动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一位以 50 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 1.3 s，之后汽车以 5.5 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 50 km/ht_r = 1.3 sa = −5.5 m/s²

d = m

2.运动学困难

球 A 从 50 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 25 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。两球何时相遇？求 t。

H = 50 mv_0B = 25 m/sg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个箱子以 11.5 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 67 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 11.5 m/sd = 67 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 10 m/s 的速度开始沿 25° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 10 m/sθ = 25°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 45° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v₀ = 22 m/sθ = 45°g = 9.81 m/s²

H = m

6.抛体运动困难

一个球从 55 m 高的悬崖顶上以高于水平面 60° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 20 m/sθ = 60°h = 55 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一个系在长 0.3 m 绳上的小球做水平圆周运动，绳与竖直方向保持 50° 的恒定夹角（圆锥摆）。取 g = 9.81 m/s²。求小球的速度 v。

L = 0.3 mθ = 50°g = 9.81 m/s²

v = m/s

8.圆周运动困难

一个 1 kg 的球系在长 1.1 m 的轻绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点它的速度为 8.5 m/s。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求最高点时绳中的拉力 T_top。

m = 1 kgr = 1.1 mv_bottom = 8.5 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.功和能中等

一辆 800 kg 的汽车以恒定的 72 km/h 驶上 8° 的斜坡。空气阻力和滚动阻力合计 650 N。求车轮须输出的功率 P，以 kW 表示。

m = 800 kgθ = 8°F_r = 650 Nv = 72 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

10.功和能困难

在 25° 斜坡底部有一根刚度为 800 N/m 的弹簧，它顶着一个 2 kg 的物块被压缩 12 cm，然后释放。物块与斜坡之间的动摩擦因数为 0.2。物块从释放点沿斜坡向上滑行多远 d 后停下？（忽略弹簧推动的那一小段距离，即在整个距离 d 上都计入摩擦和重力。）

m = 2 kgk = 800 N/mx = 12 cmθ = 25°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

d = m

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 9 m/s 运动的 5 kg 滑块与一个静止的 4 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 9 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

在一个十字路口，一辆以 9 m/s 向东行驶的 800 kg 汽车与一辆以 25 m/s 向北行驶的 1900 kg 汽车相撞。两车卡在一起。求碰撞后瞬间残骸的方向 θ，以东偏北的角度表示。

m₁ = 800 kgv₁ = 9 m/s (E)m₂ = 1900 kgv₂ = 25 m/s (N)

θ = °

13.刚体转动中等

一根轴在 1700 rpm 时传递 70 kW。求轴中的转矩 T。

P = 70 kWn = 1700 rpm

T = N·m

14.刚体转动困难

一个实心球沿与水平面成 10° 的斜面无滑动地滚下。取 g = 9.81 m/s²。求防止它打滑所需的最小静摩擦因数 μ_s。

θ = 10°I = (2/5)·m·r²g = 9.81 m/s²

μ_s =

15.齿轮与齿轮系中等

一台 11 kW 的电动机以 1500 rpm 运转，驱动一个齿数为 18 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 50 的大齿轮啮合。该齿轮副的效率为 97%。求电动机轴上的扭矩 T₁。

P = 11 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 18N₂ = 50η = 97%

T₁ = N·m

16.齿轮与齿轮系困难

一台 2.2 kW、1440 rpm 的电动机驱动齿轮 A（12 齿），A 与齿轮 B（60 齿）啮合。与 B 同轴的齿轮 C（18 齿）驱动输出轴上的齿轮 D（25 齿）。每对齿轮啮合的效率为 98%。求输出转矩 T_out。

P = 2.2 kWn_in = 1440 rpmA = 12B = 60C = 18D = 25η_mesh = 98%

T_out = N·m

17.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 260 N/m 弹簧上的 2.6 kg 物体被沿正方向拉开 9 cm，在 t = 0 时由静止释放。求 t = 0.9 s 时它的速度 v（带符号）。

m = 2.6 kgk = 260 N/mA = 9 cmt = 0.9 s

v = m/s

18.弹簧与单摆困难

把一个 1.5 kg 的物体挂在一根 k = 230 N/m、处于原长的竖直弹簧下端，然后由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求物体的最大速度 v_max。

m = 1.5 kgk = 230 N/mg = 9.81 m/s²

v_max = m/s

19.机械振动中等

一个 15 kg 的质量块挂在刚度为 15 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.5。求其自由振动的有阻尼固有频率 f_d，以 Hz 计。

m = 15 kgk = 15 kN/mζ = 0.5

f_d = Hz

20.机械振动困难

一个 10 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 25 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 100 kN/m 和 k₂ = 50 kN/m 悬挂；杆保持水平。忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 10 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 50 kN/mk₃ = 25 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: d = 35.59 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 50/3.6 = 13.89 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 13.89·1.3 = 18.06 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 13.89²/(2·5.5) = 17.54 m

合计

d = 18.06 + 17.54 = 35.59 m

答案

d = 35.59 m

2.运动学

答案: t = 2 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

50 − ½g·t² = 25·t − ½g·t² → t = 50/25 = 2 s

答案

t = 2 s

3.牛顿定律

答案: μ = 0.1006

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

减速度

a = v₀²/(2d) = 11.5²/(2·67) = 0.9869 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 0.9869/9.81 = 0.1006

答案

μ = 0.1006

4.牛顿定律

答案: d = 9.125 m

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 25° + 0.15·cos 25°) = 5.48 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 10²/(2·5.48) = 9.125 m

答案

d = 9.125 m

5.抛体运动

答案: H = 12.33 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 22·cos 45° = 15.56 m/s

v_y = v₀·sin θ = 22·sin 45° = 15.56 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 15.56²/(2·9.81) = 12.33 m

答案

H = 12.33 m

6.抛体运动

答案: x = 55.51 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 20·cos 60° = 10 m/s

v_y = v₀·sin θ = 20·sin 60° = 17.32 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 55 + 17.32·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (17.32 + √(300 + 1079))/9.81 = 5.551 s

水平距离

x = v_x·t = 10·5.551 = 55.51 m

答案

x = 55.51 m

7.圆周运动

答案: v = 1.639 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

圆的半径

r = L·sin θ = 0.3·sin 50° = 0.2298 m

速率

拉力和重力共同提供向心的力：tan θ = v²/(r·g)。

v = √(r·g·tan θ) = √(0.2298·9.81·tan 50°) = 1.639 m/s

答案

v = 1.639 m/s

8.圆周运动

答案: T_top = 16.63 N

顶点的速度

在高度 2r 上，动能转化为势能。

v_top² = 8.5² − 4·9.81·1.1 = 29.09 m²/s²

顶点的受力

拉力和重力都向下，指向圆心。

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1·29.09/1.1 − 1·9.81 = 16.63 N

答案

T_top = 16.63 N

9.功和能

答案: P = 34.84 kW

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。功率等于力乘以速度：P = F·v。

驱动力

m·g = 800·9.81 = 7848 N

mg·sin θ = 7848·sin 8° = 1092 N

F = 1092 + 650 = 1742 N

功率

v = 72/3.6 = 20 m/s

P = F·v = 1742·20 = 34845 W = 34.84 kW

答案

P = 34.84 kW

10.功和能

答案: d = 0.4862 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 12 cm = 0.12 m

½kx² = ½·800·0.12² = 5.76 J

沿斜面的能量衡算

m·g = 2·9.81 = 19.62 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 5.76/(19.62·(0.4226 + 0.2·0.9063)) = 0.4862 m

答案

d = 0.4862 m

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = 1 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (5 − 4)/(5 + 4)·9 = 1 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 4)·9 = 10 m/s

答案

v′₁ = 1 m/s

12.动量与碰撞

答案: θ = 81.38 °

动量分量

p_x = 800·9 = 7200 kg·m/s

p_y = 1900·25 = 47500 kg·m/s

方向

tan θ = p_y/p_x = 6.597 → θ = 81.38°

答案

θ = 81.38°

13.刚体转动

答案: T = 393.2 N·m

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

角速度

ω = 2π·1700/60 = 178 rad/s

扭矩

T = P/ω = 70000/178 = 393.2 N·m

答案

T = 393.2 N·m

14.刚体转动

答案: μ_s = 0.05038

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

运动方程

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0.4·m·r²·(a/r) → f = 0.4·m·a

加速度

a = g·sin θ/(1 + c) = 9.81·sin 10°/1.4 = 1.217 m/s²

所需的摩擦

f = c·m·a ≤ μ·m·g·cos θ → μ ≥ c·tan θ/(1 + c)

μ_s = 0.4·tan 10°/1.4 = 0.05038

答案

μ_s = 0.05038

15.齿轮与齿轮系

答案: T₁ = 70.03 N·m

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

电动机扭矩

ω₁ = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 11000/157.1 = 70.03 N·m

答案

T₁ = 70.03 N·m

16.齿轮与齿轮系

答案: T_out = 97.3 N·m

输出转速

n_out = 1440·(12/60)·(18/25) = 207.4 rpm

ω_out = 2π·207.4/60 = 21.71 rad/s

输出功率和转矩

P_out = 2200·0.98² = 2113 W

T_out = P_out/ω_out = 2113/21.71 = 97.3 N·m

答案

T_out = 97.3 N·m

17.弹簧与单摆

答案: v = −0.3709 m/s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(260/2.6) = 10 rad/s

ω·t = 10·0.9 = 9 rad

速度

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0.09·10·sin(9) = −0.3709 m/s

答案

v = −0.3709 m/s

18.弹簧与单摆

答案: v_max = 0.7922 m/s

平衡位置和振幅

x₀ = m·g/k = 1.5·9.81/230 = 0.06398 m = A

最大速度

速度在平衡位置处最大。

ω = √(230/1.5) = 12.38 rad/s

v_max = A·ω = 0.06398·12.38 = 0.7922 m/s

答案

v_max = 0.7922 m/s

19.机械振动

答案: f_d = 4.359 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

无阻尼固有频率

ω_n = √(15000/15) = 31.62 rad/s

f_n = 31.62/(2π) = 5.033 Hz

有阻尼固有频率

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 5.033·√(1 − 0.5²) = 4.359 Hz

答案

f_d = 4.359 Hz

20.机械振动

答案: f_n = 7.367 Hz

等效刚度

只有 k₁ 和 k₂ 是并联的。这一对与 k₃ 串联，所以要按倒数组合。

k₁₂ = 100 + 50 = 150 kN/m

k_eq = 150·25/(150 + 25) = 21.43 kN/m

固有频率

ω_n = √(21429/10) = 46.29 rad/s

f_n = 46.29/(2π) = 7.367 Hz

答案

f_n = 7.367 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics