动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以恒定的 33 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 3.5 m/s² 匀加速。警车在距其出发点多远处追上？求 d。

v_car = 33 m/sa_police = 3.5 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.运动学困难

球 A 从 20 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 11 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它们在离地面多高处 y 相遇？

H = 20 mv_0B = 11 m/sg = 9.81 m/s²

y = m

3.牛顿定律中等

一个 4 kg 的物块沿倾角为 20° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 4 kgθ = 20°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 2 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 6 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 2 kgm₂ = 6 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 25° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 40 m/sθ = 25°g = 9.81 m/s²

x = m

6.抛体运动困难

一个球从 20 m 高的悬崖顶部以 24 m/s、与水平方向成 45° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 24 m/sθ = 45°h = 20 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 40 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.8。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 40 mμ_s = 0.8g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个小球系在长 0.9 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。取 g = 9.81 m/s²。在最高点处，速度至少为多少 v_min 才能使绳子恰好保持绷紧？

r = 0.9 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一个 2.5 kg 的物块沿倾角 20° 的斜面下滑 18 m，动摩擦因数为 0.15。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 2.5 kgθ = 20°μ = 0.15d = 18 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一辆 5 kg 的小车从光滑轨道上 6.5 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 2.5 m 的竖直圆环。求小车在圆环顶点时轨道对它的法向力 N。

m = 5 kgh = 6.5 mR = 2.5 mg = 9.81 m/s²

N = N

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 10 m/s 运动的 4.5 kg 滑块与一个静止的 1 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 4.5 kgm₂ = 1 kgv₁ = 10 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一辆 900 kg 的汽车撞上一辆停放的 1500 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 8.5 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 900 kgm₂ = 1500 kgd = 8.5 mμ = 0.7g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.刚体转动中等

一台电动机在 900 rpm 时输出 1080 N·m 的转矩。求它的输出功率 P，单位 kW。

T = 1080 N·mn = 900 rpm

P = kW

14.刚体转动困难

一个人站在无摩擦的转盘上，每只手各拿一个 2 kg 的哑铃，距转轴 0.75 m。人和转盘单独对转轴的转动惯量为 4.5 kg·m²。他们以 50 rpm 转动，然后把哑铃收到距转轴 0.15 m 处。把哑铃看作质点。求新的转速 n₂，单位 rpm。

I₀ = 4.5 kg·m²m = 2 × 2 kgr₁ = 0.75 mr₂ = 0.15 mn₁ = 50 rpm

n₂ = rpm

15.齿轮与齿轮系中等

一个 125 mm 的带轮以 1500 rpm 通过皮带驱动一个 400 mm 的带轮，打滑率为 2 %。求从动轮的转速 n₂。

n₁ = 1500 rpmd₁ = 125 mmd₂ = 400 mms = 2 %

n₂ = rpm

16.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（40 齿）以 1440 rpm 转动，驱动齿轮 B（60 齿）。齿轮 C（20 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D。输出轴须以 384 rpm 转动。齿轮 D 须有多少个齿 N_D？

n_in = 1440 rpmA = 40B = 60C = 20n_out = 384 rpm

N_D =

17.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 1.5 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 1.5 sg = 9.81 m/s²

L = m

18.弹簧与单摆困难

一个物体做简谐振动，周期为 2.3 s，振幅为 15 cm。它从最大位移 15 cm 处运动到位移 6 cm 处所需的最短时间 t 是多少？

T = 2.3 sA = 15 cmx = 6 cm

t = s

19.机械振动中等

一个 20 kg 的质量块挂在刚度为 40 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.5。求其自由振动的有阻尼固有频率 f_d，以 Hz 计。

m = 20 kgk = 40 kN/mζ = 0.5

f_d = Hz

20.机械振动困难

一个 40 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 5 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 15 kN/m 和 k₂ = 50 kN/m 悬挂；杆保持水平。忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 40 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 50 kN/mk₃ = 5 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: d = 622.3 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·33/3.5 = 18.86 s

距离

d = v·t = 33·18.86 = 622.3 m

答案

d = 622.3 m

此时警车的速度为 2v = 66 m/s。

2.运动学

答案: y = 3.785 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

20 − ½g·t² = 11·t − ½g·t² → t = 20/11 = 1.818 s

相遇高度

y = 11·1.818 − ½·9.81·1.818² = 3.785 m

答案

y = 3.785 m

3.牛顿定律

答案: a = 1.512 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 20° − 0.2·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.1879) = 1.512 m/s²

答案

a = 1.512 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 18.39 N

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (58.86 − 4.905)/8 = 6.744 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 2·6.744 + 4.905 = 18.39 N

答案

T = 18.39 N

5.抛体运动

答案: x = 124.9 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 40·cos 25° = 36.25 m/s

v_y = v₀·sin θ = 40·sin 25° = 16.9 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·16.9/9.81 = 3.446 s

水平距离

x = v_x·t = 36.25·3.446 = 124.9 m

答案

x = 124.9 m

6.抛体运动

答案: H = 34.68 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

竖直方向的初速度

v_y = 24·sin 45° = 16.97 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 16.97²/(2·9.81) = 14.68 m

离地面的高度

H = 20 + 14.68 = 34.68 m

答案

H = 34.68 m

7.圆周运动

答案: v_max = 17.72 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.8·9.81·40) = 17.72 m/s

答案

v_max = 17.72 m/s (63.78 km/h)

8.圆周运动

答案: v_min = 2.971 m/s

最高点张力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·0.9) = 2.971 m/s

答案

v_min = 2.971 m/s

9.功和能

答案: W_f = 62.22 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 24.53·0.9397 = 23.05 N

F = μN = 0.15·23.05 = 3.457 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 3.457·18 = 62.22 J

答案

W_f = 62.22 J

10.功和能

答案: N = 9.81 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(6.5 − 5) = 29.43 m²/s²

顶点的受力

m·g = 5·9.81 = 49.05 N

N = mv²/R − mg = 5·29.43/2.5 − 49.05 = 9.81 N

答案

N = 9.81 N

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 16.36 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (4.5 − 1)/(4.5 + 1)·10 = 6.364 m/s

v′₂ = 2·4.5/(4.5 + 1)·10 = 16.36 m/s

答案

v′₂ = 16.36 m/s

12.动量与碰撞

答案: v₁ = 28.81 m/s

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.7·9.81·8.5) = 10.8 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2400·10.8/900 = 28.81 m/s

答案

v₁ = 28.81 m/s

(103.7 km/h)

13.刚体转动

答案: P = 101.8 kW

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

角速度

ω = 2π·900/60 = 94.25 rad/s

功率

P = T·ω = 1080·94.25 = 101788 W = 101.8 kW

答案

P = 101.8 kW

14.刚体转动

答案: n₂ = 73.53 rpm

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

转动惯量

I₁ = 4.5 + 2·2·0.75² = 6.75 kg·m²

I₂ = 4.5 + 2·2·0.15² = 4.59 kg·m²

角动量守恒

n₂ = n₁·I₁/I₂ = 50·6.75/4.59 = 73.53 rpm

答案

n₂ = 73.53 rpm

动能增加了：多出来的能量来自人收哑铃时所做的功。

15.齿轮与齿轮系

答案: n₂ = 459.4 rpm

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

无打滑时的转速

1500·125/400 = 468.8 rpm

有打滑

n₂ = 468.8·0.98 = 459.4 rpm

答案

n₂ = 459.4 rpm

16.齿轮与齿轮系

答案: N_D = 50

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

中间轴转速

n_B = n_C = 1440·40/60 = 960 rpm

齿轮 D 的齿数

N_D = C·n_C/n_out = 20·960/384 = 50

答案

N_D = 50

17.弹簧与单摆

答案: L = 0.5591 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(1.5/2π)² = 0.5591 m

答案

L = 0.5591 m

18.弹簧与单摆

答案: t = 0.4244 s

角频率

ω = 2π/T = 2π/2.3 = 2.732 rad/s

求解时间

0.4 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0.4) = 1.159 rad

t = 1.159/2.732 = 0.4244 s

答案

t = 0.4244 s

19.机械振动

答案: f_d = 6.164 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

无阻尼固有频率

ω_n = √(40000/20) = 44.72 rad/s

f_n = 44.72/(2π) = 7.118 Hz

有阻尼固有频率

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 7.118·√(1 − 0.5²) = 6.164 Hz

答案

f_d = 6.164 Hz

20.机械振动

答案: f_n = 1.715 Hz

等效刚度

只有 k₁ 和 k₂ 是并联的。这一对与 k₃ 串联，所以要按倒数组合。

k₁₂ = 15 + 50 = 65 kN/m

k_eq = 65·5/(65 + 5) = 4.643 kN/m

固有频率

ω_n = √(4643/40) = 10.77 rad/s

f_n = 10.77/(2π) = 1.715 Hz

答案

f_n = 1.715 Hz

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