运动学
- 速度
- v = v0 + a·t
- 位移
- s = v0·t + ½·a·t²
- 不含时间
- v² = v0² + 2·a·s
- 单位
- 1 m/s = 3.6 km/h
方法
- 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
- 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
- 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
- 求解并检查答案在物理上是否合理。
动力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
牛顿定律
- 第二定律
- ΣF = m·a
- 重力
- W = m·g
- 动摩擦
- Ff = μ·N
- 斜面上
- 沿斜面：m·g·sin θ， 垂直斜面：m·g·cos θ
方法
- 画出物体所受全部力的受力图。
- 沿运动方向选定正方向。
- 把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
- 沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。
抛体运动
- 分量
- vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
- 位置
- x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
- 最大高度
- H = h + vy²/(2g)
- 射程（水平地面）
- R = v0²·sin 2θ/g
方法
- 把初速度分解为分量：vx = v₀·cos θ，vy = v₀·sin θ。
- 水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
- 由竖直方向的运动求飞行时间。
- 把该时间代入水平运动求射程。
圆周运动
- 向心加速度
- a = v²/r = ω²·r
- 向心力
- F = m·v²/r
- 角速度
- ω = v/r = 2π/T
- 水平弯道，摩擦
- vmax = √(μ·g·r)
功和能
- 动能
- Ek = ½mv²
- 势能
- Ep = mgh
- 能量衡算
- Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
- 摩擦力做功
- W = μ·N·d
- 功率
- P = W/t
动量与碰撞
- 动量
- p = m·v
- 守恒
- Σm·v (before) = Σm·v (after)
- 完全非弹性
- v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
- 冲量
- J = F·Δt = m·Δv
方法
- 选定正方向，并给每个速度标上符号。
- 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
- 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
- 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。
刚体转动
- 对质心 G 的转动惯量
- 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
- 平行移轴定理
- I = IG + m·d²
- 回转半径
- I = m·k²
- 杆绕端点
- I = mL²/3
- 运动方程
- ΣM = I·α
- 以 rad/s 表示的转速
- ω = 2π·n/60
- 动能
- E = ½·I·ω²
- 功和功率
- W = T·θ, P = T·ω
- 无滑动滚动
- v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
- 角动量
- L = I·ω, I1ω1 = I2ω2
- 绕枢轴的撞击
- m·v·d = I·ω
方法
- 选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
- 用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = IG + m·d²。
- 选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
- 用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。
齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
弹簧与单摆
- 弹簧振子
- T = 2π·√(m/k)
- 单摆
- T = 2π·√(L/g)
- 角频率
- ω = √(k/m) = 2π/T
- 最大速度和最大加速度
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- 能量
- E = ½·k·A²
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.运动学中等
一辆以 72 km/h 行驶的汽车以 4.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。 求制动距离 s。
v₀ = 72 km/ha = −4.5 m/s²v = 0
s = m
2.运动学困难
一块石头由静止释放落入井中。释放后 3.8 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。
ttotal = 3.8 svsound = 343 m/sg = 9.81 m/s²
d = m
3.牛顿定律中等
一个 17 kg 的物块沿倾角为 35° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.2。 取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。
m = 17 kgθ = 35°μ = 0.2g = 9.81 m/s²
a = m/s²
4.牛顿定律困难
水平桌面上一个 2 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 6 kg 重物相连。 物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.3。 取 g = 9.81 m/s²。 求绳中的张力 T。
m1 = 2 kgm2 = 6 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²
T = N
5.抛体运动中等
一个球从水平地面以 30 m/s 抛出，必须落在 30 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。
v₀ = 30 m/sR = 30 mg = 9.81 m/s²
θ = °
6.抛体运动困难
一个球 从 30 m 高的悬崖顶上以高于水平面 25° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。
v0 = 30 m/sθ = 25°h = 30 mg = 9.81 m/s²
x = m
7.圆周运动中等
在游乐场的转筒中，乘客背靠在半径为 3.3 m 的竖直圆筒壁上。圆筒转得足够快时，底板下降，靠摩擦力托住乘客。静摩擦因数为 0.6。取 g = 9.81 m/s²。 求最小角速度 ω，以 rad/s 表示。
r = 3.3 mμs = 0.6g = 9.81 m/s²
ω = rad/s
8.圆周运动困难
一个 1.8 kg 的小球系在长 1.5 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 7 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。
m = 1.8 kgr = 1.5 mv = 7 m/sg = 9.81 m/s²
T = N
9.功和能中等
一辆 1500 kg 的汽车以恒定的 72 km/h 驶上 4° 的斜坡。空气阻力和滚动阻力合计 450 N。求车轮须输出的功率 P，以 kW 表示。
m = 1500 kgθ = 4°Fr = 450 Nv = 72 km/hg = 9.81 m/s²
P = kW
10.功和能困难
一个 2 kg 的物块从 20° 斜坡的底部由静止开始，被一个平行于斜坡、大小为 25 N 的恒力沿斜坡向上拉。动摩擦因数为 0.25。求物块沿斜坡向上移动 3 m 后的速度 v。
m = 2 kgF = 25 Nθ = 20°μ = 0.25d = 3 mg = 9.81 m/s²
v = m/s
11.动量与碰撞中等
一辆以 23 m/s 行驶的 1200 kg 汽车撞上一辆静止的 1300 kg 汽车，两车卡在一起。 碰撞中损失了多少动能 ΔK？
m1 = 1200 kgv1 = 23 m/sm2 = 1300 kgv2 = 0
ΔK = J
12.动量与碰撞困难
一辆 1200 kg 的汽车撞上一辆停放的 1400 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 20 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.5。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v1。
m1 = 1200 kgm2 = 1400 kgd = 20 mμ = 0.5g = 9.81 m/s²
v1 = m/s
13.刚体转动中等
转动惯量为 10.5 kg·m² 的飞轮以 1600 rpm 转动。制动器施加 160 N·m 的恒定摩擦转矩。 飞轮在停下之前转过多少圈 N？
I = 10.5 kg·m²n = 1600 rpmTb = 160 N·m
N = rev
14.刚体转动困难
一个人站在无摩擦的转盘上，每只手各拿一个 4 kg 的哑铃，距转轴 0.75 m。人和转盘单独对转轴的转动惯量为 4.5 kg·m²。他们以 40 rpm 转动，然后把哑铃收到距转轴 0.15 m 处。把哑铃看作质点。求新的转速 n2，单位 rpm。
I0 = 4.5 kg·m²m = 2 × 4 kgr1 = 0.75 mr2 = 0.15 mn1 = 40 rpm
n2 = rpm
15.齿轮与齿轮系中等
一台 15 kW、转速 960 rpm 的电动机驱动一个齿数为 16、模数为 2.5 mm 的小齿轮。求小齿轮齿上的切向力 Ft。
P = 15 kWn = 960 rpmN1 = 16m = 2.5 mm
Ft = N
16.齿轮与齿轮系困难
一台 11 kW、1440 rpm 的电动机驱动齿轮 A（12 齿），A 与齿轮 B（45 齿）啮合。与 B 同轴的齿轮 C（24 齿）驱动输出轴上的齿轮 D（30 齿）。每对齿轮啮合的效率为 98%。求输出转矩 Tout。
P = 11 kWnin = 1440 rpmA = 12B = 45C = 24D = 30ηmesh = 98%
Tout = N·m
17.弹簧与单摆中等
要使单摆的周期为 1.7 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。
T = 1.7 sg = 9.81 m/s²
L = m
18.弹簧与单摆困难
一颗以 100 m/s 运动的 5 g 子弹击中并留在一个放在无摩擦表面上的 1 kg 木块中。木块连在一根 k = 1700 N/m 的水平弹簧上。求由此产生的振动的振幅 A，以 cm 表示。
m = 5 gv = 100 m/sM = 1 kgk = 1700 N/m
A = cm
19.机械振动中等
在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 15 mm 之后一个周期出现峰值 10.3 mm。 求阻尼比 ζ。
x0 = 15 mmx1 = 10.3 mmn = 1
ζ =
20.机械振动困难
一个 5 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 80 kN/m，下弹簧 k₂ = 25 kN/m。 忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 fn，以 Hz 计。
m = 5 kgk1 = 80 kN/mk2 = 25 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.运动学
答案: s = 44.44 m
匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。
单位
v₀ = 72/3.6 = 20 m/s
制动距离
0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 20²/(2·4.5) = 44.44 m
答案
s = 44.44 m
2.运动学
答案: d = 64.04 m
匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。
时间的两部分
½·9.81·t₁² = 343·(3.8 − t₁)
4.905·t₁² + 343·t₁ − 1303 = 0
下落时间
只有正根有物理意义。
t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1303))/(2·4.905) = 3.613 s
深度
d = ½·9.81·3.613² = 64.04 m
答案
d = 64.04 m
3.牛顿定律
答案: a = 4.02 m/s²
牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。
沿斜面方向的力
沿斜面向下为正。
m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ
加速度
a = 9.81·(sin 35° − 0.2·cos 35°) = 9.81·(0.5736 − 0.1638) = 4.02 m/s²
答案
a = 4.02 m/s²
4.牛顿定律
答案: T = 19.13 N
牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。
系统的加速度
a = (m2·g − μ·m1·g)/(m1 + m2) = (58.86 − 5.886)/8 = 6.622 m/s²
由桌面上的物块求张力
T − μ·m1·g = m1·a
T = 2·6.622 + 5.886 = 19.13 N
答案
T = 19.13 N
5.抛体运动
答案: θ = 9.543 °
抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。
射程公式
R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·30/30² = 0.327
相角
2θ = 19.09° → θ = 9.543°
答案
θ = 9.543°
另一个解为 90° − θ = 80.46°。
6.抛体运动
答案: x = 111 m
抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。
分解初速度
水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。
vx = v0·cos θ = 30·cos 25° = 27.19 m/s
vy = v0·sin θ = 30·sin 25° = 12.68 m/s
飞行时间
解 y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0，取正根。
0 = 30 + 12.68·t − 4.905·t²
t = (vy + √(vy² + 2gh))/g = (12.68 + √(160.7 + 588.6))/9.81 = 4.083 s
水平距离
x = vx·t = 27.19·4.083 = 111 m
答案
x = 111 m
7.圆周运动
答案: ω = 2.226 rad/s
匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。
乘客受到的力
N = m·ω²·r
μ·N = m·g → μ·ω²·r = g
角速度
ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.6·3.3)) = 2.226 rad/s
答案
ω = 2.226 rad/s
8.圆周运动
答案: T = 76.46 N
匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。
最低点处的受力
指向圆心（向上）为正。
T − m·g = m·v²/r
T = 1.8·9.81 + 1.8·7²/1.5 = 17.66 + 58.8 = 76.46 N
答案
T = 76.46 N
9.功和能
答案: P = 29.53 kW
动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。 功率等于力乘以速度：P = F·v。
驱动力
m·g = 1500·9.81 = 14715 N
mg·sin θ = 14715·sin 4° = 1026 N
F = 1026 + 450 = 1476 N
功率
v = 72/3.6 = 20 m/s
P = F·v = 1476·20 = 29529 W = 29.53 kW
答案
P = 29.53 kW
10.功和能
答案: v = 6.406 m/s
动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。
沿斜面方向的力
m·g = 2·9.81 = 19.62 N
mg·sin θ = 6.71 N
μ·mg·cos θ = 4.609 N
功–能关系
½mv² = (25 − 11.32)·3 = 41.04 J
v = √(2·41.04/2) = 6.406 m/s
答案
v = 6.406 m/s
11.动量与碰撞
答案: ΔK = 165048 J
动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。
共同速度
v′ = m1·v1/(m1 + m2) = 1200·23/2500 = 11.04 m/s
碰撞前后的动能
Kbefore = ½·1200·23² = 317400 J
Kafter = ½·2500·11.04² = 152352 J
损失的能量
ΔK = 317400 − 152352 = 165048 J
答案
ΔK = 165048 J
损失的能量转化为形变、热和声音。
12.动量与碰撞
答案: v1 = 30.35 m/s
动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。
碰撞后的速度
V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.5·9.81·20) = 14.01 m/s
碰撞中的动量
m1·v1 = (m1 + m2)·V → v1 = 2600·14.01/1200 = 30.35 m/s
答案
v1 = 30.35 m/s
(109.3 km/h)
13.刚体转动
答案: N = 146.6 rev
绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。
角速度
ω = 2π·1600/60 = 167.6 rad/s
制动器做的功等于动能
½·I·ω² = ½·10.5·167.6² = 147386 J
θ = 147386/160 = 921.2 rad
圈数
N = θ/2π = 146.6 rev
答案
N = 146.6 rev
14.刚体转动
答案: n2 = 76.92 rpm
滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。
转动惯量
I1 = 4.5 + 2·4·0.75² = 9 kg·m²
I2 = 4.5 + 2·4·0.15² = 4.68 kg·m²
角动量守恒
n2 = n1·I1/I2 = 40·9/4.68 = 76.92 rpm
答案
n2 = 76.92 rpm
动能增加了：多出来的能量来自人收哑铃时所做的功。
15.齿轮与齿轮系
答案: Ft = 7460 N
齿轮几何：模数 m 决定齿的大小。齿数为 N 的齿轮分度圆直径为 d = m·N，相互啮合的两个齿轮模数相同，其中心距为 a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2。节线速度为 v = π·d·n/60，切向齿力由转矩求得：Ft = 2T/d。
小齿轮上的转矩
ω = 2π·960/60 = 100.5 rad/s
T = P/ω = 15000/100.5 = 149.2 N·m
分度圆直径
d = m·N = 2.5·16 = 40 mm
切向力
Ft = 2T/d = 2·149.2/0.04 = 7460 N
答案
Ft = 7460 N
16.齿轮与齿轮系
答案: Tout = 328.4 N·m
齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。
输出转速
nout = 1440·(12/45)·(24/30) = 307.2 rpm
ωout = 2π·307.2/60 = 32.17 rad/s
输出功率和转矩
Pout = 11000·0.98² = 10564 W
Tout = Pout/ωout = 10564/32.17 = 328.4 N·m
答案
Tout = 328.4 N·m
17.弹簧与单摆
答案: L = 0.7181 m
简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。
求摆长
L = g·(T/2π)² = 9.81·(1.7/2π)² = 0.7181 m
答案
L = 0.7181 m
18.弹簧与单摆
答案: A = 1.21 cm
简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。
撞击后的速度
V = m·v/(m + M) = 0.005·100/1.005 = 0.4975 m/s
角频率
ω = √(k/(m + M)) = √(1700/1.005) = 41.13 rad/s
振幅
A = V/ω = 0.4975/41.13 = 0.0121 m = 1.21 cm
答案
A = 1.21 cm
19.机械振动
答案: ζ = 0.05972
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
对数衰减率
δ = (1/1)·ln(15/10.3) = 0.3759
阻尼比
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.3759/√(39.48 + 0.1413) = 0.05972
答案
ζ = 0.05972
20.机械振动
答案: fn = 9.823 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k1 + 1/k2。
1/keq = 1/80 + 1/25 → keq = 80·25/(80 + 25) = 19.05 kN/m
固有频率
ωn = √(19048/5) = 61.72 rad/s
fn = 61.72/(2π) = 9.823 Hz
答案
fn = 9.823 Hz
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