛顿定律

答案: a = 3.618 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 35° − 0.25·cos 35°) = 9.81·(0.5736 − 0.2048) = 3.618 m/s²

答案

a = 3.618 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 22.24 N

沿绳子方向的力

m₂·g = 83.39 N

m₁·g·sin θ = 8.44 N

μ·m₁·g·cos θ = 3.013 N

系统的加速度

a = (83.39 − 8.44 − 3.013)/10 = 7.193 m/s²

由悬挂物求拉力

m₂·g − T = m₂·a → T = 8.5·(9.81 − 7.193) = 22.24 N

答案

T = 22.24 N

5.抛体运动

答案: v₀ = 25.25 m/s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·65/sin 90°) = 25.25 m/s

答案

v₀ = 25.25 m/s

6.抛体运动

答案: t = 6.475 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 35·cos 55° = 20.08 m/s

v_y = v₀·sin θ = 35·sin 55° = 28.67 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 20 + 28.67·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (28.67 + √(822 + 392.4))/9.81 = 6.475 s

答案

t = 6.475 s

7.圆周运动

答案: v = 1.107 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

圆的半径

r = L·sin θ = 1.8·sin 15° = 0.4659 m

速率

拉力和重力共同提供向心的力：tan θ = v²/(r·g)。

v = √(r·g·tan θ) = √(0.4659·9.81·tan 15°) = 1.107 m/s

答案

v = 1.107 m/s

8.圆周运动

答案: T_top = 35.86 N

顶点的速度

在高度 2r 上，动能转化为势能。

v_top² = 9.5² − 4·9.81·0.9 = 54.93 m²/s²

顶点的受力

拉力和重力都向下，指向圆心。

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0.7·54.93/0.9 − 0.7·9.81 = 35.86 N

答案

T_top = 35.86 N

9.功和能

答案: h = 0.2039 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 5 cm = 0.05 m

½kx² = ½·800·0.05² = 1 J

高度

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N

h = ½kx²/(mg) = 1/4.905 = 0.2039 m

答案

h = 0.2039 m

10.功和能

答案: d = 2.292 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 15 cm = 0.15 m

½kx² = ½·5000·0.15² = 56.25 J

沿斜面的能量衡算

m·g = 5·9.81 = 49.05 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 56.25/(49.05·(0.2588 + 0.25·0.9659)) = 2.292 m

答案

d = 2.292 m

11.动量与碰撞

答案: v = 267.8 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.13) = 1.597 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.015 + 2.5)·1.597/0.015 = 267.8 m/s

答案

v = 267.8 m/s

12.动量与碰撞

答案: v₁ = 23.54 m/s

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.8·9.81·10.5) = 12.84 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2200·12.84/1200 = 23.54 m/s

答案

v₁ = 23.54 m/s

(84.73 km/h)

13.刚体转动

答案: P_avg = 125.2 kW

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

角速度

ω = 2π·1700/60 = 178 rad/s

能量

E = ½·I·ω² = ½·39.5·178² = 625925 J

平均功率

P_avg = E/t = 625925/5 = 125185 W = 125.2 kW

答案

P_avg = 125.2 kW

14.刚体转动

答案: v = 2.064 m/s

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

下降的高度

h = s·sin θ = 2.5·sin 10° = 0.4341 m

滚动时的能量平衡

无滑动滚动：ω = v/r，接触点处的摩擦力不做功。

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 1)

v = √(2·9.81·0.4341/2) = 2.064 m/s

答案

v = 2.064 m/s

15.齿轮与齿轮系

答案: n₂ = 285.1 rpm

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

无打滑时的转速

960·120/400 = 288 rpm

有打滑

n₂ = 288·0.99 = 285.1 rpm

答案

n₂ = 285.1 rpm

16.齿轮与齿轮系

答案: N_D = 50

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

中间轴转速

n_B = n_C = 1500·18/30 = 900 rpm

齿轮 D 的齿数

N_D = C·n_C/n_out = 30·900/540 = 50

答案

N_D = 50

17.弹簧与单摆

答案: g = 1.621 m/s²

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·2/6.98² = 1.621 m/s²

答案

g = 1.621 m/s²

18.弹簧与单摆

答案: x_max = 18.39 cm

平衡位置和振幅

x₀ = m·g/k = 3·9.81/320 = 0.09197 m = A

最低点

x_max = 2A = 0.1839 m = 18.39 cm

答案

x_max = 18.39 cm

19.机械振动

答案: ζ = 0.5052

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

临界阻尼

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(12000·10) = 692.8 N·s/m

阻尼比

ζ = c/c_c = 350/692.8 = 0.5052

答案

ζ = 0.5052

ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。

20.机械振动

答案: f_n = 2.462 Hz

等效刚度

只有 k₁ 和 k₂ 是并联的。这一对与 k₃ 串联，所以要按倒数组合。

k₁₂ = 12 + 100 = 112 kN/m

k_eq = 112·5/(112 + 5) = 4.786 kN/m

固有频率

ω_n = √(4786/20) = 15.47 rad/s

f_n = 15.47/(2π) = 2.462 Hz

答案

f_n = 2.462 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics