动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 60 km/h 行驶的汽车以 5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 60 km/ha = −5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

球 A 从 55 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 22 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它们在离地面多高处 y 相遇？

H = 55 mv_0B = 22 m/sg = 9.81 m/s²

y = m

3.牛顿定律中等

一个 45 kg 的箱子被一个平行于斜面的力沿与水平方向成 15° 的斜面匀速向上推。动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求推力 F。

m = 45 kgθ = 15°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

F = N

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 4 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 1.5 kg 重物相连。桌面光滑。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 4 kgm₂ = 1.5 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 24 m/s、与水平方向成 60° 的角度朝 36 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 24 m/sθ = 60°x = 36 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从 25 m 高的悬崖顶部以 26 m/s、与水平方向成 50° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 26 m/sθ = 50°h = 25 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.圆周运动中等

一辆 1800 kg 的汽车以 16 m/s 驶过路面上的一个凸起的顶部。凸起的顶部是半径为 50 m 的圆弧。取 g = 9.81 m/s²。求顶部路面对汽车的法向力 N。

m = 1800 kgv = 16 m/sr = 50 mg = 9.81 m/s²

N = N

8.圆周运动困难

一个半径为 100 m 的弯道倾斜 15°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不向上、向外滑出的最高速度 v_max。

r = 100 mθ = 15°μ_s = 0.1g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.功和能中等

一个玩具发射器有一根刚度为 1000 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.25 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 10 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。

m = 0.25 kgk = 1000 N/mx = 10 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.功和能困难

一个 5 kg 的物块从光滑坡道上 3.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 3 m 的粗糙水平段（μ = 0.1），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 2500 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 5 kgh = 3.5 mL = 3 mμ = 0.1k = 2500 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一辆以 8 m/s 行驶的 700 kg 汽车撞上一辆静止的 1900 kg 汽车，两车卡在一起。原有动能损失了百分之多少 ΔK/K？

m₁ = 700 kgv₁ = 8 m/sm₂ = 1900 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.动量与碰撞困难

一个 0.3 kg 的小球以 24 m/s 撞到墙上，并以 10 m/s 沿原路弹回。接触时间为 20 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.3 kgv_in = 24 m/sv_out = 10 m/sΔt = 20 ms

J = N·s

13.刚体转动中等

一个 12.5 kg 的物块悬挂在绕过滑轮的轻绳上，滑轮是质量为 8.5 kg、半径为 0.25 m 的均匀实心圆盘，在无摩擦的水平轴上转动。物块从静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m = 12.5 kgM = 8.5 kgR = 0.25 mg = 9.81 m/s²

T = N

14.刚体转动困难

一个质量为 7.5 kg 的实心球以 6.5 m/s 的速度无滑动地滚动。求它的总动能 E_k。

m = 7.5 kgv = 6.5 m/sI = (2/5)·m·r²

E_k = J

15.齿轮与齿轮系中等

一台 4 kW 的电动机以 960 rpm 运转，驱动一个齿数为 36 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 40 的大齿轮啮合。忽略损失。求电动机轴上的扭矩 T₁。

P = 4 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 36N₂ = 40η = 100%

T₁ = N·m

16.齿轮与齿轮系困难

一台 2.2 kW、1450 rpm 的电动机驱动齿轮 A（45 齿），A 与齿轮 B（50 齿）啮合。与 B 同轴的齿轮 C（50 齿）驱动输出轴上的齿轮 D（60 齿）。每对齿轮啮合的效率为 97%。求输出转矩 T_out。

P = 2.2 kWn_in = 1450 rpmA = 45B = 50C = 50D = 60η_mesh = 97%

T_out = N·m

17.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 250 N/m 弹簧上的 2.5 kg 物体被沿正方向拉开 8 cm，在 t = 0 时由静止释放。求 t = 0.35 s 时它的速度 v（带符号）。

m = 2.5 kgk = 250 N/mA = 8 cmt = 0.35 s

v = m/s

18.弹簧与单摆困难

一个物体做简谐振动，周期为 3.7 s，振幅为 5 cm。它从最大位移 5 cm 处运动到位移 2.5 cm 处所需的最短时间 t 是多少？

T = 3.7 sA = 5 cmx = 2.5 cm

t = s

19.机械振动中等

一个 25 kg 的质量块由刚度为 150 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 310 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。

m = 25 kgk = 150 kN/mc = 310 N·s/m

ζ =

20.机械振动困难

一个 5 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 100 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 60 kN/m 和 k₂ = 60 kN/m 悬挂；杆保持水平。忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 5 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 60 kN/mk₃ = 100 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: s = 27.78 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 60/3.6 = 16.67 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 16.67²/(2·5) = 27.78 m

答案

s = 27.78 m

2.运动学

答案: y = 24.34 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

55 − ½g·t² = 22·t − ½g·t² → t = 55/22 = 2.5 s

相遇高度

y = 22·2.5 − ½·9.81·2.5² = 24.34 m

答案

y = 24.34 m

3.牛顿定律

答案: F = 178.2 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

匀速：各力平衡。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

推力

F = 114.3 + 63.96 = 178.2 N

答案

F = 178.2 N

4.牛顿定律

答案: T = 10.7 N

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (14.71 − 0)/5.5 = 2.675 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 4·2.675 + 0 = 10.7 N

答案

T = 10.7 N

5.抛体运动

答案: y = 18.21 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

到达墙的时间

v_x = 24·cos 60° = 12 m/s

t = x/v_x = 36/12 = 3 s

此时的高度

y = 20.78·3 − ½·9.81·3² = 18.21 m

答案

y = 18.21 m

球到达墙时已经在下落。

6.抛体运动

答案: H = 45.22 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

竖直方向的初速度

v_y = 26·sin 50° = 19.92 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 19.92²/(2·9.81) = 20.22 m

离地面的高度

H = 25 + 20.22 = 45.22 m

答案

H = 45.22 m

7.圆周运动

答案: N = 8442 N

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

顶点的受力

指向圆心（向下）为正。

m·g − N = m·v²/r

N = 1800·9.81 − 1800·16²/50 = 17658 − 9216 = 8442 N

答案

N = 8442 N

汽车感觉变轻了：路面向上的支持力小于其重量。

8.圆周运动

答案: v_max = 19.26 m/s

力的平衡

摩擦力沿斜面向下。

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(100·9.81·0.3554/0.94) = 19.26 m/s

答案

v_max = 19.26 m/s

(69.33 km/h)

9.功和能

答案: h = 2.039 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 10 cm = 0.1 m

½kx² = ½·1000·0.1² = 5 J

高度

m·g = 0.25·9.81 = 2.453 N

h = ½kx²/(mg) = 5/2.453 = 2.039 m

答案

h = 2.039 m

10.功和能

答案: v = 7.924 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 49.05·(3.5 − 0.1·3) = 157 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·3.2) = 7.924 m/s

答案

v = 7.924 m/s

11.动量与碰撞

答案: ΔK/K = 73.08 %

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 700·8/2600 = 2.154 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·700·8² = 22400 J

K_after = ½·2600·2.154² = 6031 J

损失的比例

ΔK/K = 16369/22400 = 73.08 %

答案

ΔK/K = 73.08 %

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: J = 10.2 N·s

动量的变化量

J = m·Δv = 0.3·(10 + 24) = 10.2 N·s

答案

J = 10.2 N·s

13.刚体转动

答案: T = 31.11 N

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

物块和滑轮

物块: m·g − T = m·a

滑轮: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

加速度

a = m·g/(m + M/2) = 12.5·9.81/(12.5 + 4.25) = 7.321 m/s²

张力

T = m·(g − a) = 12.5·(9.81 − 7.321) = 31.11 N

答案

T = 31.11 N

14.刚体转动

答案: E_k = 221.8 J

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

平动部分和转动部分

E_trans = ½·m·v² = ½·7.5·6.5² = 158.4 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0.4·m·r²·(v/r)² = 0.4·158.4 = 63.38 J

合计

E_k = 158.4 + 63.38 = 221.8 J

答案

E_k = 221.8 J

15.齿轮与齿轮系

答案: T₁ = 39.79 N·m

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

电动机扭矩

ω₁ = 2π·960/60 = 100.5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 4000/100.5 = 39.79 N·m

答案

T₁ = 39.79 N·m

16.齿轮与齿轮系

答案: T_out = 18.18 N·m

输出转速

n_out = 1450·(45/50)·(50/60) = 1088 rpm

ω_out = 2π·1088/60 = 113.9 rad/s

输出功率和转矩

P_out = 2200·0.97² = 2070 W

T_out = P_out/ω_out = 2070/113.9 = 18.18 N·m

答案

T_out = 18.18 N·m

17.弹簧与单摆

答案: v = 0.2806 m/s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(250/2.5) = 10 rad/s

ω·t = 10·0.35 = 3.5 rad

速度

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0.08·10·sin(3.5) = 0.2806 m/s

答案

v = 0.2806 m/s

18.弹簧与单摆

答案: t = 0.6167 s

角频率

ω = 2π/T = 2π/3.7 = 1.698 rad/s

求解时间

0.5 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0.5) = 1.047 rad

t = 1.047/1.698 = 0.6167 s

答案

t = 0.6167 s

19.机械振动

答案: ζ = 0.08004

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

临界阻尼

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(150000·25) = 3873 N·s/m

阻尼比

ζ = c/c_c = 310/3873 = 0.08004

答案

ζ = 0.08004

ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。

20.机械振动

答案: f_n = 16.62 Hz

等效刚度

只有 k₁ 和 k₂ 是并联的。这一对与 k₃ 串联，所以要按倒数组合。

k₁₂ = 60 + 60 = 120 kN/m

k_eq = 120·100/(120 + 100) = 54.55 kN/m

固有频率

ω_n = √(54545/5) = 104.4 rad/s

f_n = 104.4/(2π) = 16.62 Hz

答案

f_n = 16.62 Hz

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