动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 45 km/h 行驶的汽车以 3.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 45 km/ha = −3.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

从离地面 30 m 高的屋顶边缘以 14 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 14 m/sh₀ = 30 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个箱子以 5.5 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 5.1 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 5.5 m/sd = 5.1 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

倾角为 25° 的斜面上有一个 8 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 10 kg 物体相连。悬挂物向下运动。物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 8 kgm₂ = 10 kgθ = 25°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 45° 的角度抛出，落在 105 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 45°R = 105 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 5 m 高的悬崖顶上以高于水平面 60° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 16 m/sθ = 60°h = 5 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 35 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.6。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 35 mμ_s = 0.6g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一辆小车在无摩擦轨道上由静止释放，驶入一个半径为 6 m 的竖直圆环。它必须从高出圆环底部至少多高 h_min 处出发，才能在圆环顶部保持在轨道上？

R = 6 mv₀ = 0

h_min = m

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 30° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.25。求它沿斜面滑行 4 m 后的速度 v。

θ = 30°μ = 0.25d = 4 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

一个 0.5 kg 的物块从光滑坡道上 3.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 5 m 的粗糙水平段（μ = 0.3），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 5000 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 0.5 kgh = 3.5 mL = 5 mμ = 0.3k = 5000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一辆以 17 m/s 行驶的 1300 kg 汽车撞上一辆静止的 1100 kg 汽车，两车卡在一起。碰撞中损失了多少动能 ΔK？

m₁ = 1300 kgv₁ = 17 m/sm₂ = 1100 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.动量与碰撞困难

在一个十字路口，一辆以 12 m/s 向东行驶的 2000 kg 汽车与一辆以 11 m/s 向北行驶的 2000 kg 汽车相撞。两车卡在一起。求碰撞后瞬间残骸的速度 v′。

m₁ = 2000 kgv₁ = 12 m/s (E)m₂ = 2000 kgv₂ = 11 m/s (N)

v′ = m/s

13.刚体转动中等

质量为 14 kg、长为 0.8 m 的均匀细杆一端铰接，保持水平。从静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求释放瞬间的角加速度 α。

m = 14 kgL = 0.8 mg = 9.81 m/s²

α = rad/s²

14.刚体转动困难

一个人站在无摩擦的转盘上，每只手各拿一个 5.5 kg 的哑铃，距转轴 0.75 m。人和转盘单独对转轴的转动惯量为 3 kg·m²。他们以 60 rpm 转动，然后把哑铃收到距转轴 0.2 m 处。把哑铃看作质点。求新的转速 n₂，单位 rpm。

I₀ = 3 kg·m²m = 2 × 5.5 kgr₁ = 0.75 mr₂ = 0.2 mn₁ = 60 rpm

n₂ = rpm

15.齿轮与齿轮系中等

两根平行轴相距 180 mm。须用一对模数为 3 mm、减速比为 4 : 1 的直齿圆柱齿轮把它们连接起来。小齿轮须有多少个齿 N₁？

a = 180 mmm = 3 mmi = 4

N₁ =

16.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（72 齿）以 1450 rpm 转动，驱动齿轮 B（80 齿）。齿轮 C（25 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（72 齿）。求输出转速 n_out。

n_in = 1450 rpmA = 72B = 80C = 25D = 72

n_out = rpm

17.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 2.2 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 2.2 sg = 9.81 m/s²

L = m

18.弹簧与单摆困难

一个 3.1 kg 的物体连在 k = 20 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 5 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 3.1 kgk = 20 N/mA = 5 cm

v_max = m/s

19.机械振动中等

一个 8 kg 的质量块由刚度为 50 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 60 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。

m = 8 kgk = 50 kN/mc = 60 N·s/m

ζ =

20.机械振动困难

一个 100 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 40 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 60 kN/m 和 k₂ = 60 kN/m 悬挂；杆保持水平。忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 100 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 60 kN/mk₃ = 40 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: s = 22.32 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 45/3.6 = 12.5 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 12.5²/(2·3.5) = 22.32 m

答案

s = 22.32 m

2.运动学

答案: t = 4.282 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−30 = 14·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 14·t − 30 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (14 + √(14² + 2·9.81·30))/9.81 = 4.282 s

答案

t = 4.282 s

3.牛顿定律

答案: μ = 0.3023

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

减速度

a = v₀²/(2d) = 5.5²/(2·5.1) = 2.966 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 2.966/9.81 = 0.3023

答案

μ = 0.3023

4.牛顿定律

答案: a = 2.62 m/s²

沿绳子方向的力

m₂·g = 98.1 N

m₁·g·sin θ = 33.17 N

μ·m₁·g·cos θ = 17.78 N

系统的加速度

a = (98.1 − 33.17 − 17.78)/18 = 2.62 m/s²

答案

a = 2.62 m/s²

5.抛体运动

答案: v₀ = 32.09 m/s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·105/sin 90°) = 32.09 m/s

答案

v₀ = 32.09 m/s

6.抛体运动

答案: t = 3.149 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 60° = 8 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 60° = 13.86 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 5 + 13.86·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (13.86 + √(192 + 98.1))/9.81 = 3.149 s

答案

t = 3.149 s

7.圆周运动

答案: v_max = 14.35 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.6·9.81·35) = 14.35 m/s

答案

v_max = 14.35 m/s (51.67 km/h)

8.圆周运动

答案: h_min = 15 m

顶部的条件

m·g = m·v²/R → v² = g·R

能量守恒

g·h = g·2R + ½·g·R → h = 2.5·R = 2.5·6 = 15 m

答案

h_min = 15 m

9.功和能

答案: v = 4.717 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·4·(0.5 − 0.25·0.866)) = 4.717 m/s

答案

v = 4.717 m/s

10.功和能

答案: v = 6.264 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 4.905·(3.5 − 0.3·5) = 9.81 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·2) = 6.264 m/s

答案

v = 6.264 m/s

11.动量与碰撞

答案: ΔK = 86098 J

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1300·17/2400 = 9.208 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·1300·17² = 187850 J

K_after = ½·2400·9.208² = 101752 J

损失的能量

ΔK = 187850 − 101752 = 86098 J

答案

ΔK = 86098 J

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: v′ = 8.139 m/s

动量分量

p_x = 2000·12 = 24000 kg·m/s

p_y = 2000·11 = 22000 kg·m/s

残骸的速度

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 32558/4000 = 8.139 m/s

答案

v′ = 8.139 m/s

13.刚体转动

答案: α = 18.39 rad/s²

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

对销钉取矩

在释放的瞬间 ω = 0，所以没有向心加速度，质心笔直向下加速。

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9.81/(2·0.8) = 18.39 rad/s²

答案

α = 18.39 rad/s²

14.刚体转动

答案: n₂ = 160.2 rpm

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

转动惯量

I₁ = 3 + 2·5.5·0.75² = 9.188 kg·m²

I₂ = 3 + 2·5.5·0.2² = 3.44 kg·m²

角动量守恒

n₂ = n₁·I₁/I₂ = 60·9.188/3.44 = 160.2 rpm

答案

n₂ = 160.2 rpm

动能增加了：多出来的能量来自人收哑铃时所做的功。

15.齿轮与齿轮系

答案: N₁ = 24

齿轮几何：模数 m 决定齿的大小。齿数为 N 的齿轮分度圆直径为 d = m·N，相互啮合的两个齿轮模数相同，其中心距为 a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2。节线速度为 v = π·d·n/60，切向齿力由转矩求得：F_t = 2T/d。

总齿数

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·180/3 = 120

按传动比分配

N₁ = 120/(1 + 4) = 24

答案

N₁ = 24

16.齿轮与齿轮系

答案: n_out = 453.1 rpm

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

第一级

n_B = 1450·72/80 = 1305 rpm = n_C

第二级

n_out = 1305·25/72 = 453.1 rpm

答案

n_out = 453.1 rpm

总传动比 = 3.2 : 1

17.弹簧与单摆

答案: L = 1.203 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(2.2/2π)² = 1.203 m

答案

L = 1.203 m

18.弹簧与单摆

答案: v_max = 0.127 m/s

角频率

ω = √(20/3.1) = 2.54 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.05·2.54 = 0.127 m/s

答案

v_max = 0.127 m/s

19.机械振动

答案: ζ = 0.04743

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

临界阻尼

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(50000·8) = 1265 N·s/m

阻尼比

ζ = c/c_c = 60/1265 = 0.04743

答案

ζ = 0.04743

ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。

20.机械振动

答案: f_n = 2.757 Hz

等效刚度

只有 k₁ 和 k₂ 是并联的。这一对与 k₃ 串联，所以要按倒数组合。

k₁₂ = 60 + 60 = 120 kN/m

k_eq = 120·40/(120 + 40) = 30 kN/m

固有频率

ω_n = √(30000/100) = 17.32 rad/s

f_n = 17.32/(2π) = 2.757 Hz

答案

f_n = 2.757 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics