动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一架飞机起飞需要 180 km/h 的速度，可用跑道长 1500 m。从静止开始，它需要多大的恒定加速度 a？

v₀ = 0v = 180 km/hs = 1500 m

a = m/s²

2.运动学困难

一枚模型火箭从静止竖直向上发射。其发动机使它获得 38 m/s² 的恒定向上加速度，持续 2.5 s，之后发动机停止，火箭做自由运动。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求火箭达到的最大高度 h_max。

a = 38 m/s²t₁ = 2.5 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 25 kg 的雪橇被一根与水平方向成 35° 向上的绳子以 110 N 的力拉着在平坦的雪地上移动。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求雪橇的加速度 a。

m = 25 kgF = 110 Nθ = 35°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 1.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 3 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 1.5 kgm₂ = 3 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 55° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v₀ = 28 m/sθ = 55°g = 9.81 m/s²

H = m

6.抛体运动困难

一个球从 15 m 高的悬崖顶部以 17 m/s、与水平方向成 40° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它落地时的速度 v。

v₀ = 17 m/sθ = 40°h = 15 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

7.圆周运动中等

一个系在长 0.6 m 绳上的小球做水平圆周运动，绳与竖直方向保持 30° 的恒定夹角（圆锥摆）。取 g = 9.81 m/s²。求转一圈所需的时间 T。

L = 0.6 mθ = 30°g = 9.81 m/s²

T = s

8.圆周运动困难

一个 0.8 kg 的小球系在长 1.1 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 8 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 0.8 kgr = 1.1 mv = 8 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个玩具发射器有一根刚度为 2000 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.25 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 3 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。

m = 0.25 kgk = 2000 N/mx = 3 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.功和能困难

一个 2 kg 的物块放在粗糙的水平桌面上（μ = 0.15）。一根轻绳从它出发，跨过桌边的光滑滑轮，连接一个悬挂的 2 kg 物块。系统由静止释放。求悬挂物块下降 1.5 m 后两物块的速度 v。

m₁ = 2 kgm₂ = 2 kgμ = 0.15d = 1.5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一颗 8 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 4.5 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 6 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 8 gM = 4.5 kgh = 6 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.动量与碰撞困难

一颗 8 g 的子弹水平射入一个用长 1.9 m 的轻绳悬挂的 3.5 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 30°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 8 gM = 3.5 kgL = 1.9 mθ = 30°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.刚体转动中等

质量为 14 kg、长为 1.4 m 的均匀细杆一端铰接，保持水平。从静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求释放瞬间自由端的加速度 a_tip。

m = 14 kgL = 1.4 mg = 9.81 m/s²

a_tip = m/s²

14.刚体转动困难

一个实心球沿与水平面成 35° 的斜面无滑动地滚下。取 g = 9.81 m/s²。求防止它打滑所需的最小静摩擦因数 μ_s。

θ = 35°I = (2/5)·m·r²g = 9.81 m/s²

μ_s =

15.齿轮与齿轮系中等

一台 1.1 kW 的电动机以 1440 rpm 运转，驱动一个齿数为 25 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 40 的大齿轮啮合。忽略损失。求齿轮轴上的输出扭矩 T₂。

P = 1.1 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 25N₂ = 40η = 100%

T₂ = N·m

16.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（24 齿）以 1450 rpm 转动，驱动齿轮 B（45 齿）。齿轮 C（15 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（48 齿）。求输出转速 n_out。

n_in = 1450 rpmA = 24B = 45C = 15D = 48

n_out = rpm

17.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 1.2 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 1.2 mg = 9.81 m/s²

T = s

18.弹簧与单摆困难

一个 0.9 kg 的物体连在 k = 30 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 13 cm 后释放。求它的最大加速度 a_max。

m = 0.9 kgk = 30 N/mA = 13 cm

a_max = m/s²

19.机械振动中等

一个 15 kg 的质量块由刚度为 12 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 340 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。

m = 15 kgk = 12 kN/mc = 340 N·s/m

ζ =

20.机械振动困难

一个 40 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 50 kN/m 和 k₂ = 60 kN/m。质量块保持水平。求弹簧系统的等效刚度 k_eq，以 kN/m 计。

m = 40 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 60 kN/m

k_eq = kN/m

3溶液

1.运动学

答案: a = 0.8333 m/s²

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v = 180/3.6 = 50 m/s

加速度

a = v²/(2s) = 50²/(2·1500) = 0.8333 m/s²

答案

a = 0.8333 m/s²

2.运动学

答案: h_max = 578.7 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

动力阶段

v₁ = 38·2.5 = 95 m/s

h₁ = ½·38·2.5² = 118.8 m

向上的自由飞行

在最高点速度为零。

Δh = v₁²/(2g) = 95²/(2·9.81) = 460 m

h_max = 118.8 + 460 = 578.7 m

答案

h_max = 578.7 m

3.牛顿定律

答案: a = 1.783 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

法向力

N = m·g − F·sin θ = 245.3 − 110·sin 35° = 182.2 N

水平方向的力

m·a = F·cos θ − μ·N = 90.11 − 45.54

a = 44.57/25 = 1.783 m/s²

答案

a = 1.783 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 11.77 N

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (29.43 − 2.943)/4.5 = 5.886 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 1.5·5.886 + 2.943 = 11.77 N

答案

T = 11.77 N

5.抛体运动

答案: H = 26.81 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 28·cos 55° = 16.06 m/s

v_y = v₀·sin θ = 28·sin 55° = 22.94 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 22.94²/(2·9.81) = 26.81 m

答案

H = 26.81 m

6.抛体运动

答案: v = 24.15 m/s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

v_x = 17·cos 40° = 13.02 m/s

v_y0 = 17·sin 40° = 10.93 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(10.93² + 2·9.81·15) = 20.34 m/s

落水速度

v = √(13.02² + 20.34²) = 24.15 m/s

答案

v = 24.15 m/s

用能量校核：v² = v₀² + 2gh。

7.圆周运动

答案: T = 1.446 s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

圆的半径

r = L·sin θ = 0.6·sin 30° = 0.3 m

速率

拉力和重力共同提供向心的力：tan θ = v²/(r·g)。

v = √(r·g·tan θ) = √(0.3·9.81·tan 30°) = 1.304 m/s

周期

T = 2π·r/v = 2π·0.3/1.304 = 1.446 s

答案

T = 1.446 s

8.圆周运动

答案: T = 54.39 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 0.8·9.81 + 0.8·8²/1.1 = 7.848 + 46.55 = 54.39 N

答案

T = 54.39 N

9.功和能

答案: h = 0.367 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 3 cm = 0.03 m

½kx² = ½·2000·0.03² = 0.9 J

高度

m·g = 0.25·9.81 = 2.453 N

h = ½kx²/(mg) = 0.9/2.453 = 0.367 m

答案

h = 0.367 m

10.功和能

答案: v = 3.537 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

释放和损失的能量

m₂g·d = 19.62·1.5 = 29.43 J

μ·m₁g·d = 0.15·19.62·1.5 = 4.415 J

两个物块的动能

½(m₁ + m₂)v² = 25.02 → v = √(2·25.02/4) = 3.537 m/s

答案

v = 3.537 m/s

11.动量与碰撞

答案: v = 611.4 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.06) = 1.085 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.008 + 4.5)·1.085/0.008 = 611.4 m/s

答案

v = 611.4 m/s

12.动量与碰撞

答案: v = 980 m/s

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 1.9·(1 − cos 30°) = 0.2546 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.2546) = 2.235 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 3.508·2.235/0.008 = 980 m/s

答案

v = 980 m/s

13.刚体转动

答案: a_tip = 14.71 m/s²

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

对销钉取矩

在释放的瞬间 ω = 0，所以没有向心加速度，质心笔直向下加速。

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9.81/(2·1.4) = 10.51 rad/s²

自由端的加速度

a_tip = α·L = 10.51·1.4 = 14.71 m/s²

答案

a_tip = 14.71 m/s²

对任何长度，a_tip = 1.5·g：自由端下落得比扔下的石头还快。

14.刚体转动

答案: μ_s = 0.2001

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

运动方程

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0.4·m·r²·(a/r) → f = 0.4·m·a

加速度

a = g·sin θ/(1 + c) = 9.81·sin 35°/1.4 = 4.019 m/s²

所需的摩擦

f = c·m·a ≤ μ·m·g·cos θ → μ ≥ c·tan θ/(1 + c)

μ_s = 0.4·tan 35°/1.4 = 0.2001

答案

μ_s = 0.2001

15.齿轮与齿轮系

答案: T₂ = 11.67 N·m

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

电动机扭矩

ω₁ = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1100/150.8 = 7.295 N·m

输出扭矩

T₂ = 7.295·40/25·1 = 11.67 N·m

答案

T₂ = 11.67 N·m

16.齿轮与齿轮系

答案: n_out = 241.7 rpm

第一级

n_B = 1450·24/45 = 773.3 rpm = n_C

第二级

n_out = 773.3·15/48 = 241.7 rpm

答案

n_out = 241.7 rpm

总传动比 = 6 : 1

17.弹簧与单摆

答案: T = 2.198 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(1.2/9.81) = 2.198 s

答案

T = 2.198 s

18.弹簧与单摆

答案: a_max = 4.333 m/s²

角频率

ω = √(30/0.9) = 5.774 rad/s

最大加速度

a_max = A·ω² = 0.13·5.774² = 4.333 m/s²

答案

a_max = 4.333 m/s²

19.机械振动

答案: ζ = 0.4007

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

临界阻尼

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(12000·15) = 848.5 N·s/m

阻尼比

ζ = c/c_c = 340/848.5 = 0.4007

答案

ζ = 0.4007

ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。

20.机械振动

答案: k_eq = 110 kN/m

等效刚度

并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k₁ + k₂。

k_eq = 50 + 60 = 110 kN/m

答案

k_eq = 110 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics