动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一位以 54 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 0.9 s，之后汽车以 6.5 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 54 km/ht_r = 0.9 sa = −6.5 m/s²

d = m

2.运动学困难

从离地面 20 m 高的屋顶边缘以 9 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 9 m/sh₀ = 20 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 50 kg 的箱子被一个平行于斜面的力沿与水平方向成 35° 的斜面匀速向上推。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求推力 F。

m = 50 kgθ = 35°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

F = N

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 6 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 5 kgm₂ = 6 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 50° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 14 m/sθ = 50°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从 30 m 高的悬崖顶上以高于水平面 20° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 15 m/sθ = 20°h = 30 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一个半径为 210 m 的弯道倾斜 18°。汽车以多大速度 v 通过时完全不需要摩擦力？取 g = 9.81 m/s²。

r = 210 mθ = 18°g = 9.81 m/s²

v = m/s

8.圆周运动困难

一个 0.5 kg 的小球系在长 1.3 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 9 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 0.5 kgr = 1.3 mv = 9 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一辆 1800 kg 的汽车以恒定的 54 km/h 驶上 4° 的斜坡。空气阻力和滚动阻力合计 750 N。求车轮须输出的功率 P，以 kW 表示。

m = 1800 kgθ = 4°F_r = 750 Nv = 54 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

10.功和能困难

一个 4 kg 的物块从光滑坡道上 4 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 4.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.15），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 2000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 4 kgh = 4 mL = 4.5 mμ = 0.15k = 2000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

一辆以 24 m/s 行驶的 1600 kg 汽车撞上一辆静止的 1800 kg 汽车，两车卡在一起。碰撞中损失了多少动能 ΔK？

m₁ = 1600 kgv₁ = 24 m/sm₂ = 1800 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.动量与碰撞困难

在一个十字路口，一辆以 14 m/s 向东行驶的 1800 kg 汽车与一辆以 25 m/s 向北行驶的 1600 kg 汽车相撞。两车卡在一起。求碰撞后瞬间残骸的速度 v′。

m₁ = 1800 kgv₁ = 14 m/s (E)m₂ = 1600 kgv₂ = 25 m/s (N)

v′ = m/s

13.刚体转动中等

一个 10.5 kg 的物块悬挂在绕过滑轮的轻绳上，滑轮是质量为 15 kg、半径为 0.5 m 的均匀实心圆盘，在无摩擦的水平轴上转动。物块从静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求物块的加速度 a。

m = 10.5 kgM = 15 kgR = 0.5 mg = 9.81 m/s²

a = m/s²

14.刚体转动困难

一个均匀实心圆盘（质量 21 kg，半径 0.2 m）绕无摩擦的竖直轴以 400 rpm 自由旋转。一个质量为 7 kg、半径相同的薄圆环从静止状态落到它上面，圆心对准转轴，两者很快一起旋转。求它们共同的转速 n₂，单位 rpm。

M_disc = 21 kgM_ring = 7 kgR = 0.2 mn₁ = 400 rpm

n₂ = rpm

15.齿轮与齿轮系中等

一台 0.75 kW 的电动机以 1440 rpm 运转，驱动一个齿数为 25 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 80 的大齿轮啮合。该齿轮副的效率为 98%。求齿轮轴上的输出扭矩 T₂。

P = 0.75 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 25N₂ = 80η = 98%

T₂ = N·m

16.齿轮与齿轮系困难

在一个行星齿轮系中，太阳轮有 20 个齿，每个行星轮有 18 个齿。齿圈固定，太阳轮以 1800 rpm 驱动。求行星架的转速 n_c。

N_s = 20N_p = 18n_s = 1800 rpm

n_c = rpm

17.弹簧与单摆中等

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 0.9 m 的单摆在小幅摆动时周期为 2 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 0.9 mT = 2 s

g = m/s²

18.弹簧与单摆困难

把一个 2.9 kg 的物体挂在一根 k = 300 N/m、处于原长的竖直弹簧下端，然后由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求弹簧的最大伸长量 x_max，以 cm 表示。

m = 2.9 kgk = 300 N/mg = 9.81 m/s²

x_max = cm

19.机械振动中等

在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 20 mm 之后 3 个周期出现峰值 6.4 mm。求阻尼比 ζ。

x₀ = 20 mmx₃ = 6.4 mmn = 3

ζ =

20.机械振动困难

一个 10 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 80 kN/m，下弹簧 k₂ = 100 kN/m。求弹簧系统的等效刚度 k_eq，以 kN/m 计。

m = 10 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 100 kN/m

k_eq = kN/m

3溶液

1.运动学

答案: d = 30.81 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 54/3.6 = 15 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 15·0.9 = 13.5 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 15²/(2·6.5) = 17.31 m

合计

d = 13.5 + 17.31 = 30.81 m

答案

d = 30.81 m

2.运动学

答案: t = 3.135 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−20 = 9·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 9·t − 20 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (9 + √(9² + 2·9.81·20))/9.81 = 3.135 s

答案

t = 3.135 s

3.牛顿定律

答案: F = 381.8 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

匀速：各力平衡。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

推力

F = 281.3 + 100.4 = 381.8 N

答案

F = 381.8 N

4.牛顿定律

答案: T = 32.11 N

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (58.86 − 9.81)/11 = 4.459 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 5·4.459 + 9.81 = 32.11 N

答案

T = 32.11 N

5.抛体运动

答案: t = 2.186 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 14·cos 50° = 8.999 m/s

v_y = v₀·sin θ = 14·sin 50° = 10.72 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·10.72/9.81 = 2.186 s

答案

t = 2.186 s

6.抛体运动

答案: t = 3.051 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 15·cos 20° = 14.1 m/s

v_y = v₀·sin θ = 15·sin 20° = 5.13 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 30 + 5.13·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (5.13 + √(26.32 + 588.6))/9.81 = 3.051 s

答案

t = 3.051 s

7.圆周运动

答案: v = 25.87 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

力的平衡

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

速率

v = √(r·g·tan θ) = √(210·9.81·tan 18°) = 25.87 m/s

答案

v = 25.87 m/s

(93.14 km/h)

8.圆周运动

答案: T = 36.06 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 0.5·9.81 + 0.5·9²/1.3 = 4.905 + 31.15 = 36.06 N

答案

T = 36.06 N

9.功和能

答案: P = 29.73 kW

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。功率等于力乘以速度：P = F·v。

驱动力

m·g = 1800·9.81 = 17658 N

mg·sin θ = 17658·sin 4° = 1232 N

F = 1232 + 750 = 1982 N

功率

v = 54/3.6 = 15 m/s

P = F·v = 1982·15 = 29726 W = 29.73 kW

答案

P = 29.73 kW

10.功和能

答案: x = 36.12 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 39.24·(4 − 0.15·4.5) = 130.5 J

最大压缩量

½kx² = 130.5 → x = √(2·130.5/2000) = 0.3612 m = 36.12 cm

答案

x = 36.12 cm

11.动量与碰撞

答案: ΔK = 243953 J

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1600·24/3400 = 11.29 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·1600·24² = 460800 J

K_after = ½·3400·11.29² = 216847 J

损失的能量

ΔK = 460800 − 216847 = 243953 J

答案

ΔK = 243953 J

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: v′ = 13.9 m/s

动量分量

p_x = 1800·14 = 25200 kg·m/s

p_y = 1600·25 = 40000 kg·m/s

残骸的速度

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 47276/3400 = 13.9 m/s

答案

v′ = 13.9 m/s

13.刚体转动

答案: a = 5.723 m/s²

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

物块和滑轮

物块: m·g − T = m·a

滑轮: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

加速度

a = m·g/(m + M/2) = 10.5·9.81/(10.5 + 7.5) = 5.723 m/s²

答案

a = 5.723 m/s²

14.刚体转动

答案: n₂ = 240 rpm

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

转动惯量

I₁ = ½·21·0.2² = 0.42 kg·m²

I₂ = 7·0.2² = 0.28 kg·m²

角动量守恒

n₂ = n₁·I₁/(I₁ + I₂) = 400·0.42/0.7 = 240 rpm

答案

n₂ = 240 rpm

15.齿轮与齿轮系

答案: T₂ = 15.6 N·m

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

电动机扭矩

ω₁ = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 750/150.8 = 4.974 N·m

输出扭矩

T₂ = 4.974·80/25·0.98 = 15.6 N·m

答案

T₂ = 15.6 N·m

16.齿轮与齿轮系

答案: n_c = 473.7 rpm

行星齿轮系：太阳轮、齿圈和行星架的转速由威利斯方程 (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s 联系起来：从行星架上看，该轮系是以行星轮为惰轮的普通轮系。固定其中一个构件，轮系就成为一个单一传动比的减速器。

齿圈齿数

N_r = N_s + 2·N_p = 20 + 2·18 = 56

齿圈固定时的威利斯方程

令 n_r = 0，求行星架的转速。

(1800 − n_c)/(0 − n_c) = −56/20

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 1800·20/76 = 473.7 rpm

答案

n_c = 473.7 rpm

行星架与太阳轮转向相同。

17.弹簧与单摆

答案: g = 8.883 m/s²

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·0.9/2² = 8.883 m/s²

答案

g = 8.883 m/s²

18.弹簧与单摆

答案: x_max = 18.97 cm

平衡位置和振幅

x₀ = m·g/k = 2.9·9.81/300 = 0.09483 m = A

最低点

x_max = 2A = 0.1897 m = 18.97 cm

答案

x_max = 18.97 cm

19.机械振动

答案: ζ = 0.06034

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

对数衰减率

δ = (1/3)·ln(20/6.4) = 0.3798

阻尼比

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.3798/√(39.48 + 0.1443) = 0.06034

答案

ζ = 0.06034

20.机械振动

答案: k_eq = 44.44 kN/m

等效刚度

串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

1/k_eq = 1/80 + 1/100 → k_eq = 80·100/(80 + 100) = 44.44 kN/m

答案

k_eq = 44.44 kN/m

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