动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 50 km/h 行驶的汽车以 5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 50 km/ha = −5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

从离地面 20 m 高的屋顶边缘以 5 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 5 m/sh₀ = 20 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 15 kg 的箱子被一个平行于斜面的力沿与水平方向成 20° 的斜面匀速向上推。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求推力 F。

m = 15 kgθ = 20°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

F = N

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 2 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 3.5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 2 kgm₂ = 3.5 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 50° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v₀ = 16 m/sθ = 50°g = 9.81 m/s²

H = m

6.抛体运动困难

一个球从地面以 30 m/s、与水平方向成 65° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 17 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 30 m/sθ = 65°h_roof = 17 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

在游乐场的转筒中，乘客背靠在半径为 2.1 m 的竖直圆筒壁上。圆筒转得足够快时，底板下降，靠摩擦力托住乘客。静摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求最小转速 n，以每分钟转数表示。

r = 2.1 mμ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

n = rpm

8.圆周运动困难

一个 1.7 kg 的小球系在长 1.4 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 3.5 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 1.7 kgr = 1.4 mv = 3.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 40° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.4。求它沿斜面滑行 18 m 后的速度 v。

θ = 40°μ = 0.4d = 18 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

一个 5 kg 的物块从光滑坡道上 5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 2.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.15），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 800 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 5 kgh = 5 mL = 2.5 mμ = 0.15k = 800 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

一辆以 24 m/s 行驶的 500 kg 汽车撞上一辆静止的 900 kg 汽车，两车卡在一起。碰撞中损失了多少动能 ΔK？

m₁ = 500 kgv₁ = 24 m/sm₂ = 900 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.动量与碰撞困难

一个 0.45 kg 的小球以 28 m/s 撞到墙上，并以 19 m/s 沿原路弹回。接触时间为 25 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.45 kgv_in = 28 m/sv_out = 19 m/sΔt = 25 ms

J = N·s

13.刚体转动中等

质量为 16.5 kg、长为 2.6 m 的均匀细杆一端铰接，保持水平。从静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求释放瞬间销钉对杆的竖直力 R。

m = 16.5 kgL = 2.6 mg = 9.81 m/s²

R = N

14.刚体转动困难

一个质量为 6 kg 的实心球以 3.5 m/s 的速度无滑动地滚动。求它的转动动能 E_rot。

m = 6 kgv = 3.5 m/sI = (2/5)·m·r²

E_rot = J

15.齿轮与齿轮系中等

两根平行轴相距 187.5 mm。须用一对模数为 5 mm、减速比为 4 : 1 的直齿圆柱齿轮把它们连接起来。小齿轮须有多少个齿 N₁？

a = 187.5 mmm = 5 mmi = 4

N₁ =

16.齿轮与齿轮系困难

一条开口皮带连接一个 80 mm 的带轮和一个 500 mm 的带轮，二者中心相距 600 mm。求小带轮上的包角 θ，单位为度。

d₁ = 80 mmd₂ = 500 mmC = 600 mm

θ = °

17.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 2.6 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 2.6 mg = 9.81 m/s²

T = s

18.弹簧与单摆困难

把一个 2.5 kg 的物体挂在一根 k = 390 N/m、处于原长的竖直弹簧下端，然后由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求物体的最大速度 v_max。

m = 2.5 kgk = 390 N/mg = 9.81 m/s²

v_max = m/s

19.机械振动中等

一个 2 kg 的质量块挂在刚度为 8 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.7。求其自由振动的有阻尼固有频率 f_d，以 Hz 计。

m = 2 kgk = 8 kN/mζ = 0.7

f_d = Hz

20.机械振动困难

一个 25 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 10 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 50 kN/m 和 k₂ = 40 kN/m 悬挂；杆保持水平。忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 25 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 40 kN/mk₃ = 10 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: s = 19.29 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 50/3.6 = 13.89 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 13.89²/(2·5) = 19.29 m

答案

s = 19.29 m

2.运动学

答案: t = 2.592 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−20 = 5·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 5·t − 20 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (5 + √(5² + 2·9.81·20))/9.81 = 2.592 s

答案

t = 2.592 s

3.牛顿定律

答案: F = 64.16 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

匀速：各力平衡。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

推力

F = 50.33 + 13.83 = 64.16 N

答案

F = 64.16 N

4.牛顿定律

答案: a = 5.886 m/s²

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34.34 − 1.962)/5.5 = 5.886 m/s²

答案

a = 5.886 m/s²

5.抛体运动

答案: H = 7.657 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 50° = 10.28 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 50° = 12.26 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 12.26²/(2·9.81) = 7.657 m

答案

H = 7.657 m

6.抛体运动

答案: x = 61.17 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

v_x = 12.68 m/s, v_y = 27.19 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

17 = 27.19·t − 4.905·t²

t = (27.19 + √(27.19² − 2·9.81·17))/9.81 = 4.825 s

水平距离

x = v_x·t = 12.68·4.825 = 61.17 m

答案

x = 61.17 m

7.圆周运动

答案: n = 37.68 rpm

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

乘客受到的力

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

角速度

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.3·2.1)) = 3.946 rad/s

转速

n = ω·60/(2π) = 37.68 rpm

答案

n = 37.68 rpm

8.圆周运动

答案: T = 31.55 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 1.7·9.81 + 1.7·3.5²/1.4 = 16.68 + 14.88 = 31.55 N

答案

T = 31.55 N

9.功和能

答案: v = 10.9 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·18·(0.6428 − 0.4·0.766)) = 10.9 m/s

答案

v = 10.9 m/s

10.功和能

答案: x = 75.31 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 49.05·(5 − 0.15·2.5) = 226.9 J

最大压缩量

½kx² = 226.9 → x = √(2·226.9/800) = 0.7531 m = 75.31 cm

答案

x = 75.31 cm

11.动量与碰撞

答案: ΔK = 92571 J

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 500·24/1400 = 8.571 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·500·24² = 144000 J

K_after = ½·1400·8.571² = 51429 J

损失的能量

ΔK = 144000 − 51429 = 92571 J

答案

ΔK = 92571 J

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: J = 21.15 N·s

动量的变化量

J = m·Δv = 0.45·(19 + 28) = 21.15 N·s

答案

J = 21.15 N·s

13.刚体转动

答案: R = 40.47 N

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

对销钉取矩

在释放的瞬间 ω = 0，所以没有向心加速度，质心笔直向下加速。

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9.81/(2·2.6) = 5.66 rad/s²

竖直方向的力

a_G = α·L/2 = 7.357 m/s²

m·g − R = m·a_G → R = 16.5·(9.81 − 7.357) = 40.47 N

答案

R = 40.47 N

R = m·g/4，与长度无关。

14.刚体转动

答案: E_rot = 14.7 J

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

平动部分和转动部分

E_trans = ½·m·v² = ½·6·3.5² = 36.75 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0.4·m·r²·(v/r)² = 0.4·36.75 = 14.7 J

答案

E_rot = 14.7 J

15.齿轮与齿轮系

答案: N₁ = 15

齿轮几何：模数 m 决定齿的大小。齿数为 N 的齿轮分度圆直径为 d = m·N，相互啮合的两个齿轮模数相同，其中心距为 a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2。节线速度为 v = π·d·n/60，切向齿力由转矩求得：F_t = 2T/d。

总齿数

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·187.5/5 = 75

按传动比分配

N₁ = 75/(1 + 4) = 15

答案

N₁ = 15

16.齿轮与齿轮系

答案: θ = 139 °

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

皮带角

asin(0.35) = 20.49°

包角

θ = 180 − 2·20.49 = 139°

答案

θ = 139°

17.弹簧与单摆

答案: T = 3.235 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(2.6/9.81) = 3.235 s

答案

T = 3.235 s

18.弹簧与单摆

答案: v_max = 0.7854 m/s

平衡位置和振幅

x₀ = m·g/k = 2.5·9.81/390 = 0.06288 m = A

最大速度

速度在平衡位置处最大。

ω = √(390/2.5) = 12.49 rad/s

v_max = A·ω = 0.06288·12.49 = 0.7854 m/s

答案

v_max = 0.7854 m/s

19.机械振动

答案: f_d = 7.188 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

无阻尼固有频率

ω_n = √(8000/2) = 63.25 rad/s

f_n = 63.25/(2π) = 10.07 Hz

有阻尼固有频率

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 10.07·√(1 − 0.7²) = 7.188 Hz

答案

f_d = 7.188 Hz

20.机械振动

答案: f_n = 3.02 Hz

等效刚度

只有 k₁ 和 k₂ 是并联的。这一对与 k₃ 串联，所以要按倒数组合。

k₁₂ = 50 + 40 = 90 kN/m

k_eq = 90·10/(90 + 10) = 9 kN/m

固有频率

ω_n = √(9000/25) = 18.97 rad/s

f_n = 18.97/(2π) = 3.02 Hz

答案

f_n = 3.02 Hz

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