动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 45 km/h 行驶的汽车以 4 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 45 km/ha = −4 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

从离地面 20 m 高的屋顶边缘以 13 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 13 m/sh₀ = 20 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 25 kg 的雪橇被一根与水平方向成 20° 向上的绳子以 120 N 的力拉着在平坦的雪地上移动。动摩擦因数为 0.4。取 g = 9.81 m/s²。求雪橇的加速度 a。

m = 25 kgF = 120 Nθ = 20°μ = 0.4g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 9.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 3.5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 9.5 kgm₂ = 3.5 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 36 m/s 抛出，必须落在 120 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 36 m/sR = 120 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.抛体运动困难

一个球从 30 m 高的悬崖顶上以高于水平面 45° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 28 m/sθ = 45°h = 30 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 50 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.4。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 50 mμ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 1.3 kg 的小球系在长 1.4 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 5.5 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 1.3 kgr = 1.4 mv = 5.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个 0.5 kg 的物块沿倾角 15° 的斜面下滑 19 m，动摩擦因数为 0.15。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 0.5 kgθ = 15°μ = 0.15d = 19 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 8 kg 的物块从 15° 斜坡的底部由静止开始，被一个平行于斜坡、大小为 65 N 的恒力沿斜坡向上拉。动摩擦因数为 0.15。求物块沿斜坡向上移动 2 m 后的速度 v。

m = 8 kgF = 65 Nθ = 15°μ = 0.15d = 2 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 3 m/s 运动的 4 kg 滑块与一个静止的 1.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 4 kgm₂ = 1.5 kgv₁ = 3 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.4 kg 的小球以 27 m/s 撞到墙上，并以 20 m/s 沿原路弹回。接触时间为 10 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.4 kgv_in = 27 m/sv_out = 20 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

13.刚体转动中等

一个 4 kg 的物块悬挂在绕过滑轮的轻绳上，滑轮是质量为 9.5 kg、半径为 0.35 m 的均匀实心圆盘，在无摩擦的水平轴上转动。物块从静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求物块下落 2.5 m 后的速度 v。

m = 4 kgM = 9.5 kgR = 0.35 mg = 9.81 m/s²h = 2.5 m

v = m/s

14.刚体转动困难

一个质量为 5.5 kg 的薄圆环以 7 m/s 的速度无滑动地滚动。求它的转动动能 E_rot。

m = 5.5 kgv = 7 m/sI = m·r²

E_rot = J

15.齿轮与齿轮系中等

两根平行轴相距 240 mm。须用一对模数为 4 mm、减速比为 3 : 1 的直齿圆柱齿轮把它们连接起来。小齿轮须有多少个齿 N₁？

a = 240 mmm = 4 mmi = 3

N₁ =

16.齿轮与齿轮系困难

一条开口皮带把一个以 1450 rpm 转动、直径 125 mm 的主动轮与一个 450 mm 的带轮相连；中心距为 600 mm。摩擦系数为 0.35，紧边张力不得超过 800 N。求皮带在不打滑时能传递的最大功率 P，单位 kW（忽略离心效应）。

d₁ = 125 mmn₁ = 1450 rpmd₂ = 450 mmC = 600 mmμ = 0.35T₁ = 800 N

P = kW

17.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 1.8 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 1.8 mg = 9.81 m/s²

T = s

18.弹簧与单摆困难

一颗以 300 m/s 运动的 5 g 子弹击中并留在一个放在无摩擦表面上的 2 kg 木块中。木块连在一根 k = 200 N/m 的水平弹簧上。求由此产生的振动的振幅 A，以 cm 表示。

m = 5 gv = 300 m/sM = 2 kgk = 200 N/m

A = cm

19.机械振动中等

在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 30 mm 之后 3 个周期出现峰值 9.7 mm。求阻尼比 ζ。

x₀ = 30 mmx₃ = 9.7 mmn = 3

ζ =

20.机械振动困难

一个 10 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 25 kN/m 和 k₂ = 25 kN/m。质量块保持水平。忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 10 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 25 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: s = 19.53 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 45/3.6 = 12.5 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 12.5²/(2·4) = 19.53 m

答案

s = 19.53 m

2.运动学

答案: t = 3.74 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−20 = 13·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 13·t − 20 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (13 + √(13² + 2·9.81·20))/9.81 = 3.74 s

答案

t = 3.74 s

3.牛顿定律

答案: a = 1.243 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

法向力

N = m·g − F·sin θ = 245.3 − 120·sin 20° = 204.2 N

水平方向的力

m·a = F·cos θ − μ·N = 112.8 − 81.68

a = 31.08/25 = 1.243 m/s²

答案

a = 1.243 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 1.924 m/s²

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34.34 − 9.32)/13 = 1.924 m/s²

答案

a = 1.924 m/s²

5.抛体运动

答案: θ = 32.64 °

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·120/36² = 0.9083

相角

2θ = 65.28° → θ = 32.64°

答案

θ = 32.64°

另一个解为 90° − θ = 57.36°。

6.抛体运动

答案: t = 5.21 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 28·cos 45° = 19.8 m/s

v_y = v₀·sin θ = 28·sin 45° = 19.8 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 30 + 19.8·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (19.8 + √(392 + 588.6))/9.81 = 5.21 s

答案

t = 5.21 s

7.圆周运动

答案: v_max = 14.01 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.4·9.81·50) = 14.01 m/s

答案

v_max = 14.01 m/s (50.43 km/h)

8.圆周运动

答案: T = 40.84 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 1.3·9.81 + 1.3·5.5²/1.4 = 12.75 + 28.09 = 40.84 N

答案

T = 40.84 N

9.功和能

答案: W_f = 13.5 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 4.905·0.9659 = 4.738 N

F = μN = 0.15·4.738 = 0.7107 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 0.7107·19 = 13.5 J

答案

W_f = 13.5 J

10.功和能

答案: v = 4.081 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面方向的力

m·g = 8·9.81 = 78.48 N

mg·sin θ = 20.31 N

μ·mg·cos θ = 11.37 N

功–能关系

½mv² = (65 − 31.68)·2 = 66.63 J

v = √(2·66.63/8) = 4.081 m/s

答案

v = 4.081 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 4.364 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (4 − 1.5)/(4 + 1.5)·3 = 1.364 m/s

v′₂ = 2·4/(4 + 1.5)·3 = 4.364 m/s

答案

v′₂ = 4.364 m/s

12.动量与碰撞

答案: J = 18.8 N·s

动量的变化量

J = m·Δv = 0.4·(20 + 27) = 18.8 N·s

答案

J = 18.8 N·s

13.刚体转动

答案: v = 4.735 m/s

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

物块和滑轮

物块: m·g − T = m·a

滑轮: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

加速度

a = m·g/(m + M/2) = 4·9.81/(4 + 4.75) = 4.485 m/s²

下落后的速度

v = √(2·a·h) = √(2·4.485·2.5) = 4.735 m/s

答案

v = 4.735 m/s

14.刚体转动

答案: E_rot = 134.8 J

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

平动部分和转动部分

E_trans = ½·m·v² = ½·5.5·7² = 134.8 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·1·m·r²·(v/r)² = 1·134.8 = 134.8 J

答案

E_rot = 134.8 J

15.齿轮与齿轮系

答案: N₁ = 30

齿轮几何：模数 m 决定齿的大小。齿数为 N 的齿轮分度圆直径为 d = m·N，相互啮合的两个齿轮模数相同，其中心距为 a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2。节线速度为 v = π·d·n/60，切向齿力由转矩求得：F_t = 2T/d。

总齿数

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·240/4 = 120

按传动比分配

N₁ = 120/(1 + 3) = 30

答案

N₁ = 30

16.齿轮与齿轮系

答案: P = 4.529 kW

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

包角

θ = 2.593 rad

松边张力

e^μθ = e^0.9076 = 2.478, T₂ = 800/2.478 = 322.8 N

功率

P = (800 − 322.8)·9.49 = 4.529 kW

答案

P = 4.529 kW

17.弹簧与单摆

答案: T = 2.691 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(1.8/9.81) = 2.691 s

答案

T = 2.691 s

18.弹簧与单摆

答案: A = 7.491 cm

撞击后的速度

V = m·v/(m + M) = 0.005·300/2.005 = 0.7481 m/s

角频率

ω = √(k/(m + M)) = √(200/2.005) = 9.988 rad/s

振幅

A = V/ω = 0.7481/9.988 = 0.07491 m = 7.491 cm

答案

A = 7.491 cm

19.机械振动

答案: ζ = 0.05979

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

对数衰减率

δ = (1/3)·ln(30/9.7) = 0.3764

阻尼比

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.3764/√(39.48 + 0.1416) = 0.05979

答案

ζ = 0.05979

20.机械振动

答案: f_n = 11.25 Hz

等效刚度

并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k₁ + k₂。

k_eq = 25 + 25 = 50 kN/m

固有频率

ω_n = √(50000/10) = 70.71 rad/s

f_n = 70.71/(2π) = 11.25 Hz

答案

f_n = 11.25 Hz

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