动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一架飞机起飞需要 260 km/h 的速度，可用跑道长 1600 m。从静止开始，它需要多大的恒定加速度 a？

v₀ = 0v = 260 km/hs = 1600 m

a = m/s²

2.运动学困难

从离地面 40 m 高的屋顶边缘以 17 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求小球离地面的最大高度 h_max。

v₀ = 17 m/sh₀ = 40 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 18 kg 的物块沿倾角为 35° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 18 kgθ = 35°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

倾角为 20° 的斜面上有一个 10 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 10 kg 物体相连。悬挂物向下运动。物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 10 kgm₂ = 10 kgθ = 20°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 35° 的角度抛出，落在 145 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 35°R = 145 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 5 m 高的悬崖顶上以高于水平面 30° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 29 m/sθ = 30°h = 5 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆 1000 kg 的汽车以 9 m/s 驶过路面上的一个凸起的顶部。凸起的顶部是半径为 35 m 的圆弧。取 g = 9.81 m/s²。求顶部路面对汽车的法向力 N。

m = 1000 kgv = 9 m/sr = 35 mg = 9.81 m/s²

N = N

8.圆周运动困难

一个 2 kg 的球系在长 0.8 m 的轻绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点它的速度为 8 m/s。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求最高点时绳中的拉力 T_top。

m = 2 kgr = 0.8 mv_bottom = 8 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.功和能中等

一辆 1000 kg 的汽车以恒定的 72 km/h 驶上 6° 的斜坡。空气阻力和滚动阻力合计 200 N。求车轮须输出的功率 P，以 kW 表示。

m = 1000 kgθ = 6°F_r = 200 Nv = 72 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

10.功和能困难

一个 2 kg 的物块从光滑坡道上 4 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 4.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.3），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 2500 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 2 kgh = 4 mL = 4.5 mμ = 0.3k = 2500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 6 m/s 运动的 4 kg 滑块与一个静止的 4.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 4 kgm₂ = 4.5 kgv₁ = 6 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

在一个十字路口，一辆以 16 m/s 向东行驶的 1500 kg 汽车与一辆以 11 m/s 向北行驶的 1500 kg 汽车相撞。两车卡在一起。求碰撞后瞬间残骸的方向 θ，以东偏北的角度表示。

m₁ = 1500 kgv₁ = 16 m/s (E)m₂ = 1500 kgv₂ = 11 m/s (N)

θ = °

13.刚体转动中等

质量为 13.5 kg、长为 0.5 m 的均匀细杆一端铰接，保持水平。从静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求释放瞬间销钉对杆的竖直力 R。

m = 13.5 kgL = 0.5 mg = 9.81 m/s²

R = N

14.刚体转动困难

一个均匀实心圆盘（质量 11 kg，半径 0.2 m）绕无摩擦的竖直轴以 800 rpm 自由旋转。一个质量为 18 kg、半径相同的薄圆环从静止状态落到它上面，圆心对准转轴，两者很快一起旋转。求它们共同的转速 n₂，单位 rpm。

M_disc = 11 kgM_ring = 18 kgR = 0.2 mn₁ = 800 rpm

n₂ = rpm

15.齿轮与齿轮系中等

一台 1.5 kW、1450 rpm 的电动机驱动一个 1 头的蜗杆。蜗轮有 72 个齿，传动效率为 70%。求蜗轮轴上的输出转矩 T_w。

z = 1N_w = 72n = 1450 rpmP = 1.5 kWη = 70%

T_w = N·m

16.齿轮与齿轮系困难

一条开口皮带把一个以 2880 rpm 转动、直径 100 mm 的主动轮与一个 315 mm 的带轮相连；中心距为 1200 mm。摩擦系数为 0.25，紧边张力不得超过 600 N。求皮带在不打滑时能传递的最大功率 P，单位 kW（忽略离心效应）。

d₁ = 100 mmn₁ = 2880 rpmd₂ = 315 mmC = 1200 mmμ = 0.25T₁ = 600 N

P = kW

17.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 2.8 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 2.8 sg = 9.81 m/s²

L = m

18.弹簧与单摆困难

一个 2.5 kg 的物体连在 k = 140 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 19 cm 后释放。求振动的总能量 E。

m = 2.5 kgk = 140 N/mA = 19 cm

E = J

19.机械振动中等

一个 15 kg 的质量块挂在刚度为 100 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.45。求其自由振动的有阻尼固有频率 f_d，以 Hz 计。

m = 15 kgk = 100 kN/mζ = 0.45

f_d = Hz

20.机械振动困难

一个 5 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 12 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 10 kN/m 和 k₂ = 80 kN/m 悬挂；杆保持水平。忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 5 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 80 kN/mk₃ = 12 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: a = 1.63 m/s²

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v = 260/3.6 = 72.22 m/s

加速度

a = v²/(2s) = 72.22²/(2·1600) = 1.63 m/s²

答案

a = 1.63 m/s²

2.运动学

答案: h_max = 54.73 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 17²/(2·9.81) = 14.73 m

离地面的高度

h_max = 40 + 14.73 = 54.73 m

答案

h_max = 54.73 m

3.牛顿定律

答案: a = 4.823 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 35° − 0.1·cos 35°) = 9.81·(0.5736 − 0.08192) = 4.823 m/s²

答案

a = 4.823 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 2.766 m/s²

沿绳子方向的力

m₂·g = 98.1 N

m₁·g·sin θ = 33.55 N

μ·m₁·g·cos θ = 9.218 N

系统的加速度

a = (98.1 − 33.55 − 9.218)/20 = 2.766 m/s²

答案

a = 2.766 m/s²

5.抛体运动

答案: v₀ = 38.91 m/s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·145/sin 70°) = 38.91 m/s

答案

v₀ = 38.91 m/s

6.抛体运动

答案: x = 82.08 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 29·cos 30° = 25.11 m/s

v_y = v₀·sin θ = 29·sin 30° = 14.5 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 5 + 14.5·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (14.5 + √(210.2 + 98.1))/9.81 = 3.268 s

水平距离

x = v_x·t = 25.11·3.268 = 82.08 m

答案

x = 82.08 m

7.圆周运动

答案: N = 7496 N

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

顶点的受力

指向圆心（向下）为正。

m·g − N = m·v²/r

N = 1000·9.81 − 1000·9²/35 = 9810 − 2314 = 7496 N

答案

N = 7496 N

汽车感觉变轻了：路面向上的支持力小于其重量。

8.圆周运动

答案: T_top = 61.9 N

顶点的速度

在高度 2r 上，动能转化为势能。

v_top² = 8² − 4·9.81·0.8 = 32.61 m²/s²

顶点的受力

拉力和重力都向下，指向圆心。

T + m·g = m·v_top²/r

T = 2·32.61/0.8 − 2·9.81 = 61.9 N

答案

T_top = 61.9 N

9.功和能

答案: P = 24.51 kW

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。功率等于力乘以速度：P = F·v。

驱动力

m·g = 1000·9.81 = 9810 N

mg·sin θ = 9810·sin 6° = 1025 N

F = 1025 + 200 = 1225 N

功率

v = 72/3.6 = 20 m/s

P = F·v = 1225·20 = 24508 W = 24.51 kW

答案

P = 24.51 kW

10.功和能

答案: x = 20.39 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 19.62·(4 − 0.3·4.5) = 51.99 J

最大压缩量

½kx² = 51.99 → x = √(2·51.99/2500) = 0.2039 m = 20.39 cm

答案

x = 20.39 cm

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 5.647 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (4 − 4.5)/(4 + 4.5)·6 = −0.3529 m/s

v′₂ = 2·4/(4 + 4.5)·6 = 5.647 m/s

答案

v′₂ = 5.647 m/s

12.动量与碰撞

答案: θ = 34.51 °

动量分量

p_x = 1500·16 = 24000 kg·m/s

p_y = 1500·11 = 16500 kg·m/s

方向

tan θ = p_y/p_x = 0.6875 → θ = 34.51°

答案

θ = 34.51°

13.刚体转动

答案: R = 33.11 N

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

对销钉取矩

在释放的瞬间 ω = 0，所以没有向心加速度，质心笔直向下加速。

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9.81/(2·0.5) = 29.43 rad/s²

竖直方向的力

a_G = α·L/2 = 7.357 m/s²

m·g − R = m·a_G → R = 13.5·(9.81 − 7.357) = 33.11 N

答案

R = 33.11 N

R = m·g/4，与长度无关。

14.刚体转动

答案: n₂ = 187.2 rpm

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

转动惯量

I₁ = ½·11·0.2² = 0.22 kg·m²

I₂ = 18·0.2² = 0.72 kg·m²

角动量守恒

n₂ = n₁·I₁/(I₁ + I₂) = 800·0.22/0.94 = 187.2 rpm

答案

n₂ = 187.2 rpm

15.齿轮与齿轮系

答案: T_w = 497.9 N·m

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

蜗轮转速

n_w = n·z/N_w = 1450·1/72 = 20.14 rpm

输出扭矩

ω_w = 2π·20.14/60 = 2.109 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0.7·1500/2.109 = 497.9 N·m

答案

T_w = 497.9 N·m

16.齿轮与齿轮系

答案: P = 4.733 kW

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

包角

θ = 2.962 rad

松边张力

e^μθ = e^0.7405 = 2.097, T₂ = 600/2.097 = 286.1 N

功率

P = (600 − 286.1)·15.08 = 4.733 kW

答案

P = 4.733 kW

17.弹簧与单摆

答案: L = 1.948 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(2.8/2π)² = 1.948 m

答案

L = 1.948 m

18.弹簧与单摆

答案: E = 2.527 J

角频率

ω = √(140/2.5) = 7.483 rad/s

能量

E = ½·k·A² = ½·140·0.19² = 2.527 J

答案

E = 2.527 J

19.机械振动

答案: f_d = 11.6 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

无阻尼固有频率

ω_n = √(100000/15) = 81.65 rad/s

f_n = 81.65/(2π) = 12.99 Hz

有阻尼固有频率

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 12.99·√(1 − 0.45²) = 11.6 Hz

答案

f_d = 11.6 Hz

20.机械振动

答案: f_n = 7.324 Hz

等效刚度

只有 k₁ 和 k₂ 是并联的。这一对与 k₃ 串联，所以要按倒数组合。

k₁₂ = 10 + 80 = 90 kN/m

k_eq = 90·12/(90 + 12) = 10.59 kN/m

固有频率

ω_n = √(10588/5) = 46.02 rad/s

f_n = 46.02/(2π) = 7.324 Hz

答案

f_n = 7.324 Hz

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